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《创新设计-课堂讲义》2016-2017学年高中数学(苏教版选修2-2)配套习题:第一章 导数及其应用1-5-1 WORD版含解析.docx

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1、1.5.1 曲边梯形的面积明目标、知重点 1.了解“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法.2.会求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程1曲边梯形的概念由直线 xa,xb(ab),y0 和曲线 yf(x)所围成的图形称为曲边梯形(如图所示)2求曲边梯形面积的方法把区间a,b分成许多小区间,进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形,对每个小曲边梯形“以直代曲”,即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积,得到每个小曲边梯形面积的近似值,对这些近似值求和,就得到曲边梯形面积的近似值(如图所示)3求曲边梯形面积的步骤:分割,以直代曲,作和,逼近4求变速直线运动的(位移)路程如果物体做变速直线运动,速度函数为 vv(t

2、),那么也可以采用分割、以直代曲、作和、逼近的方法,求出它在 atb 内所作的位移 s.情境导学任何一个平面图形都有面积,其中矩形、正方形、三角形、平行四边形、梯形等平面多边形的面积,可以利用相关公式进行计算如图所示的平面图形,是由直线 xa,xb(ab),y0 和曲线 yf(x)所围成的,称之为曲边梯形,如何计算这个曲边梯形的面积呢?为此,我们需要学习新的数学知识定积分探究点一 求曲边梯形的面积思考 1 如何计算下列两图形的面积?答 直接利用梯形面积公式求解转化为三角形和梯形求解问题 如图,如何求由抛物线 yx2 与直线 x1,y0 所围成的平面图形的面积 S?思考 2 图中的图形与我们熟悉

3、的“直边图形”有什么区别?答 已知图形是由直线 x1,y0 和曲线 yx2 所围成的,可称为曲边梯形,曲边梯形的一条边为曲线段,而“直边图形”的所有边都是直线段思考 3 能否将求曲边梯形的面积问题转化为求“直边图形”的面积问题?(归纳主要步骤)答(如下图)可以通过把区间0,1分成许多小区间,将曲边梯形拆分为一些小曲边梯形,对每个小曲边梯形“以直代曲”,即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积,得到每个小曲边梯形面积的近似值,对这些近似值进行求和,就得到曲边梯形面积的近似值,随着拆分越来越细,近似程度会越来越好Si1nSii1n(i1n)2xi1n(i1n)21n(i1,2,n)01n(1n)21

4、n(n1n)21n 1n3021222(n1)213(11n)(1 12n)所以,当 n时,1311n 1 12n 13.求曲边梯形的面积可以通过分割、以直代曲、作和、逼近四个步骤完成思考 4 在“以直代曲”中,如果认为函数 f(x)x2 在区间i1n,in(i1,2,n)上的值近似地等于右端点in处的函数值 f(in),用这种方法能求出 S 的值吗?若能求出,这个值也是13吗?取任意 ii1n,in处的函数值 f(i)作为近似值,情况又怎样?其原理是什么?答 都能求出 S13.我们解决此类问题的原理是“近似代替”和“以直代曲”,在极限状态下,小曲边梯形可以看做小矩形例 1 求由直线 x0,x

5、1,y0 和曲线 y12x2 所围成的图形的面积解(1)分割将区间0,1等分为 n 个小区间:0,1n,1n,2n,2n,3n,i1n,in,n1n,1,每个小区间的长度为 xini1n 1n.过各区间端点作 x 轴的垂线,把曲边梯形分成 n 个小曲边梯形,它们的面积分别记作 S1,S2,Sn.(2)以直代曲在区间i1n,in(i1,2,n)上,以i1n 的函数值12i1n2 作为高,小区间的长度 x1n作为底边,小矩形的面积作为第 i 个小曲边梯形的面积,即Si12(i1n)21n.(3)作和曲边梯形的面积近似值为Si1nSii1n 12(i1n)21n01n12(1n)21n12(2n)2

6、1n12(n1n)21n 12n3021222(n1)216(11n)(1 12n)(4)逼近当 n时,1611n 1 12n 16,所以,曲边梯形的面积为16.反思与感悟 求曲边梯形的思想及步骤:(1)思想:以直代曲、逼近;(2)步骤:分割以直代曲作和逼近;(3)关键:以直代曲;(4)结果:分割越细,面积越精确跟踪训练 1 求由抛物线 yx2 与直线 y4 所围成的曲边梯形的面积解 yx2 为偶函数,图象关于 y 轴对称,所求曲边梯形的面积应为抛物线 yx2(x0)与直线 x0,y4 所围图形面积 S 阴影的 2 倍,下面求 S 阴影由yx2x0,y4,得交点为(2,4),如图所示,先求由直

