1、山东省济南市商河县第一中学2020-2021学年高二数学上学期期中试题（含解析）一、单项选择题1. 已知向量，满足，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据向量平行坐标表示列方程，解得结果.【详解】因为，所以.故选：B【点睛】本题考查向量平行坐标表示，考查基本分析求解能力，属基础题.2. 圆的圆心坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】将方程配方化成标准式，即可得圆心坐标.【详解】所以圆心坐标为故选：B【点睛】本题考查圆的标准方程，考查基本分析求解能力，属基础题.3. 已知m为实数，直线，若，则实数m的值( )A. 2B. 1C. 1或2D. 0
2、或【答案】B【解析】【分析】根据直线平行的等价条件，求出的值；【详解】解：当时，两直线方程分别为和，不满足条件当时，则，由得得或，由得，则，故选：B【点睛】本题考查两直线的位置关系求参数的值，属于基础题.4. 在长方体中，则与平面所成角的正弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据垂直关系，作，为所求角，直角三角形中求.【详解】如图，作，交于点，连接，因为平面，所以，又因为，且，所以平面，即为所求角， 所以，所以 .故选：D【点睛】本题考查线面角的几何求法，重点考查垂直关系，属于基础题型.5. 如图，已知空间四边形，其对角线为，分别是对边的中点，点在线段上，现用基向量表
3、示向量，设，则的值分别是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据向量的加减法运算和数乘运算原则可表示出，进而得到结果.【详解】，故选：【点睛】本题考查用基底表示向量，关键是能够熟练掌握向量的加减法运算和数乘运算原则.6. 设分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上任一点，的坐标为（6，4），则的最大值为（ ）A. 13B. 14C. 15D. 16【答案】C【解析】【分析】由椭圆的标准方程得到a、b、c，然后借助定义转化为求的最大值即可【详解】如图所示，由椭圆可得：，由椭圆的定义可得：，则的最大值为15，故选：C【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及其性质，三角形三边大小关系，两点
4、之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题7. 椭圆上的点到直线距离最近的点的坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设和椭圆相切的且与直线平行的直线和椭圆方程联立，求出后再与椭圆方程联立，可求得答案.【详解】设和椭圆相切且与直线平行的直线方程为，所以得，因为直线和圆相切，所以，所以，时，与的距离为，时，与的距离为此时直线虽然与椭圆相切，但是在椭圆的上方，舍去，所以，所以，得，解得切点坐标为，故选：B.【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，求切点坐标的问题.8. 已知点在离心率为的椭圆上，是椭圆的一个焦点，是以为直径的圆上的动点，是半径为2的圆上的动点，圆与圆相
5、离且圆心距，若的最小值为1，则椭圆的焦距的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由圆与圆相离且圆心距，以及的最小值为1，可得圆的直径，即的长，再由在椭圆上，可得，进而可求出结果.【详解】因为是以为直径的圆上的动点，是半径为2的圆上的动点，圆与圆相离且圆心距，又的最小值为1，所以，解得，又因在椭圆上，所以，因为离心率为，所以,所以，故，所以.故选C【点睛】本题主要考查椭圆的简单性质，做题的关键在于，由两圆相离先确定的长，进而可根据椭圆的性质，即可求出结果，属于常考题型.二、多项选择题9. 给出下列命题，其中正确命题有（ ）A. 空间任意三个不共面的向量都可以作为一个基
6、底B. 已知向量，则存在向量可以与，构成空间的一个基底C. ，是空间四点若不能构成空间的一个基底那么，共面D. 已知向量组是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底【答案】ACD【解析】【分析】根据空间基底的概念，结合向量的共面定量，逐项判定，即可求解得到答案.【详解】选项中，根据空间基底的概念，可得任意三个不共面的向量都可以作为一个空间基底，所以正确；选项中，因为，根据空间基底的概念，可得不正确；选项中，由不能构成空间的一个基底，可得共面，又由过相同点B，可得四点共面，所以正确；选项中：由是空间的一个基底，则基向量与向量一定不共面，所以可以构成空间另一个基底，所以正确故选：ACD.【点睛】本
7、题主要考查了空间基底概念及其判定，其中解答中熟记空间基底的概念，合理利用共面向量定量进行判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.10. 下列说法正确的是（ ）A. 已知，且三角形的周长是6，则顶点的轨迹方程是B. 点关于直线的对称点是C. 过，两点的直线方程为D. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程是【答案】AB【解析】【分析】根据椭圆定义，可判断A的正误；根据点关于线的对称点的求法，可求得对称点坐标，即可判断B的正误；根据直线的两点式方程，即可判断C的正误；根据直线的截距式方程，可判断D的正误，即可得答案.【详解】对于A：因为，所以，所以C点到两定点A、B的距离
