1、第32讲数列的概念与通项公式1特级教师王新敞源头学子知识体系2特级教师王新敞源头学子1.了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）.2.了解数列是自变量为正整数的一类函数.3.会用观察法、递推法等求数列的通项公式.3特级教师王新敞源头学子1.以下关于数列的叙述：数列是以正整数集为定义域的函数；数列都有通项，且是惟一的；数列只能用通项公式的方法来表示；既不是递增也不是递减的数列,则为常数列;数列1,1,2,3,5,8与数列8,5,3,2,1,1是同一数列;对所有的nN*，都有an+3=an，则数列an是以3为周期的周期数列.其中正确的结论有()BA.0个B.1个C.3个D.5个4
2、特级教师王新敞源头学子本题是考查数列及相关概念的题，在解题过程中，每一个叙述都有可能判断错误，故需一一给予剖析：命题，数列可以看作是一个定义域为正整数集N+（或它的有限子集1，2，3，n)的函数；命题，不是每一个数列都有通项，有的数列不存在通项；另外，有通项公式的数列，通项公式也不一定惟一；命题，数列除了用通项公式表示外还可以用列表法和图象法表示；命题，数列存在递增数列、递减数列、常数数列，还有摆动数列；命题，数列是有序的；正确.5特级教师王新敞源头学子2.数列-1,7,-13,19，的一个通项公式是an=.(-1)n(6n-5)符号问题可通过(-1)n或(-1)n+1表示，其各项的绝对值的排
3、列规律为：后面的数的绝对值总比它前面数的绝对值大6，故通项公式为an=(-1)n(6n-5).6特级教师王新敞源头学子3.如果数列an的前n项的和Sn=n2，那么这个数列的通项公式是.an=2n-1a1=S1=1，所以a1=1，当n2时，an=Sn-Sn-1=2n-1.经检验，a1符合上式，所以an=2n-1.7特级教师王新敞源头学子4.在数列an中，若an+1=，a1=1，则a6=.因为an+1=a2=,a3=，a4=，a5=，a6=.8特级教师王新敞源头学子5.已知数列an(nN*)满足 an+1=an-t (ant)t+2-an (ant),且ta12，若an+k=an(kN*)，则实数
4、k的最小值是.4因为ta1t+1，所以a2=a1-t1t,a4=a3-t=t+2-a10).16特级教师王新敞源头学子(1)当n=1时，a1=S1=1;当n2时，an=Sn-Sn-1=3n-2-（3n-1-2）=23n-1.由于a1=1不适合上式，因此数列an的通项公式为1 （n=1）23n-1 （nN*，且n2）.an=17特级教师王新敞源头学子(2)当n=1时，a1=S1=(a1+2)2，解得a1=2.当n2时,Sn=Sn-Sn-1=(an+2)2-(an-1+2)2,所以(an-2)2-(an-1+2)2=0，所以(an+an-1)(an-an-1-4)=0，又an0，所以an-an-1
5、=4，可知an为等差数列，公差为4,所以an=a1+(n-1)d=2+(n-1)4=4n-2,a1=2也适合上式，故an=4n-2.18特级教师王新敞源头学子S1 (n=1)Sn-Sn-1(n2)求数列的通项，特别要注意验证a1的值是否满足“n2”的通项公式；同时认清“an+1-an=d（常数）(n2)”与“an-an-1=d（d为常数，n2）”的细微差别.本例的关键是应用an=19特级教师王新敞源头学子题型三 利用递推公式求数列的通项例3 根据下列条件,写出数列的通项公式：（1）a1=2，an+1=an+n；（2）a1=1，an-1=2n-1an.（1）将递推关系写成n-1个等式累加，即“累
6、加法”.（2）将递推关系写成n-1个等式相乘，即“累积法”或用逐项迭代法.20特级教师王新敞源头学子(1)(方法一)an+1=an+n，所以a2=a1+1，a3=a2+2，a4=a3+3，,an=an-1+(n-1),所以a2+a3+an=(a1+a2+an-1)+1+2+3+(n-1)，所以an=+2=.21特级教师王新敞源头学子(方法二)因为an+1-an=n，所以an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a3-a2)+(a2-a1)+a1=(n-1)+(n-2)+1+2=+2=.22特级教师王新敞源头学子(2)(方法一)因为an=,所a2=,a3=,a4=,an=,相乘得a2a3an=an=.(方法二)因为=，所以an=a1=1=.23特级教师王新敞源头学子已知数列的递推关系，求数列的通项公式的方法大致分为两类：一是根据前几项的特点归纳猜想出an的通项公式，然后用数学归纳法证明；二是将已知递推关系整理，变形为可用“累加法”“累乘法”或新的等差数列、等比数列等，再求其通项.24特级教师王新敞源头学子数列通项公式的求法：观察分析法；S1 (n=1)Sn-Sn-1 (n);转化成等差、等比数列；迭加、累乘法（见第34讲）.公式法:an=25特级教师王新敞源头学子课后再做好复习巩固课后再做好复习巩固.谢谢！谢谢！再见！26特级教师王新敞源头学子