7、线 x0,x2,y0 和曲线 yx2 围成的曲边梯形的面积(1)分割将区间0,2 n 等分,则 x2n,取 i2i1n.(2)以直代曲、作和Si1n2i1n22n 8n302122232(n1)283(11n)(1 12n)(3)逼近当 n时,8311n 1 12n 83.所求平面图形的面积为 S 阴影2483163.2S 阴影323,即抛物线 yx2 与直线 y4 所围成的曲边梯形的面积为323.探究点二 求曲边梯形面积方法的实际应用思考 利用导数我们解决了“已知物体运动路程与时间的关系,求物体运动速度”的问题反之,如果已知物体的速度与时间的关系,如何求其在一定时间内经过的路程呢?答 物体以

8、速度 v 做匀速直线运动时,经过时间 t 所行驶的路程为 svt.如果物体做变速直线运动,与求曲边梯形面积类似,我们采取“以不变代变”的方法,把时间 t 分割成许多“小段”,在每一“小段”时间内物体的运动可以看做匀速直线运动,于是把求变速直线运动的路程问题,化归为求匀速直线运动的路程问题例 2 汽车以速度 v 做匀速直线运动时,经过时间 t 所行驶的路程 svt.如果汽车做变速直线运动,在时刻 t 的速度为 v(t)t22(单位:km/h),那么它在 0t1 这段时间行驶的路程是多少?解(1)分割将时间区间0,1分成 n 个小区间,0,1n,1n,2n,2n,3n,i1n,in,n1n,1,则

9、第 i 个小区间为i1n,in(i1,2,n)(2)以直代曲第 i 个小矩形的高为 v(i1n),Siv(i1n)1n(i1n)221n.(3)作和S1ni1n(i1n)221n3021222(n1)22n12n16n2213(11n)(1 12n)2.(4)逼近当 n时,1311n 1 12n 253.这段时间行驶的路程为53 km.反思与感悟(1)把变速直线运动的路程问题化归为匀速直线运动的路程问题,通过分割、以直代曲、作和、逼近四步解决(2)从函数的角度来看,求变速运动的路程,就是求速度函数 v(t)t22 在 t0,t1,v(t)0 形成的曲边梯形的面积,这就是数学方法在物理应用中的体

10、现跟踪训练 2 弹簧在拉伸过程中,力与伸长量成正比,即 F(x)kx(k 为常数,x 为伸长量),求弹簧从平衡位置拉长 b 所做的功解 将物体用常力 F 沿着 x 的方向移动距离 x,则所做的功为 WFx.本题 F 是克服弹簧拉力的变力,是移动距离 x 的函数 F(x)kx.将0,b区间 n 等分,记 xbn,分点依次为 x00,x1bn,x22bn,xn1n1bn,xnb.当 n 很大时,在分段xi,xi1所用的力约为 kxi,所做的功为 Wkxixkxibn,则从 0 到b 所做的总功 W 近似地等于n1i0Win1i0kxixn1i0kibnbnkb2n2 012(n1)kb2211n.

11、当 n时,W12kb2.答 弹簧从平衡位置拉长 b 所做的功为12kb2.1把区间1,3n 等分,所得 n 个小区间的长度均为_答案 2n解析 区间1,3的长度为 2,故 n 等分后,每个小区间的长度均为2n.2若 1 N 的力能使弹簧伸长 2 cm,则使弹簧伸长 12 cm 时,克服弹力所做的功为_答案 0.36 J3在“以直代曲”中,函数 f(x)在区间xi,xi1上的近似值可以是_答案 该区间内任一点的函数值 f(i)(ixi,xi1)4求由曲线 y12x2 与直线 x1,x2,y0 所围成的平面图形面积时,把区间 5 等分,则面积的近似值(取每个小区间的左端点)是_答案 1.02解析

12、将区间 5 等分所得的小区间为1,65,65,75,75,85,85,95,95,2,于是所求平面图形的面积近似等于110(13625492564258125)11025525 1.02.呈重点、现规律1求曲边梯形面积和汽车行驶的路程的步骤:(1)分割:n 等分区间a,b;(2)以直代曲:取点 ixi1,xi;(3)作和:i1nf(i)ban;(4)逼近:“以直代曲”也可以用较大的矩形来代替曲边梯形,为了计算方便,可以取区间上的一些特殊点,如区间的端点(或中点)2变速运动的路程,变力做功问题等可转化为曲边梯形面积问题一、基础过关1.ni1in_.答案 n12解析 ni1in1n(12n)1nn

13、n12n12.2在区间0,8上插入 9 个等分点之后,则所分的小区间长度 x_,第 5 个小区间是_答案 0.8 3.2,43求由抛物线 y2x2 与直线 x0,xt(t0),y0 所围成的曲边梯形的面积时,将区间0,t等分成 n 个小区间,则第 i1 个区间为_答案 i2n t,i1n t4一物体沿直线运动,其速度 v(t)t,这个物体在 t0 到 t1 这段时间内所走的路程为_答案 12解析 曲线 v(t)t 与直线 t0,t1,横轴围成的三角形面积 S12即为这段时间内物体所走的路程5由直线 x1,y0,x0 和曲线 yx3 所围成的曲边梯形,将区间 4 等分,则曲边梯形面积的近似值(取

