1、一、数列应用问题的常见模型(1)_；一般地，如果增加(或减少)的量是一个固定的具体量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差，其一般形式是：an1and(常数)(2)_：一般地，如果增加(或减少)的百分比是一个固定的数时，该模型是等比模型(3)_：在一个问题中，同时涉及等差数列和等比数列的模型(4)_：如果某一个量，每一期以一个固定的百分数增加(或减少)，同时又以一个固定的具体量增加(或减少)时，我们称该模型为生长模型如分期付款问题，树木的生长与砍伐问题等(5)_：如果容易找到该数列任意一项an1与它的前一项an(或前几项)间的递推关系式，那么我们可以用递推数列的知识求解问题友 情 提
2、 示：一 般 涉 及 递 增 率 什 么 的，用 到_；涉 及 依 次 增 加 或 者 减 少 什 么 的，用 到_，或者有的问题是通过转化得到_的，在解决问题时要往这些方面去联系二、与银行利率相关的几类模型(1)银行储蓄单利公式利息按单利计算，本金为a元，每期利率为r，存期为x，则本利和_.(2)银行储蓄复利公式按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，存期为x，则本利和_.(3)产值模型原来产值的基础数为N，平均增长率为p，对于时间x的总产值_.(4)分期付款模型a为贷款总额，r为月利率，b为月等额本息还款数，n为贷款月数，则_.三、数列综合应用题的解题步骤(1)_弄清题意，分析
3、涉及哪些数学内容，在每个数学内容中，各是什么问题(2)_把整个大题分解成几个小题或几个“步骤”，每个小题或每个小“步骤”分别是数列问题、函数问题、解析几何问题、不等式问题等(3)_分别求解这些小题或这些小“步骤”，从而得到整个问题的解答(4)_将所求结果还原到实际问题中具体解题步骤如下框图：1.零存整取模型银行有一种叫作零存整取的储蓄业务，即每月定时存入一笔相同数目的现金，这是零存；到约定日期，可以取出全部本利和，这是整取，规定每次存入的钱不计复利注：单利的计算是仅在原有本金上计算利息，而本金所产生的利息不再计算利息，其公式为利息本金利率存期，本利和本金(1存期利率)零存整取是等差数列求和在经
4、济方面的应用例李先生为今年上高中的儿子办理了“教育储蓄”从8月1号开始，每个月的1号都存入100元，存期三年(1)已知当年“教育储蓄”存款的月利率是2.7.问到期时，李先生一次可支取本息多少元？(2)已知当年同档次的“零存整取”储蓄的月利率是1.725.问李先生办理“教育储蓄”比“零存整取”多收益多少元？(注：零存整取要收20%的利息税)2定期自动转存模型银行有一种储蓄业务为定期存款自动转存例如，储户某日存入一笔1年期定期存款，1年后，如果储户不取出本利和，则银行自动办理转存业务，第2年的本金就是第1年的本利和注：复利的计算是把上期末的本利和作为下一期的本金，在计算时每一期本金的数额是不同的复
5、利的计算公式为：本利和本金(1利率)n.定期自动转存(复利)是等比数列求和在经济方面的应用例已知本金m1200元，复利率i7%，期数n4，求本利和总额S4.解析：S41200(17%)41572.96(元)3分期付款模型采用分期付款的方法，购买售价为a元的商品(或贷款a元)，每期付款数相同，购买后1个月(或1年)付款1次，过1个月(或1年)再付1次，如此下去，到第n次付款后全部付清如果月利率(或年利率)为b，那么每期付款x元满足下列关系：按单利计息时为a(1nb)x1(1b)(12b)1(n1)b；按复利计息时为a(1b)nx1(1b)(1b)2(1b)n1化简得x(1b)n1ab(1b)n.
