1、1.5.1 曲边梯形的面积明目标、知重点 1.了解“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法.2.会求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程1曲边梯形的概念由直线 xa，xb(ab)，y0 和曲线 yf(x)所围成的图形称为曲边梯形(如图所示)2求曲边梯形面积的方法把区间a，b分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形，对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值(如图所示)3求曲边梯形面积的步骤：分割，以直代曲，作和，逼近4求变速直线运动的(位移)路程如果物体做变速直线运动，速度函数为 vv(t
2、)，那么也可以采用分割、以直代曲、作和、逼近的方法，求出它在 atb 内所作的位移 s.情境导学任何一个平面图形都有面积，其中矩形、正方形、三角形、平行四边形、梯形等平面多边形的面积，可以利用相关公式进行计算如图所示的平面图形，是由直线 xa，xb(ab)，y0 和曲线 yf(x)所围成的，称之为曲边梯形，如何计算这个曲边梯形的面积呢？为此，我们需要学习新的数学知识定积分探究点一 求曲边梯形的面积思考 1 如何计算下列两图形的面积？答 直接利用梯形面积公式求解转化为三角形和梯形求解问题 如图，如何求由抛物线 yx2 与直线 x1，y0 所围成的平面图形的面积 S?思考 2 图中的图形与我们熟悉
3、的“直边图形”有什么区别？答 已知图形是由直线 x1，y0 和曲线 yx2 所围成的，可称为曲边梯形，曲边梯形的一条边为曲线段，而“直边图形”的所有边都是直线段思考 3 能否将求曲边梯形的面积问题转化为求“直边图形”的面积问题？(归纳主要步骤)答(如下图)可以通过把区间0,1分成许多小区间，将曲边梯形拆分为一些小曲边梯形，对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值进行求和，就得到曲边梯形面积的近似值，随着拆分越来越细，近似程度会越来越好Si1nSii1n(i1n)2xi1n(i1n)21n(i1,2，n)01n(1n)21
4、n(n1n)21n 1n3021222(n1)213(11n)(1 12n)所以，当 n时，1311n 1 12n 13.求曲边梯形的面积可以通过分割、以直代曲、作和、逼近四个步骤完成思考 4 在“以直代曲”中，如果认为函数 f(x)x2 在区间i1n，in(i1,2，n)上的值近似地等于右端点in处的函数值 f(in)，用这种方法能求出 S 的值吗？若能求出，这个值也是13吗？取任意 ii1n，in处的函数值 f(i)作为近似值，情况又怎样？其原理是什么？答 都能求出 S13.我们解决此类问题的原理是“近似代替”和“以直代曲”，在极限状态下，小曲边梯形可以看做小矩形例 1 求由直线 x0，x
5、1，y0 和曲线 y12x2 所围成的图形的面积解(1)分割将区间0,1等分为 n 个小区间：0，1n，1n，2n，2n，3n，i1n，in，n1n，1，每个小区间的长度为 xini1n 1n.过各区间端点作 x 轴的垂线，把曲边梯形分成 n 个小曲边梯形，它们的面积分别记作 S1，S2，Sn.(2)以直代曲在区间i1n，in(i1,2，n)上，以i1n 的函数值12i1n2 作为高，小区间的长度 x1n作为底边，小矩形的面积作为第 i 个小曲边梯形的面积，即Si12(i1n)21n.(3)作和曲边梯形的面积近似值为Si1nSii1n 12(i1n)21n01n12(1n)21n12(2n)2
6、1n12(n1n)21n 12n3021222(n1)216(11n)(1 12n)(4)逼近当 n时，1611n 1 12n 16，所以，曲边梯形的面积为16.反思与感悟 求曲边梯形的思想及步骤：(1)思想：以直代曲、逼近；(2)步骤：分割以直代曲作和逼近；(3)关键：以直代曲；(4)结果：分割越细，面积越精确跟踪训练 1 求由抛物线 yx2 与直线 y4 所围成的曲边梯形的面积解 yx2 为偶函数，图象关于 y 轴对称，所求曲边梯形的面积应为抛物线 yx2(x0)与直线 x0，y4 所围图形面积 S 阴影的 2 倍，下面求 S 阴影由yx2x0，y4，得交点为(2,4)，如图所示，先求由直
7、线 x0，x2，y0 和曲线 yx2 围成的曲边梯形的面积(1)分割将区间0,2 n 等分，则 x2n，取 i2i1n.(2)以直代曲、作和Si1n2i1n22n 8n302122232(n1)283(11n)(1 12n)(3)逼近当 n时，8311n 1 12n 83.所求平面图形的面积为 S 阴影2483163.2S 阴影323，即抛物线 yx2 与直线 y4 所围成的曲边梯形的面积为323.探究点二 求曲边梯形面积方法的实际应用思考 利用导数我们解决了“已知物体运动路程与时间的关系，求物体运动速度”的问题反之，如果已知物体的速度与时间的关系，如何求其在一定时间内经过的路程呢？答 物体以
