1、第33讲等差的概念及基本运算1特级教师王新敞源头学子1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数的关系.2特级教师王新敞源头学子1.已知数列an，那么“对任意的nN*，点P(n,an)都在直线y=-x+2上”是“数列an为等差数列”的()BA.必要不充分条件 B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件当通项为an=-n+2时，可推出数列an为等差数列，反之不成立，故为充分不必要条件.3特级教师王新敞源头学子2.在数列an中，若a1=1，a2=，=+(nN*),则
2、该数列的通项为.an=由=+(nN*)知，为等差数列,且首项=1,公差d=-=1,所以=+(n-1)d=n，所以an=.4特级教师王新敞源头学子3.an为等差数列，且a7-2a4=-1,a3=0,则公差d=.-a7-2a4=-1，得a3+4d-2(a3+d)=-1，即2d-a3=-1，又a3=0，则d=-.5特级教师王新敞源头学子4.在数列an中，an=2n-，a1+a2+a3+an=an2+bn，nN*，其中a、b为常数，则1000a+10102b=.2010因为an=2n-，所以an是首项为a1=，d=2的等差数列，所以Sn=na1+d=n2+n=an2+bn,所以a=1，b=,所以100
3、0a+10102b=2010.6特级教师王新敞源头学子5.在数列an中,a1=15,3an+1=3an-2(nN*),则该数列中乘积为负值的相邻两项是,前项和取得最大值.第23项、第24项23由已知得an+1-an=-，a1=15，所以an=a1+(n-1)d=,显然，a230，a24a2a3a230a24,所以前23项和取得最大值.7特级教师王新敞源头学子等差数列(1)等差数列定义.(nN*),这是证明一个数列是等差数列的依据，要防止仅由前若干项，如a3-a2=a2-a1=d(常数),就说an是等差数列这样的错误，判断一个数列是否是等差数列,还可由an+an+2=2an+1,即 an+2-a
4、n+1=an+1-an来 判断.an+1-an=d(常数)8特级教师王新敞源头学子(2)等差数列的通项为.可整理成an=nd+(a1-d),当d0时，an是关于n的一次式，它的图象是一条直线上n为自然数的点的集合.(3)对于A是a、b的等差中项，可以表示成.(4)等差数列的前n项和公式Sn=,可以整理成Sn=n2+(a1-)n,当d0时,Sn的一个常数项为0的二次式.an=a1+(n-1)d2A=a+bna1+d9特级教师王新敞源头学子题型一 等差数列的判定与通项公式例1已知数列an满足an=2an-1+2n-1(n2),且a4=81.(1)求数列的前三项a1,a2,a3;(2)求证:数列为等
5、差数列,并求通项an.10特级教师王新敞源头学子(1)由题意，得n=4时，a4=2a3+24-1=81，解得a3=33；同理，a3=2a2+23-1=33，解得a2=13；a2=2a1+22-1=13，解得a1=5.所以前三项a1=5,a2=13,a3=33.11特级教师王新敞源头学子(2)因为an=2an-1+2n-1，即an-1=2(an-1-1)+2n,两边同除以2n,得=+1.令=cn，即cn=cn-1+1，即cn是以c1为首项,以1为公差的等差数列.所以数列 是以=2为首项，以1为公差的等差数列,所以=2+(n-1)1=n+1，即an=(n+1)2n+1.12特级教师王新敞源头学子证
6、明一个数列为等差数列的基本方法有两种：（1）利用等差数列的定义证明，即证an+1-an=d(nN*)；（2）利用等差中项证明,即证2an=an+k+an-k(n,kN*,nk)；有时根据an=an+b，Sn=an2+bn(a,b为常数）也可判定为等差数列.在选择方法时，要根据题目的特点，如果能求出数列的通项，常用定义法.13特级教师王新敞源头学子题型二 等差数列的基本运算及最值例2在等差数列an中,a16+a17+a18=a9=-36,其前n项的和为Sn.(1)求Sn的最小值，并求出Sn取最小值时n的值；(2)求Tn=|a1|+|a2|+|an|.14特级教师王新敞源头学子a16+a17+a1
7、8=3a17=-36a17=-12.又a9=-36,所以公差d=3.首项a1=a9-8d=-60,所以an=3n-63.(1)(方法一)设前n项的和Sn最小,an0 3n-630an+10,nN*,3(n+1)-630,nN*n=20或21.所以当n=20或21时，Sn取最小值，最小值为S20=S21=-630.则即15特级教师王新敞源头学子(方法二)Sn=-60n+3=(n2-41n)=(n-)2-.因为nN*,所以当n=20或21时，Sn取最小值，最小值为S20=S21=-630.(2)由an=3n-630n21,所以当n21时，Tn=-Sn=(41n-n2)；当n21时,Tn=-a1-a
8、2-a21+a22+an =Sn-2S21=(n2-41n)+1260.16特级教师王新敞源头学子1.本题(1)的方法一是基于等差数列本身的特性,从定性的角度考虑和研究;方法二则是基于函数思想(数列的本质特性:定义在N*或其子集上的函数),从定量的角度,建立Sn关于n的函数，再归结为求函数的最大(小)值问题.这是处理有关等差数列前n项和最大(小)值问题的两种基本思想,应很好地理解.2.本题(2)中有两点值得注意:一是分类讨论思想,对n21和n21两种情形加以讨论;二是转化思想,将求Tn问题仍然转化为求Sn的问题.17特级教师王新敞源头学子1.等差数列的判定方法.定义法：对于数列an,若an+1
9、-an=d(常数)，则数列an是等差数列；等 差 中 项 法：对 于 数 列 an,若2an+1=an+an+2，则数列an是等差数列.2.在熟练应用基本公式的同时，还要会用 变 通 的 公 式，如 在 等 差 数 列 中，am=an+(m-n)d.18特级教师王新敞源头学子3.已知三个或四个数成等差数列这类问题，要善于设元，目的仍在于减少运算量，如三个数成等差数列时，除了设a,a+d,a+2d外，还可设a-d,a,a+d，四个 数 成 等 差 数 列 时，可 设 为 a-3m,a-m,a+m,a+3m.19特级教师王新敞源头学子课后再做好复习巩固课后再做好复习巩固.谢谢！谢谢！再见！20特级教师王新敞源头学子
