1、内容索引010203知识梳理 构建体系专题归纳 核心突破高考体验知识梳理 构建体系【知识网络】【要点梳理】1.空间向量共线的充要条件与空间向量共面的充要条件的内容是什么?提示:空间向量共线的充要条件:对任意两个空间向量a,b(b0),ab的充要条件是存在实数,使a=b.空间向量共面的充要条件:如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb.2.空间向量基本定理与空间向量的坐标表示的内容是什么?提示:空间向量基本定理:如果三个向量a,b,c不共面,那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得p=xa+yb+z
2、c.空间向量的坐标表示:在空间直角坐标系Oxyz中,给定向量a和单位正交基底i,j,k,那么存在唯一的有序实数组(x,y,z),使a=xi+yj+zk,有序实数组(x,y,z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标,简记作a=(x,y,z).3.空间向量的线性运算与数量积运算的几何表示与坐标表示是什么?请完成下表:4.用空间向量解决立体几何中的位置关系问题主要体现在哪些方面?请完成下表:5.空间向量在立体几何的距离问题、夹角问题中的应用有哪些?(3)线面距离与面面距离:转化为点到平面的距离.夹角问题中的应用:【思考辨析】判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画“”.(1)零向
3、量是长度为0,没有方向的向量.()(2)有向线段可用来表示空间向量,有向线段长度越长,其所表示的向量的模就越大.()(3)不论取什么实数,a与a一定共线.()(4)若ab=0,则a,b中至少有一个为0.()(6)对于三个不共面向量a1,a2,a3,不存在实数组(1,2,3),使1a1+2a2+3a3=0.()(8)空间存在两个共线向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),满足a1b1+a2b2+a3b3=0.()(9)若a,b为空间向量,则(a+b)(a-b)=a2-b2.()(10)平面的法向量与该平面内的所有向量都是垂直的.()(11)若平面,的法向量分别为u1=(1,0,1
4、),u2=(0,2,0),则平面,互相垂直.()(12)若向量n与直线l的方向向量垂直,Al,Pl,则点P到直线l的距离可以看成是在n上的投影向量的长度.()(13)设直线l与平面所成的角为,直线l的方向向量为u,平面的法向量为n,则cos=|cos|.()专题归纳 核心突破专题一专题二专题三专题四专题一空间向量的线性运算专题一专题二专题三专题四专题一专题二专题三专题四反思感悟 在几何体中,根据图形的特点,选择公共起点最集中的向量中的三个不共面的向量作为基底,或选择有公共起点且关系最明确(如夹角或线段长度)的三个不共面的向量作为基底,这样更利于解题.专题一专题二专题三专题四专题二利用空间向量解
5、决平行与垂直问题【例2】在四棱锥P-ABCD中,ABAD,CDAD,PA底面ABCD,PA=AD=CD=2AB=2,M为PC的中点.(1)求证:BM平面PAD;(2)平面PAD内是否存在一点N,使MN平面PBD?若存在,确定N的位置;若不存在,说明理由.专题一专题二专题三专题四解:以A为原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则B(1,0,0),D(0,2,0),P(0,0,2),C(2,2,0),M(1,1,1).又BM平面PAD,BM平面PAD.专题一专题二专题三专题四专题一专题二专题三专题四反思感悟 1.判断直线与平面的位置关系,有两种思路,一
6、是利用判定定理判断;二是转化为直线的方向向量与平面的法向量的关系.2.处理探究性问题的步骤:先假设存在,设出点的坐标,将条件转化为向量的运算,通过计算求变量的值,若能解出符合条件的变量的值,就存在;若解不出变量的值,就不存在.专题一专题二专题三专题四【变式训练1】如图所示,已知PA平面ABCD,ABCD为矩形,PA=AD,M,N分别为AB,PC的中点.求证:(1)MN平面PAD;(2)平面PMC平面PDC.专题一专题二专题三专题四证明:以A为原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.设PA=AD=a,AB=b,则P(0,0,a),A(0,0,0
