1、【2016年高考备考艺体生文化课精选好题突围系列】专题一 三角函数综合三角函数求值【背一背基础知识】1.三角函数定义：在直角坐标系中，的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，是一个任意角，是终边上一点（不与原点重合），它与原点的距离为，那么，.2.三角函数在各象限的符号：3.同角三角函数的基本关系：（1）平方关系：，（2）商数关系：.4.诱导公式：奇变偶不变，符号看象限【公式一】，；【公式二】，；【公式三】，；【公式四】，；【公式五】，；【公式六】，；【公式七】，；【公式八】，；5.两角和与差的三角函数：（1）和角：，；（2）差角：，；6.二倍角公式：，.【讲一讲基本技能】1. 必备技能：利用
2、同角三角函数的基本关系求值时，一般先确定角的范围，确定所求角的三角函数值的正负，然后利用同角三角函数的平方关系或商数关系进行求解；利用两角和与差的三角函数或二倍角公式求值时，先观察已知角与未知角之间的关系，用已知角将未知角表示出来，再利用同角三角函数的基本关系求出相关角的相关三角函数值，选择相应的公式（和差角公式或二倍角公式）进行展开求解.2. 典型例题例1 已知角的终边经过点P（-4，3），（1）求的值; （2）求的值.分析：（1）根据三角函数定义，由角的终边经过点P（-4，3），所以r=5，所以由诱导公式化简原式代入得；（2）由（1）中可知，直接代入中可得原式=.【解析】例2 已知函数，且
3、.（1）求A的值；（2）设、，求的值.分析：本题是考查三角函数求值问题，主要考查利用诱导公式与和差角公式以及同角三角函数基本关系求值问题.第（1）问是利用题干中的已知条件代数计算求出的值；第（2）问也是利用题干中的已知条件代数进行计算，借助诱导公式进行化简，然后利用同角三角函数的基本关系求出其它的三角函数值，最后利用和角公式展开求值.【解析】（1），；（2）由（1）知，所以，因此，所以，、，所以，所以，.例3 已知是关于的方程的一个实根，且是第三象限角（1）求的值；（2）求的值分析：（1）先解一元二次方程：，再根据范围，确定tan取值：，最后将所求式子化为切，代入正切值计算结果：（2）利用同角
4、三角函数关系解方程组，注意范围，在开方时取负值：，因此代入可求的值【解析】【练一练趁热打铁】1.已知，且.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）；.【解析】 2.已知函数，.（1）求的值；（2）设、，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1），所以；（2），、，所以，所以.3.已知函数，.（1） 求的值； （2） 若，求.【答案】（1）；（2）.【解析】三角函数的基本性质【背一背基础知识】1.降幂公式：，；2.辅助角公式：，其中由确定；3.三角函数的基本性质：函数正弦函数余弦函数图象定义域值域最值当时，当时，当时，当时，周期性周期函数，最小正周期周期函数，最小正周期奇偶性奇函数，图象关
5、于原点对称偶函数，图象关于轴对称单调性增区间减区间增区间减区间对称中心对称轴4.三角函数图像变换（1）平移变换： （2）周期变换：（3）振幅变换：【讲一讲基本技能】1.必备技能：在求解三角函数的基本性质时，首先一般要将三角函数解析式利用和差角公式、降幂公式和辅助角公式将三角函数解析式化为或，然后利用整体法并借助正弦函数或余弦函数进行求解；在求函数在上的最值时，首先求出的取值范围，然后作出正弦函数在区间的图象，确定的最值，然后代入解析式进行求解.在解已知三角函数图像求解析式问题时，常有两种思路，思路1：先根据图像求出周期和振幅，利用周期公式求出，再由特殊点（常用最值点）求出；思路2：先根据图像求
6、出振幅，再利用“五点点作图法”列出关于的方程，即可求出.在处理图像变换问题时，先把函数化成系数为正同名三角函数，再利用图像变换知识解题，注意用“加左减右，加上减下”判定平移方向，先平移后周期变换和先周期变换后平移平移单位不同.2.典型例题例1已知函数（1）求函数的最大值和最小值以及取最大、最小值时相应的取值集合；（2）写出函数的单调递增区间（3）作出此函数在一个周期内的图像。分析：本题是考查三角函数的基本性质，对于此类问题的求解首先应该是利用相关公式将三角函数解析式化简为，利用公式求最小正周期，在时，分别令为或代入解析式求得相应的最值，在的前提条件下，将放在正弦函数的单调减区间内，解出的取值范
7、围即作为函数的单调递减区间，三角函数在一个周期内的图象可用五点法作图.【解析】（3）用五点法先列出表格x0111例2已知函数.（1）求函数的最小正周期、对称轴、对称中心；（2）当时，求函数的值域.分析：（1）研究三角函数性质，先利用两角和公式、二倍角公式、配角公式将其化为基本三角函数：，再根据正弦函数性质求最小正周期和单调递增区间：，由，得，即可的对称轴为，令，解得，即可写出对称中心. （2）同（1）先利用两角和公式、二倍角公式、配角公式将其化为基本三角函数，再在定义区间内研究正弦函数值域.【解析】例3 已知函数部分图象如图所示。（1）求函数的解析式；（2）写出由的图象得到图像的变换过程。分析
