1、内容索引010203自主预习 新知导学合作探究 释疑解惑随堂练习课标定位素养阐释1.了解双曲线的简单几何性质.2.理解双曲线的渐近线及离心率的意义.3.培养直观想象、逻辑推理与数学运算素养.自主预习 新知导学一、双曲线的简单几何性质【问题思考】1.类比椭圆的几何性质,你认为应该研究双曲线 (a0,b0)的哪些几何性质?提示:范围、对称性、顶点、离心率、渐近线.提示:点M的横坐标xM越来越大,d越来越小,但d始终不等于0.3.在椭圆中,离心率刻画了椭圆的扁平程度,在双曲线中,离心率刻画双曲线的什么几何特征?提示:双曲线的离心率刻画了双曲线的“张口”大小,离心率越大,双曲线的“张口”越大.4.填表
2、:双曲线的几何性质A.(4,0),(0,1)B.(-4,0),(4,0)C.(0,1),(0,-1)D.(-4,0),(0,-1)解析:(1)由题意知,双曲线的焦点在x轴上,且a=4,因此双曲线的顶点坐标是(-4,0),(4,0).二、等轴双曲线【问题思考】1.实轴和虚轴相等的双曲线的渐近线方程和离心率分别是什么?提示:实轴和虚轴相等的双曲线的渐近线方程是y=x,离心率是.2.填空:(1)实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线.(2)等轴双曲线具有以下性质:方程形式为x2-y2=(0);渐近线方程为 y=x,它们互相垂直,并且平分双曲线实轴和虚轴所成的角;实轴长和虚轴长都等于2a,离心率e=.3
3、.做一做:双曲线y2-x2=2的渐近线方程是()答案:A【思考辨析】判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画“”.(1)双曲线与椭圆一样,有四个顶点.()合作探究 释疑解惑探究一探究二探究三易错辨析探究一由双曲线的方程研究其几何性质【例1】求双曲线nx2-my2=mn(m0,n0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程.分析:化为标准方程形式求出a,b,c得双曲线的几何性质.探究一探究二探究三易错辨析反思感悟 由双曲线方程研究其几何性质的解题步骤(1)把双曲线方程化为标准方程;(2)由标准方程确定焦点位置,确定a,b的值;(3)由c2=a2+b2求出c的
4、值,从而写出双曲线的几何性质.提醒:求性质时一定要注意焦点的位置.探究一探究二探究三易错辨析【变式训练1】(1)下列双曲线的标准方程中,表示焦点在y轴上且渐近线方程为y=2x的双曲线的是()探究一探究二探究三易错辨析答案:(1)C(2)B 探究一探究二探究三易错辨析探究二由双曲线的几何性质求其标准方程【例2】已知双曲线的渐近线方程为2x3y=0.分析:可设出双曲线方程的统一形式,依据题设建立关于待定参数的方程或方程组求解.探究一探究二探究三易错辨析探究一探究二探究三易错辨析探究一探究二探究三易错辨析探究一探究二探究三易错辨析探究一探究二探究三易错辨析反思感悟 1.由双曲线的几何性质求双曲线方程
5、的常用方法:一是设法确定基本量a,b,c,从而求出双曲线方程;二是采用待定系数法.先依据焦点的位置设出标准方程的形式,再由题目条件确定参数的值.当焦点位置不确定时,方程可能有两种形式,此时应注意分类讨论,防止漏解.为了避免讨论,也可设方程为mx2-ny2=1(mn0),从而直接求解.探究一探究二探究三易错辨析2.常见双曲线方程的设法探究一探究二探究三易错辨析【变式训练2】求满足下列条件的双曲线的标准方程:(1)以直线2x3y=0为渐近线,过点(1,2);解:(1)由题意可设所求双曲线方程为4x2-9y2=(0),将点(1,2)的坐标代入方程解得=-32.探究一探究二探究三易错辨析探究一探究二探
6、究三易错辨析探究一探究二探究三易错辨析探究三求双曲线的离心率探究一探究二探究三易错辨析(2)不妨设|PF1|PF2|,则|PF1|-|PF2|=2a,又|PF1|+|PF2|=6a,得|PF1|=4a,|PF2|=2a,|F1F2|=2c,则在PF1F2中,PF1F2=30,由余弦定理得(2a)2=(4a)2+(2c)2-24a2ccos 30,探究一探究二探究三易错辨析将本例(2)条件“|PF1|+|PF2|=6a,且PF1F2的最小内角为30”改为“PF1PF2,且PF1F2=30”,则双曲线C的离心率为.探究一探究二探究三易错辨析反思感悟 求双曲线离心率的方法(3)若得到的是关于a,c的
7、齐次方程pc2+qac+ra2=0(p,q,r为常数,且p0),则转化为关于e的方程pe2+qe+r=0求解.探究一探究二探究三易错辨析(2)如图,F1和F2分别是双曲线 (a0,b0)的两个焦点,A和B是以O为圆心,以|OF1|长为半径的圆与该双曲线左支的两个交点,且F2AB是等边三角形,则双曲线的离心率为()探究一探究二探究三易错辨析(2)连接AF1(图略).|F1F2|=2c,且AF2B为等边三角形,又|OF1|=|OA|=|OF2|,答案:(1)D(2)D 探究一探究二探究三易错辨析【易错辨析】忽略焦点的位置致误【典例】已知双曲线2x2-y2=k(k0)的焦距为6,求实数k的值.以上解
8、答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:因为k的符号不确定,所以化成标准形式后,双曲线的焦点也不确定,错解忽略了讨论k的符号.探究一探究二探究三易错辨析综上可知,k=-6或6.防范措施 当方程中带有参数,化为标准方程时不清楚双曲线的焦点位置时,需根据焦点位置对参数分类讨论.探究一探究二探究三易错辨析【变式训练】已知双曲线的渐近线方程为2x3y=0,则该双曲线的离心率为.随堂练习a2+3=4a2,a2=1,a=1.答案:D2.若一双曲线与椭圆4x2+y2=64有公共的焦点,且它们的离心率互为倒数,则该双曲线的方程为()A.y2-3x2=36B.x2-3y2=36C.
9、3y2-x2=36D.3x2-y2=36故所求双曲线的方程为y2-3x2=36.答案:A 3.设F1,F2分别为双曲线 (a0,b0)的左、右焦点,双曲线上存在一点P,使得(|PF1|-|PF2|)2=b2-3ab,则该双曲线的离心率为()解析:根据双曲线的定义,得|PF1|-|PF2|=2a.因为(|PF1|-|PF2|)2=b2-3ab,所以4a2=b2-3ab,即(a+b)(4a-b)=0,又a+b0,所以b=4a,答案:D 解析:根据已知条件可判断双曲线的中心在坐标原点,焦点在x轴上,所以a=1,c=,于是b2=c2-a2=1,所以双曲线方程为x2-y2=1,渐近线方程为y=x.答案:x2-y2=1y=x(1)求双曲线C的标准方程;(2)设点P是双曲线C上任意一点,且|PF1|=10,求|PF2|.(2)因为a+c=8,|PF1|=108,所以点P可能在双曲线的左支上也可能在双曲线的右支上.若点P在双曲线的左支上,则|PF2|-|PF1|=2a=6,故|PF2|=|PF1|+6=16;若点P在双曲线的右支上,则|PF1|-|PF2|=2a=6,故|PF2|=|PF1|-6=4.综上,|PF2|=16或4.