8、之和为定值42，满足椭圆的定义，所以，解得，所以顶点的轨迹方程是，故A正确；对于B：设点关于直线的对称点是，则，解得，故对称点，故B正确；对于C：当时，过，两点的直线方程为，故C错误；对于D：若直线在轴和轴上截距都为0时，设直线，又直线过点，代入解得k=1，所以直线方程为；当直线在轴和轴上截距都相等且都不为0时，设截距为a，则直线方程为，又直线过点，代入解得a=2，所以方程为，整理可得，故D错误.故选：AB11. 已知直线：，：，以下结论不正确的是（ ）A. 不论为何值时，与都互相垂直B. 当变化时，与分别经过定点和C. 不论为何值时，与都关于直线对称D. 如果与交于点M，则的最大值是【答案】
9、C【解析】【分析】利用直线垂直，系数满足即可判断A；根据直线过定点与系数无关即可判断B； 在上任取点，关于直线对称的点的坐标为，代入，左边可得不恒为，从而可判断C；将两直线联立求出交点，在利用两点间的距离公式即可求解.【详解】对于A，恒成立，与都互相垂直恒成立，故A正确；对于B，直线，当变化时，恒成立，所以恒过定点；，当变化时，恒成立，所以恒过定点，故B正确.对于C，在上任取点，关于直线对称的点的坐标为，代入，得，不满足不论为何值时，成立，故C不正确；对于D，联立，解得，即，所以，所以的最大值是，故D正确.故选：C【点睛】本题考查了直线垂直时系数之间的关系、直线过定点问题、直线关于直线对称问题
10、、两直线的交点、两点间的距离公式，考查了考生的计算求解能力，综合性比较强，属于中档题.12. 已知椭圆的离心率为，的三个顶点都在椭圆上，设它的三条边AB，BC，AC的中点分别为D，E，F，且三条边所在直线的斜率分别，且，均不为0为坐标原点，则（ ）A. B. 直线AB与直线OD的斜率之积为-2C. 直线BC与直线OE的斜率之积为D. 若直线OD，OE，OF的斜率之和为1，则的值为-2【答案】ACD【解析】【分析】根据离心率可得的关系，从而可判断A正确，利用点差法可得B、C、D的正误，【详解】因为椭圆的离心率为，由得，故A正确；设，则，且，两式作差得，即，所以，因为AB的斜率，OD的斜率，所以，
11、同理，故B错误，C正确.又，同理可得， 所以，又直线OD，OE，OF的斜率之和为1，即，所以，故D正确故选：ACD【点睛】本题考查椭圆基本量的计算、点差法，注意圆锥曲线中与弦的中点、弦的斜率有关的问题，一般用点差法来处理，本题属于中档题.三、填空题13. ，是椭圆的两个焦点，和是此椭圆上关于原点对称的两个点，且，则的面积是_.【答案】16【解析】【分析】根据题意，可得，设，所以，又P在椭圆上，联立两方程，可求得，代入面积公式，即可求得答案.【详解】因为P，Q是椭圆上关于原点对称的两个点，且，所以，设，所以，又P在椭圆上，所以，联立方程，可得，即，所以的面积.故答案为：1614. 直线经过点A（
12、2，1），B（1，m2）两点（mR），那么直线l的倾斜角取值范围是 .【答案】【解析】ktan1m21，所以.15. 已知圆的方程为（x-1）2+（y-1）2=9，P（2，2）是该圆内一点，过点P的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积是_ 【答案】6【解析】分析】因为经过P点的直径是圆的最长弦，且最短的弦是与该直径垂直的弦,根据垂径定理可求得最短弦长,由此可求得四边形的面积.【详解】圆的方程为（x-1）2+（y-1）2=9，圆心坐标为M（1，1），半径r=3P（2，2）是该圆内一点，经过P点的直径是圆的最长弦，且最短的弦是与该直径垂直的弦结合题意，得AC是经过P点的直径，BD
13、是与AC垂直的弦|PM|=，由垂径定理，得|BD|=2因此，四边形ABCD的面积是S=|AC|BD|=62=6故答案为6【点睛】本题考查了圆中的垂径定理,属中档题.16. 若点O和点F分别为椭圆的中点和左焦点，点P为椭圆上的任一点，则的最小值为_【答案】6【解析】【分析】可设，可求得与的坐标，利用向量的数量积的坐标公式，结合椭圆的方程即可求得其答案.【详解】点P为椭圆上的任意一点，设，依题意得左焦点，即，故最小值为6.【点睛】该题考查的是有关向量数量积的最值的求解问题，涉及到的知识点有椭圆上点的坐标所满足的条件，向量数量积的坐标运算式，椭圆上点的坐标的范围，二次函数在给定区间上的最值问题，属于
14、中档题目.四、解答题17. 在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点坐标分别为，求：（1）边所在直线的方程；（2）边上的高所在直线的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求出直线的斜率，代入点斜式方程即可；(2)求出直线BC的斜率，得到BC边上的高所在直线的斜率，代入点斜式方程即可.【详解】（1）设的直线方程为.将，坐标代入可得，解方程组可得，则直线方程为，化为一般式为. （2）因为为直线的高，所以，故， 设的直线方程为，将代入，解得，得的直线方程为，代为一般式为.【点睛】本题主要考查了直线方程问题，考查求直线的斜率，两条垂直直线斜率间的关系，属于基础题18. 已知圆经过点和点且圆心
