1、？6.3平面向量基本定理及坐标表示6.3.1平面向量基本定理？课标定位素养阐释1.理解基底的含义,并能判断两个向量是否构成基底.2.理解平面向量基本定理及其意义,会用基底表示平面向量.3.提升数学抽象、直观想象和数学运算素养.自主预习新知导学合作探究释疑解惑易 错 辨 析随 堂 练 习？自主预习新知导学？平面向量基本定理【问题思考】1.如图,在物理中,已知两个力可以求出它们的合力;反过来,一个力也可以分解为两个不同方向的力.那么对于平面内的任意向量a和两个非零向量e1,e2,能否将向量a按e1,e2的方向分解?如果能,分解方法唯一吗?？提示:当非零向量e1,e2共线时,向量a不一定能按e1,e
2、2的方向分解,当非零向量e1,e2不共线时,任意向量a一定可以按e1,e2的方向分解,且分解方法是唯一的.？2.平面向量基本定理？3.做一做:(1)已知向量e1,e2不共线,则下列各对向量可以作为平面内的一组基底的是()A.e1-e2与e2-e1C.-e1-2e2与2e1+4e2D.e1-2e2与2e1-e2？(2)下列说法正确的是()A.平面内的任一向量a,都可以用平面内的两个非零向量e1,e2线性表示B.当a与两个不共线的非零向量e1,e2之一平行时,a不能用e1,e2线性表示C.零向量可以作为基底中的向量D.平面内的基底是不唯一的？解析:(1)根据基底的定义,只要两向量不共线便可作为基底
3、,易知选D.(2)根据平面向量基本定理可知,只要是不共线的两个向量就可以作为基底,因此基底是不唯一的.故选D.答案:(1)D(2)D？【思考辨析】判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画“”.(1)只有非零向量才能用平面内的一个基底e1,e2线性表示.()(2)同一向量用两个不同的基底表示时,表示方法是相同的.()(3)若a,b不共线,且1a+1b=2a+2b,则1=2,1=2.()(4)平面向量的基底不唯一,只要基底确定后,平面内的任何一个向量都可用这个基底唯一表示.()？合作探究释疑解惑探究一探究二探究三？探究一 基底的概念【例1】(1)(多选题)设e1,e2是平面内所有
4、向量的一个基底,则下列四组向量中,能作为基底的是()A.e1+e2和e1-e2B.3e1-4e2和6e1-8e2C.e1+2e2和2e1+e2D.e1和e1+e2(2)已知e1与e2不共线,a=e1+2e2,b=e1+e2,且a,b是一个基底,则实数的取值范围是.？解析:(1)B中,6e1-8e2=2(3e1-4e2),(6e1-8e2)(3e1-4e2),故3e1-4e2和6e1-8e2不能作为基底.A,C,D中两向量均不共线,可以作为基底.？对基底的理解:(1)两个向量能否作为一个基底,关键是看这两个向量是否共线.若共线,则不能作基底,反之,则可作基底.(2)一个平面的基底一旦确定,平面上
5、任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来.设向量a与b是平面内两个不共线的向量,若x1a+y1b=x2a+y2b,则提醒:一个平面的基底不是唯一的;同一个向量用不同的基底表示,表达式不一样.？【变式训练1】(1)(多选题)设O是ABCD的对角线交点,下列四组向量,可作为这个平行四边形所在平面的所有向量的基底的是()(2)已知a,b是一个基底,实数x,y满足(3x-4y)a+(2x-3y)b=6a+3b,则x-y的值为.？答案:(1)AC(2)3？探究二 用基底表示向量？用基底表示向量的方法将两个不共线的向量作为基底表示其他向量,基本方法有两种:一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行
6、转化,直至用基底表示为止;另一种是通过列向量方程或方程组的形式,利用基底表示向量的唯一性求解.？探究三 平面向量基本定理与数量积的综合应用【例3】在平行四边形ABCD中,点M,N分别在边BC,CD上,且满足BC=3MC,DC=4NC,若AB=4,AD=3,则AMN的形状是()A.锐角三角形 B.钝角三角形C.直角三角形 D.等腰三角形？答案:C？用向量解决平面几何问题的一般步骤(1)选取不共线的两个平面向量作为基底(对于平行四边形,常选从同一点出发的两条边对应的向量作为基底).(2)将相关的向量用基底中的向量表示,将几何问题转化为向量问题.(3)利用向量知识进行向量运算,得向量问题的解.(4)
7、再将向量问题的解转化为平面几何问题的解.提醒:基底的选取非常重要,恰当地选取基底可以使数量积运算变得简便.？【变式训练2】已知单位圆O中的三条半径OA,OB,OC,它们相互之间的夹角为120,求证:ABOC.？易 错 辨 析？忽略两个向量作为基底的条件致错【典例】已知e10,R,a=e1+e2,b=2e1,则a与b共线的条件为()A.=0B.e2=0C.e1e2D.e1e2或=0错解:A以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?？提示:错解在应用平面向量基本定理a=1e1+2e2中,忽视了e1,e2不共线这个条件.本题没有指明e1,e2是否共线,应对e1,e2是否共
8、线分类讨论.正解:当e1e2时,ae1,因为b=2e1,所以be1.又e10,故a与b共线;当=0时,则ae1.因为b=2e1,所以be1.又因为e10,所以a与b共线.答案:D？1.在应用平面向量基本定理时,要注意a=1e1+2e2中,e1,e2不共线这个条件.2.平面内任一向量都可以沿着两个不共线向量e1,e2的方向线性分解,并且这种分解是唯一的.3.积累直观想象和数学运算素养的经验.？【变式训练】已知向量a在基底e1,e2下可以表示为a=2e1+3e2,若a在基底e1+e2,e1-e2下可表示为a=(e1+e2)+(e1-e2),则=,=.？随 堂 练 习？1.(多选题)如果e1,e2是
9、平面内所有向量的一个基底,那么下列说法中正确的是()A.已知实数1,2,则向量1e1+2e2一定在平面内B.对平面内任一向量a,使a=1e1+2e2的实数1,2可以有无穷多个C.若实数1,2使得1e1=2e2,则1=2=0D.若a=1e1+2e2,且ae1,则2=0？解析:选项A中,由平面向量基本定理知1e1+2e2与e1,e2共面,所以A项正确;选项B中,实数1,2有且仅有一对,所以B项不正确;选项C正确;选项D中,因为ae1,所以存在实数,使得a=e1,所以1e1+2e2=e1,又e1,e2不共线,所以1=,2=0,所以D项正确.答案:ACD？答案:A？3.已知e1,e2是平面内两个不共线的向量,a=3e1-2e2,b=-2e1+e2,c=7e1-4e2,以a,b为基底,则c等于()A.7a-4bB.a-2bC.-a+4bD.a+2b解析:因为a,b不共线,所以可设c=xa+yb,x,yR,则xa+yb=x(3e1-2e2)+y(-2e1+e2)=(3x-2y)e1+(-2x+y)e2=7e1-4e2.解得x=1,y=-2,故c=a-2b.答案:B？