8、：（1）由图像最高点的纵坐标得振幅，由零点到相邻最值点横坐标距离为四分之一个周期可求，再根据最高点坐标求：得，由得（2）先将的图像向左平移得到图象，再将图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标变为原来的2倍，即得到函数的图象.【解析】（1）由图，得，则， 由，得，所以， 又，得，所以； （2）先将的图像向左平移得到图象，再将图象上所有点的横坐标变为原来的倍纵坐标不变得到函数图像，再将函数图像纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变即得到函数的图象 【练一练趁热打铁】1.已知函数.（1）求函数的对称中心，最大值及取得最大值的条件；（2）求的单调增区间.【答案】（1）对称中心坐标为，最大值为，值的集合为；
9、（2）.【解析】（2）由，解得，故函数的单调递增区间为.2.已知向量，设函数.（1）求的最小正周期；（2）求在上的最大值和最小值.【答案】（1）；（2）最大值为，最小值为.【解析】（1），即函数的最小正周期为；（2），当时，取最小值，即，当时，取最大值，即，故函数在上的最大值为，最小值为.3. （本小题满分12分）函数部分图象如图所示（）求的最小正周期及解析式；（）设，求函数在区间上的单调性【答案】（）；（）在单调递增，在单调递减【解析】 9分因为，所以 10分 由得；当得，故在单调递增，在单调递减 12分解三角形【背一背基础知识】1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对的角的正弦的比相等（
10、设的内角、所对的边分别为、，则（其中为的外接圆的半径长）.变式：（1），；（2），.2.余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其它两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦乘积的两倍，即，.变式：，；3.面积公式：，适用条件：两边及其夹角.【讲一讲基本技能】1.必备技能：利用正弦定理与余弦定理解三角形，要根据题中边角的已知条件类型选择合适的定理求解.在已知条件中，若等式或分式中边的次数相同或正弦值的次数相等时，可以利用正弦定理将边与对应的角的正弦值进行互化，结合余弦定理或三角变换等知识进行计算；已知条件中，若给定的是三条边的平方关系或或两边的和，一般选择余弦定理进行求解；在已知三角形给定的条件中，若
11、给定的条件是一边与其对角以及另外一边，一般选择余弦定理求解三角形较为方便；求三角形的面积时，要选择一个角及其两条邻边，围绕这三个元素来进行计算.2.典型例题例1在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，（1）求c的值；（2）求面积S的最大值分析：（1）要求边，从已知出发，如能求得角即可，又已知条件是边角关系，因此我们应用正弦定理把边转化为角，从而可很快求得，再正弦定理可得；（2）由（1），而由余弦定理有，可求得的最大值【解析】例2已知函数，.（1）求函数的最小值和最小正周期；（2）已知内角、的对边分别为、，且，若向量与共线，求、的值.分析：本题是三角函数与解三角形的综合问题，主要考查三角
12、函数解析式的化简、三角函数基本性质以及解三角形基本定理的应用.第（1）小问是考查三角函数的基本性质，首先应该将三角函数的解析式利用降幂公式与辅助角公式化简为的形式，然后结合整体法进行求解；第（2）小问是求解三角形中的边，首先应该根据第（1）问中的解析式求解出角的值，在求角的时候，首先应该根据相应角求出角的取值范围，然后根据三角函数值确定角的值，进而求出相应的角，然后利用正弦定理与余弦定理求解出相应的边.【解析】：（1）【练一练趁热打铁】1.在中，角、的对边分别为、，满足，且.（1）求的值；（2）若，求的面积.【答案】（1）；（2）【解析】 2.在中，角、所对的边分别为、，且.（1）求的值；（2
13、）若，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）在中，. 所以. 所以；（2）因为，由余弦定理， 得，解得.解答题（20*5=100分）1.已知函数，.（1）求的值；（2）若，求.【答案】（1）；（2）.【解析】 2.设函数.（1）求的最小值，并求使取得最小值的的集合；（2）不画图，说明函数的图像可由的图象经过怎样的变化得到.【答案】（1）最小值为，取最小值时的的集合为；（2）详见解析.【解析】 3.已知向量，设函数. （1）求的最小正周期. （2）求在上的最大值和最小值. 【答案】（1）；（2）最小值为，最大值为.【解析】（1），即函数最小正周期为； 4. 在ABC中，分别为角A、B、C的对边，若=（，）， ，且（1）求角A的度数；（2）当，且ABC的面积时，求边的值和ABC的面积。【答案】（1）（2）【解析】（1）由于，所以=所以或1（舍去），又因为 即角A=；（2）由及余弦定理得：，又因为 又由正弦定理得， 所以的面积5.已知函数.（1）求最小正周期和对称中心；（2）求的单调递增区间.【答案】（1）最小正周期为，对称中心坐标为；（2）单调递增区间为.【解析】