8、速度 v 做匀速直线运动时，经过时间 t 所行驶的路程为 svt.如果物体做变速直线运动，与求曲边梯形面积类似，我们采取“以不变代变”的方法，把时间 t 分割成许多“小段”，在每一“小段”时间内物体的运动可以看做匀速直线运动，于是把求变速直线运动的路程问题，化归为求匀速直线运动的路程问题例 2 汽车以速度 v 做匀速直线运动时，经过时间 t 所行驶的路程 svt.如果汽车做变速直线运动，在时刻 t 的速度为 v(t)t22(单位：km/h)，那么它在 0t1 这段时间行驶的路程是多少？解(1)分割将时间区间0,1分成 n 个小区间，0，1n，1n，2n，2n，3n，i1n，in，n1n，1，则
9、第 i 个小区间为i1n，in(i1,2，n)(2)以直代曲第 i 个小矩形的高为 v(i1n)，Siv(i1n)1n(i1n)221n.(3)作和S1ni1n(i1n)221n3021222(n1)22n12n16n2213(11n)(1 12n)2.(4)逼近当 n时，1311n 1 12n 253.这段时间行驶的路程为53 km.反思与感悟(1)把变速直线运动的路程问题化归为匀速直线运动的路程问题，通过分割、以直代曲、作和、逼近四步解决(2)从函数的角度来看，求变速运动的路程，就是求速度函数 v(t)t22 在 t0，t1，v(t)0 形成的曲边梯形的面积，这就是数学方法在物理应用中的体
10、现跟踪训练 2 弹簧在拉伸过程中，力与伸长量成正比，即 F(x)kx(k 为常数，x 为伸长量)，求弹簧从平衡位置拉长 b 所做的功解 将物体用常力 F 沿着 x 的方向移动距离 x，则所做的功为 WFx.本题 F 是克服弹簧拉力的变力，是移动距离 x 的函数 F(x)kx.将0，b区间 n 等分，记 xbn，分点依次为 x00，x1bn，x22bn，xn1n1bn，xnb.当 n 很大时，在分段xi，xi1所用的力约为 kxi，所做的功为 Wkxixkxibn，则从 0 到b 所做的总功 W 近似地等于n1i0Win1i0kxixn1i0kibnbnkb2n2 012(n1)kb2211n.
11、当 n时，W12kb2.答 弹簧从平衡位置拉长 b 所做的功为12kb2.1把区间1,3n 等分，所得 n 个小区间的长度均为_答案 2n解析 区间1,3的长度为 2，故 n 等分后，每个小区间的长度均为2n.2若 1 N 的力能使弹簧伸长 2 cm，则使弹簧伸长 12 cm 时，克服弹力所做的功为_答案 0.36 J3在“以直代曲”中，函数 f(x)在区间xi，xi1上的近似值可以是_答案 该区间内任一点的函数值 f(i)(ixi，xi1)4求由曲线 y12x2 与直线 x1，x2，y0 所围成的平面图形面积时，把区间 5 等分，则面积的近似值(取每个小区间的左端点)是_答案 1.02解析
12、将区间 5 等分所得的小区间为1，65，65，75，75，85，85，95，95，2，于是所求平面图形的面积近似等于110(13625492564258125)11025525 1.02.呈重点、现规律1求曲边梯形面积和汽车行驶的路程的步骤：(1)分割：n 等分区间a，b；(2)以直代曲：取点 ixi1，xi；(3)作和：i1nf(i)ban；(4)逼近：“以直代曲”也可以用较大的矩形来代替曲边梯形，为了计算方便，可以取区间上的一些特殊点，如区间的端点(或中点)2变速运动的路程，变力做功问题等可转化为曲边梯形面积问题一、基础过关1.ni1in_.答案 n12解析 ni1in1n(12n)1nn
13、n12n12.2在区间0,8上插入 9 个等分点之后，则所分的小区间长度 x_，第 5 个小区间是_答案 0.8 3.2,43求由抛物线 y2x2 与直线 x0，xt(t0)，y0 所围成的曲边梯形的面积时，将区间0，t等分成 n 个小区间，则第 i1 个区间为_答案 i2n t，i1n t4一物体沿直线运动，其速度 v(t)t，这个物体在 t0 到 t1 这段时间内所走的路程为_答案 12解析 曲线 v(t)t 与直线 t0，t1，横轴围成的三角形面积 S12即为这段时间内物体所走的路程5由直线 x1，y0，x0 和曲线 yx3 所围成的曲边梯形，将区间 4 等分，则曲边梯形面积的近似值(取
