1、2.3.3直线与平面垂直的性质2.3.4平面与平面垂直的性质学 习 目 标核 心 素 养1. 理解直线和平面垂直、平面与平面垂直的性质定理，并能用文字、符号和图形语言描述定理(重点)2能应用线面垂直、面面垂直的性质定理证明相关问题(重点、难点)3理解平行与垂直之间的相互转化(易错点)1.通过学习直线与平面垂直的性质，提升直观想象、逻辑推理的数学核心素养2通过学习平面与平面垂直的性质，提升直观想象、逻辑推理、数学运算的数学核心素养.1直线与平面垂直的性质定理文字语言垂直于同一个平面的两条直线平行符号语言ab图形语言作用线面垂直线线平行作平行线思考：过一点有几条直线与已知平面垂直？提示有且仅有一条
2、假设过一点有两条直线与已知平面垂直，由直线与平面垂直的性质定理可得这两条直线平行，应无公共点，这与过同一点相矛盾，故只有一条直线2平面与平面垂直的性质定理文字语言两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直符号语言a图形语言作用面面垂直线面垂直作面的垂线思考：如果，则内的直线必垂直于内的无数条直线吗？提示正确若设l，a，b，bl，则ab，故内与b平行的无数条直线均垂直于内的任意直线1直线n平面，nl，直线m，则l、m的位置关系是()A相交B异面C平行D垂直D由题意可知l，所以lm.2若平面平面，平面平面，则()A BC与相交但不垂直 D以上都有可能D可能平行，也可能相交如图，与平
3、行，与垂直3已知直线a，b，平面，且a，下列条件中，能推出ab的是()Ab BbCb Db与相交C由线面垂直的性质定理可知，当b，a时，ab.4平面平面，直线l，直线m，则直线l，m的位置关系是_相交、平行或异面根据题意，l，m可能相交、平行或异面线面垂直性质定理的应用【例1】如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN平面A1DC.求证：MNAD1.证明因为四边形ADD1A1为正方形，所以AD1A1D.又因为CD平面ADD1A1，所以CDAD1.因为A1DCDD，所以AD1平面A1DC.又因为MN平面A1DC，所以MNAD1.证明线线平行常用如下方法：
4、(1)利用线线平行定义：证共面且无公共点；(2)利用三线平行公理：证两线同时平行于第三条直线；(3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行；(4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直；(5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行1如图，已知平面平面l，EA，垂足为A，EB，直线a，aAB.求证：al.证明因为EA，l，即l，所以lEA.同理lEB.又EAEBE，所以l平面EAB.因为EB，a，所以EBa，又aAB，EBABB，所以a平面EAB.由线面垂直的性质定理，得al.面面垂直性质定理的应用【例2】如图，在三棱锥PABC中，PA平面ABC，平面P
5、AB平面PBC.求证：BCAB.证明如图，在平面PAB内，作ADPB于点D.平面PAB平面PBC，且平面PAB平面PBCPB，AD平面PAB，AD平面PBC.又BC平面PBC，ADBC.又PA平面ABC，BC平面ABC，PABC，又PAADA，BC平面PAB.又AB平面PAB，BCAB.1证明或判定线面垂直的常用方法：(1)线面垂直的判定定理；(2)面面垂直的性质定理；(3)若ab，a，则b(a、b为直线，为平面)；(4)若a，则a(a为直线，为平面)；2两平面垂直的性质定理告诉我们要将面面垂直转化为线面垂直，方法是在其中一个面内作(找)与交线垂直的直线2如图，四棱锥VABCD的底面是矩形，侧
6、面VAB底面ABCD，又VB平面VAD.求证：平面VBC平面VAC.证明面VAB面ABCD，且BCAB，面VAB面ABCDAB，BC平面ABCD.BC面VAB，又VA平面VAB，BCVA，又VB面VAD，VBVA，又VBBCB，VA面VBC，VA面VAC，平面VBC平面VAC.线线、线面、面面垂直的综合应用探究问题试总结线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的转化关系提示垂直问题转化关系如下所示：【例3】如图所示，ABC为正三角形，EC平面ABC，BDCE，且CECA2BD，M是EA的中点，求证：(1)DEDA；(2)平面BDM平面ECA；(3)平面DEA平面ECA.思路探究：(1)设出BD，分别求
7、出DE、DA的长度或证明DMAE，即证DM为AE的中垂线即可(2)(3)只需证明DM平面ECA即可证明(1)设BDa，如图，作DFBC交CE于F，则CFDBa.因为CE平面ABC，所以BCCF，DFEC，所以DEa.又因为DB平面ABC，所以DAa，所以DEDA.(2)取CA的中点N，连接MN，BN，则MN綊CE綊DB.所以四边形MNBD为平行四边形，所以MDBN.又因为EC平面ABC，所以ECBN，ECMD.又DEDA，M为EA的中点，所以DMAE.所以DM平面AEC，所以平面BDM平面ECA.(3)由(2)知DM平面AEC，而DM平面DEA，所以平面DEA平面ECA.本例条件不变，试求平面
8、ADE与平面ABC所成二面角的大小解如图延长ED交CB延长线于点N，连接AN，设BDa，由例题知，CEACBCAB2a，在CEN中，由知B为CN中点，CBBN2a.ABN中，ABN120，BANBNA30，CAN90，即NACA.又EC平面ABC，ECNA，又CACEC，NA平面ACE，NAAE，NAAC，且AN为平面ADE与平面ABC的交线CAE为平面ADE与平面ABC所成二面角的平面角，在RtACE中，ACCE，CAE45.所以平面ADE与平面ABC所成二面角为45.垂直关系的互化及解题策略：空间问题化成平面问题是解决立体几何问题的一个基本原则，解题时，要抓住几何图形自身的特点，如等腰(边
9、)三角形的三线合一、中位线定理、菱形的对角线互相垂直等还可以通过解三角形，产生一些题目所需要的条件，对于一些较复杂的问题，注意应用转化思想解决问题1线面垂直的性质定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系相互转化的依据2面面垂直的性质定理揭示了“面面垂直、线面垂直及线线垂直”间的内在联系，体现了数学中的化归转化思想，其转化关系如下：1直线a与直线b垂直，直线b平面，则直线a与平面的位置关系是()AaBaCa Da或aDab，b，则a或a.选D.2如图所示，三棱锥PABC中，平面ABC平面PAB，PAPB，ADDB，则()APD平面ABCBPD平面ABCCPD
10、与平面ABC相交但不垂直DPD平面ABCBPAPB，ADDB，PDAB.又平面ABC平面PAB，平面ABC平面PABAB，PD平面ABC.3如图，已知PA平面ABC，BCAC，则图中直角三角形的个数为_4PA平面ABC，AB平面ABC，AC平面ABC，BC平面ABC，PAAB，PAAC，PABC，则PAB，PAC为直角三角形由BCAC，且ACPAA，得BC平面PAC，从而BCPC，因此ABC，PBC也是直角三角形故直角三角形有4个4如图所示，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是矩形，侧面SDC底面ABCD，求证：平面SCD平面SBC.证明因为底面ABCD是矩形，所以BCCD.又平面SDC平面ABCD，平面SDC平面ABCDCD，BC平面ABCD，所以BC平面SCD.又因为BC平面SBC.所以平面SCD平面SBC.