14、每个区间的右端点)是_答案 2564解析 将区间0,1四等分,得到 4 个小区间:0,14,14,12,12,34,34,1,以每个小区间右端点的函数值为高,4 个小矩形的面积和为曲边梯形面积的近似值S(14)314(12)314(34)31413142564.6若做变速直线运动的物体 v(t)t2,在 0ta 内经过的路程为 9,则 a 的值为_答案 3解析 将区间0,an 等分,记第 i 个区间为ai1n,ain(i1,2,n),此区间长为an,用小矩形面积(ain)2an近似代替相应的小曲边梯形的面积,则ni1(ain)2ana3n3(1222n2)a33(11n)(1 12n)近似地等

15、于速度曲线 v(t)t2 与直线 t0,ta,t 轴围成的曲边梯形的面积依题意得当 n时,a33(11n)(1 12n)9,a33 9,解得 a3.7求直线 x0,x2,y0 与曲线 yx2 所围成的曲边梯形的面积解 令 f(x)x2.(1)分割将区间0,2n 等分,分点依次为x00,x12n,x24n,xn12n1n,xn2.第 i 个区间为2i2n,2in(i1,2,n),每个区间长度为 x2in2i2n2n.(2)以直代曲、作和取 i2in(i1,2,n),Sni1f(2in)xni1(2in)22n 8n3ni1i2 8n3(1222n2)8n3nn12n1643(23n1n2)(3)

16、逼近当 n,43(23n 1n2)83,即所求曲边梯形的面积为83.二、能力提升8直线 x0,x2,y0 与曲线 yx21 围成的曲边梯形,将区间0,25 等分,按照区间左端点和右端点估计梯形面积分别为_、_.答案 3.92 5.52解析 分别以小区间左、右端点的纵坐标为高,求所有小矩形面积之和S1(0210.4210.8211.2211.621)0.43.92;S2(0.4210.8211.2211.621221)0.45.52.9在求由抛物线 yx26 与直线 x1,x2,y0 所围成的平面图形的面积时,把区间1,2等分成 n 个小区间,则第 i 个区间为_答案 ni1n,nin 10已知

17、某物体运动的速度为 vt,t0,10,若把区间 10 等分,取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高,则物体运动的路程近似值为_答案 55解析 把区间0,1010 等分后,每个小区间右端点处的函数值为 n(n1,2,10),每个小区间的长度为 1.物体运动的路程近似值 S1(1210)55.11已知自由落体的运动速度 vgt,求在时间区间0,t内物体下落的距离解(1)分割:将时间区间0,t分成 n 等份把时间0,t分成 n 个小区间,则第 i 个小区间为i1n t,itn(i1,2,n),每个小区间所表示的时间段titni1n ttn,在各个小区间物体下落的距离记作 Si(i1,2,n)(

18、2)以直代曲:在每个小区间上以匀速运动的路程近似代替变速运动的路程在i1n t,itn上任取一时刻 i(i1,2,n),可取 i 使 v(i)gi1n t 近似代替第 i 个小区间上的速度,因此在每个小区间上自由落体 ttn内所经过的距离可近似表示为Sigi1n t tn(i1,2,n)(3)作和:Sni1Sini1gi1n t tngt2n2012(n1)12gt2(11n)(4)逼近:当 n时,S12gt2.即在时间区间0,t内物体下落的距离为12gt2.12求直线 x0,x2,y0 与二次函数曲线 f(x)x22x1 所围成的曲边梯形的面积解(1)分割将0,2n 等分,则2i1n,2in

19、(i1,2,n)的区间长度 x2n,原曲边梯形分割成 n 个小曲边梯形,如图所示(2)以直代曲用 f2i1n作为第 i 个小曲边梯形的高作成小矩形,并用小矩形面积近似替代相应小曲边梯形面积(3)作和n 个小矩形面积之和 S i1nf2i1nxi1n4i12n24i1n1 2n4n21222n12 2n12(n1)8n2n2n 8n316n(n1)(2n1)8n212n(n1)24311n 21n 411n 2(4)逼近当 n时,1n0,所以 S263.所以,由直线 x0,x2,y0 与二次函数曲线 f(x)x22x1 所围成的曲边梯形的面积为263.三、探究与拓展13.某物体做变速运动,设该物体在时间 t 的速度为 v(t)6t2,求物体在 t1 到 t2 这段时间内运动的路程 s.解(1)分割:将区间1,2等分割成 n 个小区间1i1n,1in(i1,2,n),区间长度为 t1n,每个时间段内行驶的路程记为 si(i1,2,n),则 sni1nsi.(2)以直代曲:i1i1n(i1,2,n),siv(1i1n)t6(nni1)21n6nni12(i1,2,n)(3)作和:sni1n6nni12i1n6nnini16n(1n 1n1 1n1 1n212n1 12n)6n(1n 12n)3.(4)逼近:当 n时,s3.所以物体在 t1 到 t2 这段时间内运动的路程为 3.

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