14、每个区间的右端点)是_答案 2564解析 将区间0,1四等分，得到 4 个小区间：0，14，14，12，12，34，34，1，以每个小区间右端点的函数值为高，4 个小矩形的面积和为曲边梯形面积的近似值S(14)314(12)314(34)31413142564.6若做变速直线运动的物体 v(t)t2，在 0ta 内经过的路程为 9，则 a 的值为_答案 3解析 将区间0，an 等分，记第 i 个区间为ai1n，ain(i1,2，n)，此区间长为an，用小矩形面积(ain)2an近似代替相应的小曲边梯形的面积，则ni1(ain)2ana3n3(1222n2)a33(11n)(1 12n)近似地等
15、于速度曲线 v(t)t2 与直线 t0，ta，t 轴围成的曲边梯形的面积依题意得当 n时，a33(11n)(1 12n)9，a33 9，解得 a3.7求直线 x0，x2，y0 与曲线 yx2 所围成的曲边梯形的面积解 令 f(x)x2.(1)分割将区间0,2n 等分，分点依次为x00，x12n，x24n，xn12n1n，xn2.第 i 个区间为2i2n，2in(i1,2，n)，每个区间长度为 x2in2i2n2n.(2)以直代曲、作和取 i2in(i1,2，n)，Sni1f(2in)xni1(2in)22n 8n3ni1i2 8n3(1222n2)8n3nn12n1643(23n1n2)(3)
16、逼近当 n，43(23n 1n2)83，即所求曲边梯形的面积为83.二、能力提升8直线 x0，x2，y0 与曲线 yx21 围成的曲边梯形，将区间0,25 等分，按照区间左端点和右端点估计梯形面积分别为_、_.答案 3.92 5.52解析 分别以小区间左、右端点的纵坐标为高，求所有小矩形面积之和S1(0210.4210.8211.2211.621)0.43.92；S2(0.4210.8211.2211.621221)0.45.52.9在求由抛物线 yx26 与直线 x1，x2，y0 所围成的平面图形的面积时，把区间1,2等分成 n 个小区间，则第 i 个区间为_答案 ni1n，nin 10已知
17、某物体运动的速度为 vt，t0,10，若把区间 10 等分，取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高，则物体运动的路程近似值为_答案 55解析 把区间0,1010 等分后，每个小区间右端点处的函数值为 n(n1,2，10)，每个小区间的长度为 1.物体运动的路程近似值 S1(1210)55.11已知自由落体的运动速度 vgt，求在时间区间0，t内物体下落的距离解(1)分割：将时间区间0，t分成 n 等份把时间0，t分成 n 个小区间，则第 i 个小区间为i1n t，itn(i1,2，n)，每个小区间所表示的时间段titni1n ttn，在各个小区间物体下落的距离记作 Si(i1,2，n)(
18、2)以直代曲：在每个小区间上以匀速运动的路程近似代替变速运动的路程在i1n t，itn上任取一时刻 i(i1,2，n)，可取 i 使 v(i)gi1n t 近似代替第 i 个小区间上的速度，因此在每个小区间上自由落体 ttn内所经过的距离可近似表示为Sigi1n t tn(i1,2，n)(3)作和：Sni1Sini1gi1n t tngt2n2012(n1)12gt2(11n)(4)逼近：当 n时，S12gt2.即在时间区间0，t内物体下落的距离为12gt2.12求直线 x0，x2，y0 与二次函数曲线 f(x)x22x1 所围成的曲边梯形的面积解(1)分割将0,2n 等分，则2i1n，2in
19、(i1,2，n)的区间长度 x2n，原曲边梯形分割成 n 个小曲边梯形，如图所示(2)以直代曲用 f2i1n作为第 i 个小曲边梯形的高作成小矩形，并用小矩形面积近似替代相应小曲边梯形面积(3)作和n 个小矩形面积之和 S i1nf2i1nxi1n4i12n24i1n1 2n4n21222n12 2n12(n1)8n2n2n 8n316n(n1)(2n1)8n212n(n1)24311n 21n 411n 2(4)逼近当 n时，1n0，所以 S263.所以，由直线 x0，x2，y0 与二次函数曲线 f(x)x22x1 所围成的曲边梯形的面积为263.三、探究与拓展13.某物体做变速运动，设该物体在时间 t 的速度为 v(t)6t2，求物体在 t1 到 t2 这段时间内运动的路程 s.解(1)分割：将区间1,2等分割成 n 个小区间1i1n，1in(i1,2，n)，区间长度为 t1n，每个时间段内行驶的路程记为 si(i1,2，n)，则 sni1nsi.(2)以直代曲：i1i1n(i1,2，n)，siv(1i1n)t6(nni1)21n6nni12(i1,2，n)(3)作和：sni1n6nni12i1n6nnini16n(1n 1n1 1n1 1n212n1 12n)6n(1n 12n)3.(4)逼近：当 n时，s3.所以物体在 t1 到 t2 这段时间内运动的路程为 3.