1、本册综合检测题 考试时间 120 分钟，满分 150 分.一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知 i 是虚数单位，复数 z1 在复平面内对应的向量OZ1(2,1)，则复数 z z11i的虚部为(D)A12 B32 C12 D32解析 由题意可知 z12i，所以 z z11i2i1i1i1i 13i21232i，因此，复数 z 的虚部为32.2某台机床加工的 1 000 只产品中次品数的频率分布如下表：次品数01234频率0.50.20.050.20.05则次品数的众数、平均数依次为(A)A0,1.1 B0,1
2、C4,1 D0.5,2解析 由表可知，次品数的众数为 0，平均数为 00.510.220.0530.240.051.13已知 l，m 表示两条不同的直线，表示平面，则下列说法正确的是(A)A若 l，m，则 lmB若 lm，m，则 lC若 lm，m，则 lD若 l，m，则 lm解析 对于 A，若 l，m，则根据直线与平面垂直的性质，知 lm，故 A 正确；对于 B，若 lm，m，则 l 可能在 内，故 B 不正确；对于 C，若 lm，m，则 l或 l，故 C 不正确；对于 D，若 l，m，则 l 与 m 可能平行，也可能异面，故 D 不正确.故选 A4在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是
3、 a，b，c，若 aacosBbcosA，则ABC是(A)A等腰三角形 B锐角三角形C直角三角形 D钝角三角形解析 因为 aacosBbcosA，所以由余弦定理可得 aaa2c2b22acbb2c2a22bc，整理得 ac，所以ABC 为等腰三角形.5已知平面向量 a 与 b 的夹角为23，且|a|1，|b|2，则|ab|(B)A3 B 3 C7 D 7 解 析 因 为|a b|2 (a b)2 a2 2ab b2|a|2 2|a|b|cos 23|b|2 1 21212 43，所以|ab|3.6一个元件能正常工作的概率 r 称为该元件的可靠性，由多个元件组成的系统能正常工作的称为系统的可靠性
4、，今设所用元件的可靠性都为 r(0rc).(1)求 cos A 的值；(2)判断ABC 的形状.解析(1)由正弦定理得(bca)(bca)185 bc，即 b2c2a285bc，由余弦定理得cos Ab2c2a22bc45.(2)由(1)知 cos A45，则方程 x29x25cos A0 可化为 x29x200，解得 x5 或 x4bc，b5，c4，由余弦定理得 a2b2c22bccos A9，a3b2a2c2，ABC 为直角三角形.20(本小题满分 12 分)为选拔选手参加“中国谜语大会”，某中学举行了一次“谜语大赛”活动.为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数(得分取正
5、整数，满分为 100 分)作为样本进行统计.按照50,60)，60,70)，70,80)，80,90)，90,100的分组作出频率分布直方图如图(1)，并作出样本分数的茎叶图茎叶图中仅列出得分在50,60)，90,100的数据，如图(2).已知分数在80,90)的学生中，男生有 2 人，现从该组抽取 3 人“座谈”，写出样本空间并求至少有 2 名女生的概率.解析 分数在80,90)的学生共有 8(0.01610)(0.01010)5(人).由题意知，这 5 人中男生有 2 人，女生有 3 人，分别编号为 b1，b2 和 a1，a2，a3所以样本空间为(a1，a2，a3)，(a1，a2，b1)，
6、(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，(b1，b2，a1)，(b1，b2，a2)，(b1，b2，a3)，共有 10 个样本点.记 A“至少有 2 名女生”，则事件 A 包含的样本点数为 7所以至少有 2 名女生的概率为 P(A)710.21(本小题满分 12 分)如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，ABC 是底面的内接正三角形，P 为 DO 上一点，APC90.(1)证明：平面 PAB平面 PAC；(2)设 DO 2，圆锥的侧面积为 3，求三棱锥 PABC 的体积.解析(1)由题设可知，PAPBPC.由于ABC
7、是正三角形，故可得PACPAB.PACPBC.又APC90，故APB90，BPC90.从而 PBPA，PBPC，故 PB平面 PAC，所以平面 PAB平面 PAC.(2)设圆锥的底面半径为 r，母线长为 l.由题设可得 rl 3，l2r22，解得 r1，l 3，从而 AB 3.由(1)可得 PA2PB2AB2，故 PAPBPC 62.所以三棱锥 PABC 的体积为1312PAPBPC1312623 68.22(本小题满分 12 分)某服装店对过去 100 天其实体店和网店的销售量(单位：件)进行了统计，制成频率分布直方图如下：(1)若将上述频率视为概率，已知该服装店过去 100 天的销售中，实
8、体店和网店销售量都不低于 50 的概率为 0.24，求过去 100 天的销售中，实体店和网店至少有一边销售量不低于 50的天数；(2)若将上述频率视为概率，已知该服装店实体店每天的人工成本为 500 元，门市成本为 1 200 元，每售出一件利润为 50 元，求该实体店一天获利不低于 800 元的概率；(3)根据销售量的频率分布直方图，求该服装店网店销售量的中位数的估计值(精确到 0.01).解析(1)由题意知，网店销售量不低于 50 共有(0.0680.0460.0100.008)510066(天)，实体店销售量不低于 50 共有(0.0320.0200.0122)510038(天)，实体店
9、和网店销售量都不低于 50 的天数为 1000.2424(天).故实体店和网店至少有一边销售量不低于 50 的天数为 66382480(天).(2)由题意，设该实体店一天售出 x 件，则获利为(50 x1 700)元，50 x1 700800 x50设“该实体店一天获利不低于 800 元”为事件 A，则P(A)P(x50)(0.0320.0200.0120.012)50.38故该实体店一天获利不低于 800 元的概率为 0.38(3)因为网店销售量频率分布直方图中，销售量低于 50 的直方图面积为(0.0040.0200.044)50.340.5，因此中位数落在区间50,55)内，设中位数为 y，由 0.340.068(y50)0.5，解得 y52.35所以该服装店网店销售量的中位数约为 52.35
