1、内容索引010203知识梳理 构建体系专题归纳 核心突破高考体验知识梳理 构建体系【知识网络】圆锥曲线的方程圆锥曲线的方程圆锥曲线的方程【要点梳理】1.椭圆的定义、图形和标准方程分别是什么?有哪些几何性质?请完成下表:2.双曲线的定义、图形和标准方程分别是什么?有哪些几何性质?请完成下表:3.抛物线的定义、图形和标准方程分别是什么?有哪些几何性质?请完成下表:4.直线与圆锥曲线的位置关系有哪些?怎样判断其位置关系?提示:有相交、相切、相离三种.将直线方程与圆锥曲线方程联立,化简后得到关于x(或y)的方程,根据方程解的情况判断即可.【思考辨析】判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错
2、误的画“”.(1)椭圆的焦点只能在坐标轴上.()(4)平面内与两个定点的距离的差等于常数的点的轨迹就是双曲线.()(5)对于三个参数a,b,c,在椭圆的标准方程中,最大的是a,在双曲线的标准方程中,最大的是c.()(6)双曲线的焦点一定位于双曲线的实轴上.()(7)焦点在x轴上的双曲线与焦点在y轴上的双曲线不可能具有共同的渐近线.()(9)双曲线的离心率越大,其渐近线斜率的绝对值就越大.()(10)抛物线y=6x2的焦点在x轴的正半轴上.()(11)直线与圆锥曲线相交时,一定有两个公共点.()(12)椭圆、双曲线与抛物线都既是轴对称图形,也是中心对称图形.()(13)抛物线的顶点一定在过焦点且
3、与准线垂直的直线上.()专题归纳 核心突破专题一专题二专题三专题四专题一圆锥曲线的定义及应用【例1】(1)已知动点M的坐标满足方程5 =|3x+4y-12|,则动点M的轨迹是()A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.以上都不对(2)在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的中心为原点,焦点F1,F2在x轴上,离心率为.过F1的直线l交C于A,B两点,且ABF2的周长为16,则C的方程为.专题一专题二专题三专题四则动点M到原点的距离与它到直线3x+4y-12=0的距离相等,故点M的轨迹是以原点为焦点,直线3x+4y-12=0为准线的抛物线.因为AB过F1且A,B在椭圆上,如图所示,则ABF2的周长为|AB|+
4、|AF2|+|BF2|=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=16,a=4.专题一专题二专题三专题四反思感悟“回归定义”解题的三点应用应用一:在求轨迹方程时,若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义,则根据圆锥曲线的定义,写出所求的轨迹方程;应用二:涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时,常用定义结合解三角形的知识来解决;应用三:在求有关抛物线的最值问题时,常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离,结合几何图形,利用几何意义去解决.提醒:应用定义解题时注意圆锥曲线定义中的限制条件.专题一专题二专题三专题四【变式训练1】(1)若一动圆与两圆:x2+y2=1和x2+y2-6x
5、+5=0都外切,则动圆圆心的轨迹为()A.抛物线B.双曲线C.双曲线的一支D.椭圆解析:x2+y2=1是圆心为原点,半径为1的圆,x2+y2-6x+5=0化为标准方程为(x-3)2+y2=4,是圆心为A(3,0),半径为2的圆.设所求动圆圆心为P,动圆半径为r,结合图形(图略)可知,动圆圆心的轨迹为双曲线的一支.答案:C专题一专题二专题三专题四(2)已知点P是抛物线y2=8x上的任意一点,F是抛物线的焦点,点M的坐标是(2,3),求|PM|+|PF|的最小值,并求出此时点P的坐标.解:抛物线y2=8x的准线方程是x=-2,点P到焦点F的距离等于它到准线x=-2的距离,过点P作PD垂直于准线x=
6、-2,垂足为D,那么|PM|+|PF|=|PM|+|PD|.如图所示,根据平面几何知识,当M,P,D三点共线时,|PM|+|PF|的值最小,且最小值为|MD|=2-(-2)=4,所以|PM|+|PF|的最小值是4.专题一专题二专题三专题四专题二求圆锥曲线的方程【例2】(1)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0),离心率等于 ,则C的方程是()(2)已知抛物线y2=8x的准线过双曲线 (a0,b0)的一个焦点,且双曲线的离心率为2,则该双曲线的方程为.专题一专题二专题三专题四专题一专题二专题三专题四反思感悟 一般求已知曲线类型的曲线方程问题,可采用“先定形,后定式,再定量”的步骤.(1)定
