1、22.2椭圆的几何性质(二)学习目标1.进一步巩固椭圆的几何性质.2.掌握直线与椭圆位置关系的相关知识知识链接已知直线和椭圆的方程，怎样判断直线与椭圆的位置关系？答：直线与椭圆的位置关系，可通过讨论椭圆方程与直线方程组成的方程组的解的个数来确定，通常用消元后的关于x(或y)的一元二次方程的根的判别式来判断0直线和椭圆相交；0直线和椭圆相切；b0)的位置关系点P在椭圆上1；点P在椭圆内部1.2直线与椭圆的位置关系直线ykxm与椭圆1(ab0)的位置关系判断方法：联立消y得到一个关于x的一元二次方程.位置关系解的个数的取值相交两解0相切一解0相离无解b0)或1(ab0)，直线与椭圆的两个交点为A(
2、x1，y1)，B(x2，y2)，则AB.或AB.其中，x1x2，x1x2或y1y2，y1y2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立消去y(或x)后得到关于x(或y)的一元二次方程得到要点一直线与椭圆的位置关系例1在椭圆1上求一点P，使它到直线l：3x2y160的距离最短，并求出最短距离解设与椭圆相切并与l平行的直线方程为yxm，代入1，并整理得4x23mxm270，9m216(m27)0m216m4，故两切线方程为yx4和yx4，显然yx4距l最近d，切点为P.规律方法本题通过对图形的观察分析，将求最小距离问题转化为直线与椭圆的位置关系问题解此类问题的常规解法是直线方程与椭圆方程联立，消去y或x
3、得到关于x或y的一元二次方程，则(1)直线与椭圆相交0；(2)直线与椭圆相切0；(3)直线与椭圆相离0.这时直线的方程为y2(x4)，即x2y80.方法二设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有两式相减得0，整理得kAB，由于P(4,2)是AB的中点，所以x1x28，y1y24，于是kAB，于是直线AB的方程为y2(x4)，即x2y80.要点三椭圆中的最值(或范围)问题例3已知椭圆4x2y21及直线yxm.(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程解(1)由得5x22mxm210，因为直线与椭圆有公共点，所以4m220(m21)0，解得m.(2
4、)设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由(1)知：5x22mxm210，所以x1x2，x1x2(m21)，所以AB.所以当m0时，AB最大，此时直线方程为yx.规律方法解析几何中的综合性问题很多而且可与很多知识联系在一起出题，例如不等式、三角函数、平面向量以及函数的最值问题等解决这类问题需要正确地应用转化思想、函数与方程思想和数形结合思想其中应用比较多的是利用方程根与系数的关系构造等式或函数关系式，这其中要注意利用根的判别式来确定参数的限制条件跟踪演练3如图，点A是椭圆C：1(ab0)的短轴位于y轴下方的端点，过点A且斜率为1的直线交椭圆于点B，若P在y轴上，且BPx轴，9
5、.(1)若点P的坐标为(0,1)，求椭圆C的标准方程；(2)若点P的坐标为(0，t)，求t的取值范围解直线AB的斜率为1，BAP45，即BAP是等腰直角三角形，|.9，|cos45|2cos459，|3.(1)P(0,1)，|1，|2，即b2，且B(3,1)B在椭圆上，1，得a212，椭圆C的标准方程为1.(2)由点P的坐标为(0，t)及点A位于x轴下方，得点A的坐标为(0，t3)，t3b，即b3t.显然点B的坐标是(3，t)，将它代入椭圆方程得：1，解得a2.a2b20，(3t)20.1，即10，所求t的取值范围是0t0，m1或m0，m1且m3.3如图所示，直线l：x2y20过椭圆的左焦点F
6、1和一个顶点B，则椭圆的离心率为_答案解析由条件知，F1(2,0)，B(0,1)，b1，c2，a，e.4椭圆1的左焦点为F1，点P在椭圆上如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标是_答案解析由条件可得F1(3,0)，PF1的中点在y轴上，P坐标(3，y0)，又P在椭圆1上得y0，M的坐标为(0，)解决直线与椭圆的位置关系问题经常利用设而不求的方法，解题步骤为(1)设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)；(2)联立直线与椭圆的方程；(3)消元得到关于x或y的一元二次方程；(4)利用根与系数的关系设而不求；(5)把题干中的条件转化为x1x2，x1x2或y1y2，y1y2，进
