1、？6.4.3余弦定理、正弦定理第2课时正弦定理？课标定位素养阐释1.能用向量方法发现和证明正弦定理,掌握正弦定理及其变形.2.能够利用正弦定理解三角形,并会判断三角形的形状.3.提升数学抽象、逻辑推理和数学运算素养.自主预习新知导学合作探究释疑解惑易 错 辨 析随 堂 练 习？自主预习新知导学？一、正弦定理【问题思考】1.在ABC中,若A=30,B=45,AC=4,你能用余弦定理求出BC吗?提示:不能.？3.当ABC是一般的锐角三角形或钝角三角形时,上述2(2)中的结论是否成立?你能利用向量方法研究锐角三角形中的这个边角关系吗?？4.正弦定理？二、与正弦定理有关的结论【问题思考】1.在正弦定理
2、中,三角形的各边与其所对角的正弦的比都相等,这个比值等于多少?与该三角形外接圆的直径有什么关系?？答案:(1)B(2)3？【思考辨析】判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画“”.(1)在ABC中,一定有asin A=bsin B=csin C.()(2)在ABC中,若ab,则必有sin Asin B.()(3)在ABC中,若sin A=sin B,则必有A=B.()(4)已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时,只能用余弦定理,不能用正弦定理.()？合作探究释疑解惑探究一探究二探究三？探究一 已知两角和一边解三角形【例1】在ABC中,已知A=60,B=45,c=2,求C,
3、a,b.分析:先根据三角形的内角和定理求出角C,再由正弦定理求a,b.？解:在ABC中,C=180-(A+B)=180-(60+45)=75.sin 75=sin(45+30)=sin 45cos 30+cos 45sin 30？当已知三角形的两角和一边,解三角形的步骤:(1)利用三角形内角和定理求出第三个角;(2)利用正弦定理求出另外两边.？探究二 已知两边和其中一边的对角解三角形？已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形时,可能出现一解、两解或无解的情况,应结合图形并根据“三角形中大边对大角”来判断解的情况,作出正确取舍.？答案:(1)C(2)C？探究三 判断三角形的形状【例3】在ABC中
4、,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b=acos C,试判定ABC的形状.解法一:(从角的关系判断)根据b=acos C,由正弦定理,得sin B=sin Acos C.B=-(A+C),sin(A+C)=sin Acos C,即sin Acos C+cos Asin C=sin Acos C,cos Asin C=0.A,C(0,),cos A=0,ABC为直角三角形.？解法二:(从边的关系判断)根据b=acos C,化简,得b2+c2=a2.即ABC为直角三角形.？1.判断三角形的形状时,应围绕三角形的边角关系,利用正弦定理或余弦定理进行边角互化,要么把角转化为边,通过代数变形找出边之
5、间的关系,要么把边转化为角,通过三角变换找出角之间的关系,当然也可以边角同时考虑.2.在解题中,若出现关于边的齐次式(方程)或关于角的正弦的齐次式(方程),则可通过正弦定理,进行边角互化.？【变式训练3】已知在ABC中,bsin B=csin C,且sin2A=sin2B+sin2C,试判断ABC的形状.？易 错 辨 析？忽视对三角形解的个数的讨论致错即B=30或B=150.答案:30或150以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:由得出角B的度数时,应考虑到Bbsin AB.absin AC.absin AD.absin A答案:D答案:A？答案:75？把a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C(R为ABC外接圆的半径)代入,得2R=2Rtan B=2Rtan C,即tan B=tan C=1,0B180,0C180,B=C=45,A=90,ABC为等腰直角三角形.