6、例某职工年初向银行贷款2万元用于购房，银行为了推动住房制度改革，低息贷款年利率为2%，按复利计息(即本年的利息计入次年的本金生息)若这次贷款要求分10次等额还清，每年一次，从贷款次年年初开始还，问每年应还多少元？(精确到元)解析：设每年还款x元，第n年还款后余额为Mn.依题意得：M120000(12%)x，M2M1(12%)x20000(12%)2x(12%)x，M3M2(12%)x20000(12%)3x(12%)2x(12%)x，M1020000(12%)10 x(12%)9x(12%)8x(12%)x.4怎样处理数列的应用问题数列应用问题的学习已成为高中数学学习与研究的一个重要内容，现实
7、生活中涉及银行利率、企业股金、产品利润、人口增长、工作效率、图形面积、曲线长度、堆积物品总数等实际问题，都需要用数列的知识加以解决解答数列应用问题的核心是建立模型，其基本步骤如下表(1)等差数列的实际应用在数列应用题中，若an1与an的关系满足an1and(d为常数)时，则可以应用等差数列模型解决说明：要通过对题意的分析，说明数列为等差数列，然后设出有关符号，如an，d等的意义，这样才能使阅卷者迅速了解你的解答思路5模型法模型法就是在实际问题中，构造数列模型或其他模型，再进而构造数学模型，通过构造模型使问题顺利得到解决运用模型法来解决问题时，应广泛搜集信息，抓住关键词，准确理解题意，要善于抓主
8、要矛盾，类比联想，从而建立相应模型(1)解决数列的应用问题必须准确探索问题所涉及的数列的模型(如等差数列、等比数列、或与等差、等比数列有关的数列)，或准确定义问题中的数列(2)求出数列的通项公式或建立递推公式：如果问题所涉及的数列是特殊数列(如等差数列、等比数列、或与等差、等比有关的数列，等等)，应首先建立数列的通项公式；如果问题所涉及的数列不是某种特殊数列，一般应考虑先建立数列的递推关系(即an与an1的关系).数学应用问题的教学已成为中学数学学习与研究的重要内容，解答数学应用问题的核心是建立数学模型解答数列应用题的基本步骤：(1)阅读理解实际材料且对材料作适当处理；(2)建立变量关系，将实
9、际问题转化为数列模型；(3)讨论变量性质，挖掘题目中的条件例1某人有七位朋友第一位朋友每天晚上都去他家看他，第二位朋友每隔一个晚上到他家去，第三位朋友每隔两个晚上去他家串门，第四位朋友每隔三个晚上去他家做客，依次类推，直至第七位朋友每隔六个晚上在他家出现这七位朋友昨晚在主人家中碰面，他们还会同一个晚上在主人家中碰面吗？解析：第一位朋友每天晚上在主人家；第二位朋友以后在主人家的天数为第：2,4,6,8，这些数构成以2为首项，公差为2的等差数列，通项公式为：an2n；第三位朋友以后在主人家的天数为第：3,6,9，这些数构成以3为首项，公差为3的等差数列，通项公式为：an3n；第四、五、六、七位朋友
10、晚上在主人家的天数构成以4、5、6、7为首项，公差为4、5、6、7的等差数列，通项公式分别为an4n，an5n，an6n，an7n；他们要在同一晚上出现，这个数应为这七个数列的公共项，这一项是2,3,4,5,6,7的倍数，而 2,3,4,5,6,7的 最 小 公 倍 数 为 420，因 此 第420,840,1260天晚上他们会同时在主人家出现变式训练1用分期付款方法购买电器一件，价格为1150元，购买当天先付150元，以后每月这一天都交付50元，并加付欠款的利息，月利率为1%，分20次付完，若交付150元以后的第一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第十个月该交付多少钱？全部贷款付清后
11、，买这件家电实际花多少钱？解析：购买时付150元，欠1000元，每月付50元，分20次付清，设每月付款数顺次成数列an，则a15010001%60(元)，a250(100050)1%59.5(600.51)(元)，a350(1000502)1%59(600.52)(元)，依次类推，a1050(1000509)1%55.5(60 0.59)(元)，an 60 0.5(n 1)0.5n60.5(1n20)所以an组成以60为首项，0.5为公差的等差数列，所以，总数S2015020a1d1501255(元)，第十个月该交55.5元，全部付清实际花1255元评析：审题，建立等差数列模型，应用等差数列的
12、通项公式及前n项和公式求解，但需注意最后一次付款利息是50元欠款的利息，第一次付款利息是1000元的利息而不是950元，此处易出错解决数列在实际应用中的问题关键是通过仔细审题，将实际问题转化为数列模型，运用等差数列和等比数列的知识解决问题，因此在做题过程中必须明确建立的是等差数列模型还是等比数列模型，明确是求n，还是求an，或是求Sn.例2陈老师购买工程集资房92 m2，单价为1000元/m2，一次性国家财政补贴28800元，学校补贴14400元，余款由个人负担房地产开发公司对教师实行分期付款(注)，经过一年付款一次，共付10次，10年后付清，如果按年利率7.5%，每年按复利计算(注)，那么每
13、年应付款多少元？(注)注：分期付款，各期所付的款以及最后一次付款时所生的利息合计，应等于个人负担的购房余额的现价及这个房款现价到最后一次付款时所生的利息之和每年按复利计算，即本年利息计入次年的本金生息必要时参考下列数据.1.07591.971,1.075102.061,1.075112.216.解析：设每年应付款x元，那么到最后一次付款时(即购房十年后)，第一年付款及所生利息之和为x1.0759元，第二年付款及所生利息之和为x1.0758元，第九年付款及其所生利息之和为x1.075元，第十年付款为x元，而所购房余款的现价及其利息之和为100092(2880014400)1.0751048800