7、而求解.一、基础达标1直线ykx1与椭圆1总有公共点，则m的取值范围是_答案1,5)(5，)解析直线ykx1恒过(0,1)点，若5m，则1，若5m，则必有公共点，m1且m5.2椭圆1上的点P到椭圆左焦点的最大距离和最小距离分别是_答案9,1解析因为a5，c4，所以最大距离为ac9，最小距离为ac1.3已知直线l：xy30，椭圆y21，则直线与椭圆的位置关系是_答案相离解析把xy30代入y21，得(3x)21，即5x224x320.(24)2453264b0)的左、右焦点分别为F1、F2，焦距为2c，若直线y(xc)与椭圆的一个交点M满足MF1F22MF2F1，则该椭圆的离心率等于_答案1解析由
8、直线方程y(xc)，得直线的倾斜角MF1F2，且过点F1(c,0)，MF1F22MF2F1，MF1F22MF2F1，即F1MF2M，在RtF1MF2中，F1F22c，F1Mc，F2Mc，由椭圆定义可得2acc，1.11已知椭圆C1：y21，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率(1)求椭圆C2的方程；(2)设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上，2，求直线AB的方程解(1)由已知可设椭圆C2的方程为1(a2)，其离心率为，故，解得a4.故椭圆C2的方程为1.(2)方法一A，B两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，由2及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y
9、轴上，因此可设直线AB的方程为ykx.将ykx代入y21中，得(14k2)x24，所以x.将ykx代入1中，得(4k2)x216，所以x.又由2，得x4x，即，解得k1.故直线AB的方程为yx或yx.方法二A，B两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，由2及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为ykx.将ykx代入y21中，得(14k2)x24，所以x.由2，得x，y.将x，y代入1中，得1，即4k214k2，解得k1.故直线AB的方程为yx或yx.12在平面直角坐标系xOy中，点P到两点(0，)，(0，)的距离之和等于4，设点P的轨迹为C.(1)
10、写出C的方程；(2)设直线ykx1与C交于A、B两点，k为何值时？此时AB的值是多少？解(1)设P(x，y)，由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以(0，)，(0，)为焦点，长半轴长为2的椭圆它的短半轴长b1，故曲线C的方程为x21.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐标满足消去y，并整理得(k24)x22kx30，故x1x2，x1x2.，x1x2y1y20.y1y2k2x1x2k(x1x2)1，于是x1x2y1y21.又x1x2y1y20，k.当k时，x1x2，x1x2.AB，而(x2x1)2(x2x1)24x1x24，AB.三、探究与创新13已知椭圆C的两个焦点分别为F1(1,0)、
11、F2(1,0)，短轴的两个端点分别为B1、B2.(1)若F1B1B2为等边三角形，求椭圆C的方程；(2)若椭圆C的短轴长为2，过点F2的直线l与椭圆C相交于P、Q两点，且，求直线l的方程解(1)设椭圆C的方程为1(ab0).根据题意知解得a2，b2，故椭圆C的方程为1.(2)容易求得椭圆C的方程为y21.当直线l的斜率不存在时，其方程为x1，不符合题意；当直线的斜率存在时，设直线l的方程为yk(x1).由得(2k21)x24k2x2(k21)0.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1x2，x1x2，(x11，y1)，(x21，y2)因为，所以0，即(x11)(x21)y1y2x1x2(x1x2)1k2(x11)(x21)(k21)x1x2(k21)(x1x2)k210，解得k2，即k.故直线l的方程为xy10或xy10.