7、),D(0,a,0),C(b,a,0),B(b,0,0).M,N分别为AB,PC的中点,专题一专题二专题三专题四专题一专题二专题三专题四可取n2=(0,1,1).n1n2=0,n1n2.平面PMC平面PDC.专题一专题二专题三专题四专题三利用空间向量解决距离问题(1)求点A到平面PCF的距离;(2)求直线AD到平面PBC的距离.分析:(1)计算点到平面的距离;(2)先证明AD平面PBC,再转化为点到平面的距离.专题一专题二专题三专题四解:(1)由题意知AP,AB,AD两两垂直,故建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,则A(0,0,0),B(a,0,0),C(a,a,0),D(0,3a,0),P
8、(0,0,a).设F(0,m,0)(0m3a),专题一专题二专题三专题四设平面PCF的法向量为n=(x,y,z),专题一专题二专题三专题四取x1=1,则n1=(1,0,1).因此n1=(1,0,1)是平面PBC的一个法向量.ADBC,AD平面PBC,BC平面PBC,AD平面PBC.直线AD到平面PBC的距离即为点A到平面PBC的距离.专题一专题二专题三专题四反思感悟 1.求点到平面的距离,常利用向量法,转化为平面外一点与平面内一点构成的向量在平面的法向量方向上的投影向量的长度.2.求直线到平面的距离,往往转化为点到平面的距离求解,且这个点要适当选取,易于求解.专题一专题二专题三专题四【变式训练
9、2】如图,在长方体ABCD-ABCD中,AB=2,BC=3,AA=4,则点B到直线AC的距离为.专题一专题二专题三专题四解析:AB=2,BC=3,AA=4,专题一专题二专题三专题四专题四利用空间向量解决夹角问题【例4】如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=5,AD=8,AA1=4,M为B1C1上一点,且B1M=2,点N在线段A1D上,A1DAN.求:(2)直线AD与平面ANM所成角的正弦值;(3)平面ANM与平面ABCD夹角的余弦值.分析:建系写相关点的坐标求法向量及方向向量求向量的夹角专题一专题二专题三专题四解:建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,则A(0,0,0),D(0
10、,8,0),M(5,2,4),A1(0,0,4).专题一专题二专题三专题四(2)由(1)知A1DAM,A1DAN,且AMAN=A,A1D平面ANM.专题一专题二专题三专题四反思感悟 解决立体几何中的夹角问题的思路:思路一:利用定义,在图形中找出所求的角,解三角形求出所求角;思路二:利用向量法,转化为向量与向量之间的夹角.注意线线角、线面角、面面角与对应向量满足的关系.专题一专题二专题三专题四【变式训练3】如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为A1D1,CC1的中点.(1)求证:EF平面ACD1;(2)求异面直线EF与AB所成角的余弦值;(3)在棱BB1上是否存在一点
11、P,使得平面ACP与平面ABC的夹角为30?若存在,求出BP的长;若不存在,请说明理由.专题一专题二专题三专题四解:分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,则D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),B1(2,2,2),D1(0,0,2),E(1,0,2),F(0,2,1).EFCG.又CG平面ACD1,EF平面ACD1,EF平面ACD1.专题一专题二专题三专题四专题一专题二专题三专题四(3)满足条件的点P存在.设点P(2,2,t)(00),则F(1,2,h).考点一考点二考点三考点一考点二考点三考点一考点二考点三(1)求证:CD平面PAD;(2)求二面角F-AE-P的余弦值;考点一考点二考点三(1)证明:因为PA平面ABCD,所以PACD.又因为ADCD,所以CD平面PAD.(2)解:过A作AD的垂线交BC于点M.因为PA平面ABCD,所以PAAM,PAAD.如图建立空间直角坐标系A-xyz,则A(0,0,0),B(2,-1,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2).因为E为PD的中点,所以E(0,1,1).考点一考点二考点三考点一考点二考点三