14、1.07510(元)因此有x(11.0751.07521.0759)488001.07510(元)，所以x488001.07510488002.0610.0717141(元)每年需交款7141元变式训练2为了迎接2008年北京奥运会，我国决定治理垃圾经调查，近10年来我国城市垃圾的年平均增长率为3%，到2001年底堆存垃圾已达60亿吨，侵占了约5亿平方米的土地，目前我国还以年产1亿吨的速度产生新的垃圾，垃圾治理已刻不容缓！(1)问1991年我国城市垃圾约有多少亿吨？(2)如果从2002年起，每年处理上年堆存垃圾的，到2007年底，我国城市垃圾约有多少亿吨？可节约土地多少亿平方米？数列的递推应用
15、问题往往是以一定的实际问题作为背景进行命题的，该问题来源于生产实践，解题时先将实际生活模型用数学公式或等量关系式列出，然后得出数列的递推关系式适当的时候也可以利用特殊化思想方法先求得前几项，应用不完全归纳法得出通项后再进行进一步的论证其最终目的是把应用问题转化为an与an1之间的关系，或an与Sn间的关系，然后利用所学知识加以解决例3某国采用养老储备金制度公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a1，以后每年交纳的数目均比上一年增加d(d0)，因此，历年所交纳的储备金数目a1，a2，是一个公差为d的等差数列与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利这就是说，如果固定年利
16、率为r(r0)，那么，在第n年末，第一年所交纳的储备金就变为a1(1r)n1，第二年所交纳的储备金就变为a2(1r)n2，.以Tn表示到第n年末所累计的储备金总额(1)写出Tn与Tn1(n2)的递推关系式；(2)求证：TnAnBn，其中An是一个等比数列，Bn是一个等差数列解析：(1)由题意有，TnTn1(1r)an(n2)(2)T1a1，对n2反复使用上述关系式，得TnTn1(1r)anTn2(1r)2an1(1r)ana1(1r)n1a2(1r)n2an1(1r)an.在式两端同乘1r，得(1r)Tna1(1r)na2(1r)n1an1(1r)2an(1r)，例4(2010湖南卷)给出下面
17、的数表序列：表1 表2 表3 1 13 1354 4812其中表n(n1,2,3，)有n行，第1行的n个数是1,3,5，2n1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和解析：()表4为13574 8 12122032它的第1,2,3,4行中的数的平均数分别是4,8,16,32，它们构成首项为4，公比为2的等比数列将这一结论推广到表n(n3)，即表n(n3)各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n，公比为2的等比数列由此可知，表n(n3)各行中的数都成等差数列，且各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n，公比为2的等比数列()表n的第1行是1,3,5，2n1，其平均数是由()
18、知，它的各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n，公比为2的等比数列(从而它的第k行中的数的平均数是n2k1)，于是，表n中最后一行的唯一一个数为bnn2n1.因此变式训练4某企业进行技术改造，有两种方案，甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案：每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年增加5千元；两种方案使用期都是10年，到期一次性归还本息若银行两种形式的贷款都按年息5%的复利计算，试比较两种方案中，哪种获利更多？(取1.05101.629,1.31013.786,1.51057.665)例5职工小张年初向银行贷款2万元用于
19、购房，银行贷款的年利率为10%，按复利计算(即本年的利息计入次年的本金)，若这笔贷款要分10年等额还清，每年年初还一次，并且从借款后次年年初开始归还，问每年应还多少元？(精确到1元)解析：设每年还款x元，需10年还清，那么每年还款及利息情况如下：第10年还款x元，此次欠款全部还清第9年还款x元，过1年欠款全部还清时，所付款连同利息之和为x(110%)元第8年还款x元，过2年欠款全部还清时，所付款连同利息之和为x(110%)2元变式训练5(2009重庆市三区联考题)购买一件售价为5000元的商品，采用分期付款的方法，每期付款数相同，购买后1个月付款一次，过1个月再付款一次，如此下去，到第12次付款后全部付清如果月利率为0.8%，每月利息按复利计算(上月利息计入下月本金)，那么每期应付款多少元？(精确到1元)解析：设每期应付款x元，则第一期付款与到最后一期付款所生利息之和为x(10.008)11元；第二期付款与到最后一期付款所生利息之和为x(10.008)10元；第十一期付款与到最后一期付款所生利息之和为x(10.008)元；第十二期付款已没有利息问题，即为x元