7、形指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置.(2)定式根据“形”设方程的形式,注意曲线系方程的应用,如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时,可设方程为mx2+ny2=1(m0,n0).(3)定量由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系,通过解方程(组)得到量的大小.专题一专题二专题三专题四【变式训练2】(1)焦点在x轴上,右焦点到短轴端点的距离为2,到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程是()(2)已知一双曲线与椭圆x2+4y2=64共焦点,它的一条渐近线方程为x-y=0,则双曲线的方程为.专题一专题二专题三专题四专题一专题二专题三专题四专题三圆锥曲线的性质及应用【例3】(1)如图,椭圆C1,C2
8、与双曲线C3,C4的离心率分别是e1,e2与e3,e4,则e1,e2,e3,e4的大小关系是()A.e2e1e3e4B.e2e1e4e3C.e1e2e3e4D.e1e2e40)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于A,B两点,点C在抛物线的准线上,且BCx轴.证明:直线AC经过原点O.专题一专题二专题三专题四反思感悟 圆锥曲线中的定值、定点问题(1)定值问题的常见类型及解题策略:求代数式为定值.依题意设条件,得出与代数式参数有关的等式,代入代数式、化简即可得出定值.求点到直线的距离为定值.利用点到直线的距离公式得出距离的解析式,利用题设条件化简、变形求得.求某线段长度为定值.利用长度公式求得解析
9、式,依据条件对解析式进行化简、变形即可求得.专题一专题二专题三专题四(2)定点问题的两种解法:引进参数法,引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量,研究变化的量与参数何时没有关系,找到定点.特殊到一般法,根据动点或动线的特殊情况探索出定点,证明该定点与变量无关.专题一专题二专题三专题四【例6】已知椭圆E的中心在坐标原点,对称轴为坐标轴,且抛物线x2=-4 y的焦点是它的一个焦点,又点A(1,)在该椭圆上.(1)求椭圆E的方程;(2)若斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点B,C,当ABC的面积最大时,求直线l的方程.分析:(1)利用待定系数法求解;(2)求出ABC面积的表达式,利用基本不等式或
10、函数思想求最值.专题一专题二专题三专题四专题一专题二专题三专题四专题一专题二专题三专题四反思感悟 最值问题的常用解法(1)代数法:若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则可先建立目标函数再求这个函数的最值.求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、换元法、基本不等式法、单调性法.(2)几何法:若题目的条件与结论能明显体现几何特征及意义,则考虑利用几何图形的性质来解决.专题一专题二专题三专题四(1)若点A是椭圆E的一个顶点,求椭圆的方程;(2)若线段AB上存在点P满足|PF1|+|PF2|=2a,求a的取值范围.专题一专题二专题三专题四若线段AB上存在点P满足|PF1|+|PF2|=2a,则
11、线段AB与椭圆E有公共点,等价于方程6y2-8y+4-a2=0在y0,1上有解.设f(y)=6y2-8y+4-a2,高考体验考点一考点二考点三考点四考点五考点六考点一圆锥曲线的标准方程1.(2019全国高考)已知椭圆C的焦点为F1(-1,0),F2(1,0),过F2的直线与C交于A,B两点.若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,则C的方程为()考点一考点二考点三考点四考点五考点六解析:如图,由已知可设|F2B|=n,|BF1|=m.由|AB|=|BF1|,则|AF2|=m-n,|AB|=m.又|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|,故|AF1|=2n.由椭圆的定义及|AF2