15、在直线上.（1）求圆的标准方程；（2）若过点的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程.【答案】（1）； （2）或.【解析】【分析】（1）求得线段的垂直平分线方程，联立方程组，求得圆心，根据，求得圆的半径，即可求得圆的方程；（2）根据题意，得到圆心到直线的距离为，当直线的斜率不存在时，直线方程为，符合题意；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，根据点到直线的距离公式，列出方程，求得，进而得出直线的方程.【详解】（1）设的中点为，因为点和点，所以，即，又由，所以的垂直平分线的斜率为，所以线段的垂直平分线方程为，联立方程组，解得，即圆心坐标，又由，即圆的半径为，所以圆的方程为.（2）过点的直线与圆相交于
16、两点，且，所以圆心到直线的距离为，当直线的斜率不存在时，此时直线方程为，则圆心到直线的距离为，符合题意；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，则圆心到直线的距离为，解得，此时直线的方程为，综上可得，直线的方程为或.【点睛】本题主要考查了圆的标准方程的求解，以及直线与圆的位置关系的应用，着重考查推理与运算能力，属于中档试题.19. 如图，在正四棱柱中，已知AB2， ，E、F分别为、上的点，且.(1)求证：BE平面ACF；(2)求点E到平面ACF的距离【答案】（1）见解析（2）【解析】分析：（1）以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，写出要用的点的坐标，要证明线与面垂直，只需证明这条直线
17、与平面上的两条直线垂直即可；（2）为平面的一个法向量，向量在上的射影长即为到平面的距离，根据点到面的距离公式可得到结论.详解：(1)证明：以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系，则D(0,0,0)、A(2,0,0)、B(2,2,0)、C(0,2,0)、D1(0,0,5)、E(0,0,1)、F(2,2,4)(2,2,0)、(0,2,4)、(2，2,1)、(2，0,1)0，0，BEAC，BEAF，且ACAFA.BE平面ACF.(2)由(1)知，为平面ACF的一个法向量，点E到平面ACF的距离d.故点E到平面ACF的距离为.点睛：本题主要考查利用空间向量求
18、点到面的距离，属于中档题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.20. 已椭圆：经过点，离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）直线：与椭圆交于，两点，以为直径的圆经过不在直线上的点，求直线的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据题意，椭圆经过点，离心率为，建立方程，由此算出，即可得到椭圆的方程；（2）设，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，
19、由题意可得，即，即可求出参数的值，从而得解；【详解】解：（1）由题意得解得：，所以椭圆的方程为.（2）设，联立，消并化简整理得，则有，又，由得，解得或.当时，直线过点，与题意不符；当时，直线不过点，符合题意，故直线的方程为.【点睛】本题考查待定系数法求椭圆方程，直线与椭圆的综合应用，属于中档题.21. 已知四边形是矩形，平面，、分别是、的中点（）求证：平面；（）若二面角为，求与平面所成角的正弦值【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）G为CD的中点，由线面平行的判定即有面，面，又，由面面平行判定即有面面，由面面平行的性质即得证；（2）构建以A为原点，为x轴，为y轴，为z轴构建空间
20、直角坐标系，求面的法向量与斜线方向向量的夹角余弦值，结合它与线面角的关系即可求得与平面所成角的正弦值【详解】（1）若G为CD的中点，连接FG、AG，如下图示、分别是、的中点，且，即为平行四边形，有又由，面，面面，面，又，即面面由面，即有面得证（2）由四边形是矩形，平面，且二面角为，即有、两两垂直，且以A为原点，为x轴，为y轴，为z轴构建空间直角坐标系由，知：，令为面的一个法向量，则，若有由平面法向量与斜线的方向量的夹角与线面角的关系，知：与平面所成角的正弦值为【点睛】本题考查了由面面平行判定证面面平行，利用面面平行性质定理证明线面平行，通过构建空间直角坐标系，求平面法向量与斜线方向向量夹角的余
21、弦值，根据其与线面角的关系求线面角的正弦值22. 已知椭圆：，长半轴长与短半轴长的差为，离心率为（1）求椭圆的标准方程；（2）若在轴上存在点，过点的直线分别与椭圆相交于、两点，且为定值，求点的坐标【答案】(1) (2) 【解析】【分析】（1）由题意可得：ab，a2b2+c2联立解得：a，c，b可得椭圆C的标准方程（2）设M（t，0），P（x1，y1），Q（x2，y2）分类讨论：当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为：xmy+t与椭圆方程联立化为：（3m2+4）y2+6mty+3t21200可得|PM|2（1+m2），同理可得：|PQ|2（1+m2）把根与系数的关系代入，化简整理可得当直线l的斜率为0时，设P（2，0），Q（2，0）|PM|t+2|，|QM|2t|代入同理可得结论【详解】（1）由题意可得：，联立解得：，椭圆的标准方程为：.（2）设，当直线的斜率不为0时，设直线的方程为：联立，化为：，同理可得：.为定值，必然有，解得此时为定值，当直线的斜率为0时，设，此时，把代入可得：为定值综上可得：为定值，【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、定点问题，考查了推理能力与计算能力，属于难题