12、|=2|F2B|,考点一考点二考点三考点四考点五考点六过点B作x轴的垂线,垂足为点P.由题意可知OAF2PBF2.又|AF2|=2|F2B|,|OF2|=2|F2P|.答案:B 考点一考点二考点三考点四考点五考点六考点二圆锥曲线的几何性质考点一考点二考点三考点四考点五考点六答案:B 考点一考点二考点三考点四考点五考点六A.2B.3C.4D.8答案:D考点一考点二考点三考点四考点五考点六考点一考点二考点三考点四考点五考点六答案:B 考点一考点二考点三考点四考点五考点六5.(2019北京高考)设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l.则以F为圆心,且与l相切的圆的方程为.解析:抛物线y2=4x中,2
13、p=4,p=2,焦点F(1,0),准线l的方程为x=-1,以F为圆心,且与x=-1相切的圆的方程为(x-1)2+y2=22,即为(x-1)2+y2=4.答案:(x-1)2+y2=4考点一考点二考点三考点四考点五考点六考点一考点二考点三考点四考点五考点六解析:a2=36,b2=20,c2=a2-b2=16,c=4.由题意得,|MF1|=|F1F2|=2c=8.|MF1|+|MF2|=2a=12,|MF2|=4.设点M的坐标为(x0,y0)(x00,y00),考点一考点二考点三考点四考点五考点六考点三圆锥曲线的离心率问题答案:D 考点一考点二考点三考点四考点五考点六答案:D考点一考点二考点三考点四
14、考点五考点六D考点一考点二考点三考点四考点五考点六考点一考点二考点三考点四考点五考点六解析:如图,设PQ与x轴交于点A,由对称性可知PQx轴.|PQ|=|OF|=c,答案:A 考点一考点二考点三考点四考点五考点六考点一考点二考点三考点四考点五考点六答案:2 考点一考点二考点三考点四考点五考点六考点四直线与圆锥曲线的位置关系答案:D考点一考点二考点三考点四考点五考点六13.(2018全国高考)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k0)的直线l与C交于A,B两点,|AB|=8.(1)求l的方程.(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.考点一考点二考点三考点四考点五考点六解:(1
15、)由题意得F(1,0),l的方程为y=k(x-1)(k0).设A(x1,y1),B(x2,y2),考点一考点二考点三考点四考点五考点六(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3),即y=-x+5.设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),考点一考点二考点三考点四考点五考点六14.(2019全国高考)已知抛物线C:y2=3x的焦点为F,斜率为 的直线l与C的交点为A,B,与x轴的交点为P.(1)若|AF|+|BF|=4,求l的方程;考点一考点二考点三考点四考点五考点六考点一考点二考点三考点四考点五考点六考点一考点二考点三考点四考点五考点六交于A,B两点,点
16、M的坐标为(2,0).(1)当l与x轴垂直时,求直线AM的方程;(2)设O为坐标原点,证明:OMA=OMB.(1)解:由已知得F(1,0),l的方程为x=1.考点一考点二考点三考点四考点五考点六(2)证明:当l与x轴重合时,OMA=OMB=0,当l与x轴垂直时,OM为AB的垂直平分线,所以OMA=OMB.当l与x轴不重合也不垂直时,设l的方程为y=k(x-1)(k0),A(x1,y1),B(x2,y2),考点一考点二考点三考点四考点五考点六从而kMA+kMB=0,故MA,MB的倾斜角互补,所以OMA=OMB.综上,OMA=OMB.考点一考点二考点三考点四考点五考点六考点五圆锥曲线中最值与范围问
17、题16.(2019全国高考)已知F1,F2是椭圆C:(ab0)的两个焦点,P为C上的点,O为坐标原点.(1)若POF2为等边三角形,求C的离心率;(2)如果存在点P,使得PF1PF2,且F1PF2的面积等于16,求b的值和a的取值范围.解:(1)连接PF1.由POF2为等边三角形可知在F1PF2中,考点一考点二考点三考点四考点五考点六(2)由题意可知,满足条件的点P(x,y)存在,考点一考点二考点三考点四考点五考点六考点一考点二考点三考点四考点五考点六考点六圆锥曲线中的定点与定值问题17.(2019北京高考)已知椭圆C:的右焦点为(1,0),且经过点A(0,1).(1)求椭圆C的方程;(2)设O为原点,直线l:y=kx+t(t1)与椭圆C交于两个不同点P,Q,直线AP与x轴交于点M,直线AQ与x轴交于点N.若|OM|ON|=2,求证:直线l经过定点.(1)解:由题意得,b2=1,c=1.所以a2=b2+c2=2.考点一考点二考点三考点四考点五考点六考点一考点二考点三考点四考点五考点六
