1、第三讲平面向量 一、向量的有关概念1向量:既有大小又有方向的量叫做向量,向量的大小叫做向量的长度(或模)2零向量:长度为0的向量,其方向是任意的3单位向量:长度等于1个单位的向量4平行向量:方向相同或相反的非零向量平行向量又叫共线向量规定:0与任一向量平行5相等向量:长度相等且方向相同的向量6相反向量:长度相等且方向相反的向量二、向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律:abba.(2)结合律:(ab)ca(bc)减法求a与b的相反向量b的和的运算叫做a与b的差三角形法则aba(b)数乘求实数与向量a的积的运算(1)|a|a|
2、;(2)当0时,a的方向与a的方向相同;当0时,a的方向与a的方向相反;当0时,a0.(a)a;()aaa;(ab)ab向量加减法运算的两个关键点:加法的三角形法则关键是“首尾相接,指向终点”,并可推广为多个向量相加的“多边形法则”;减法的三角形法则关键是“起点重合,指向被减向量”三、平面向量共线定理向量b与a(a0)共线的充要条件是有且只有一个实数,使得ba.巧用系数判共线(,R),若A,B,C三点共线,则1;反之,也成立四、平面向量基本定理如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于该平面内任一向量a,有且只有一对实数1,2,使a1e12e2,其中e1,e2是一组基底五、平面向量的
3、坐标运算及向量平行的坐标表示1平面向量的坐标运算(1)若a(x1,y1),b(x2,y2)(b0),则ab(x1x2,y1y2)(2)若A(x1,y1),B(x2,y2),则(x2x1,y2y1),|.(3)若a(x,y),R,则a(x,y)2向量平行的坐标表示(1)如果a(x1,y1),b(x2,y2),则ab的充要条件为x1y2x2y10.(2)三点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)共线的充要条件为(x2x1)(y3y1)(x3x1)(y2y1)0.共线向量的坐标表示若a(x1,y1),b(x2,y2),则ab的充要条件不能表示成,因为x2,y2有可能等于0,所以应表示为
4、x1y2x2y10.六、平面向量的数量积1数量积的定义:已知两个非零向量a和b,它们的夹角为,则向量a与b的数量积是数量|a|b|cos ,记作ab,即ab|a|b|cos .规定:零向量与任一向量的数量积为0.2向量的投影:设为a与b的夹角,则向量a在b方向上的投影是|a|cos ;向量b在a方向上的投影是|b|cos .3数量积的几何意义:数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos 的乘积七、平面向量数量积的运算律1交换律:abba;2数乘结合律:(a)b(ab)a(b);3分配律:a(bc)abac.八、平面向量数量积的性质及其坐标表示已知非零向量a(x1,y1),b
5、(x2,y2),为向量a,b的夹角结论几何表示坐标表示模|a|a|数量积ab|a|b|cos abx1x2y1y2夹角cos cos ab的充要条件ab0x1x2y1y20|ab|与|a|b|的关系|ab|a|b|(当且仅当ab时等号成立)|x1x2y1y2|基础自测1已知a(4,5),b(8,y)且ab,则y等于()A5 B10 C. D15【解析】ab,4y400,y10.【答案】B2已知向量a、b满足|a|1,|b|4,且ab2,则a与b的夹角为()A.B.C.D.【解析】向量a、b满足|a|1,|b|4,且ab2,设a与b的夹角为,则cos ,.【答案】C考点一 平面向量的概念与运算例
6、 (1)已知向量a(,1),b(0,1),c(k,),若a2b与c共线,则k_.(2)(2013山东高考)已知向量与的夹角为120,且|3,|2.若,且,则实数的值为_【自主解答】(1)a(,1),b(0,1),a2b(,3)又(a2b)c,且c(k,)从而3k0,k1.(2),又,0.则()()(1)22(1)32940,.【答案】(1)1(2)跟踪练习:(1)(2013湖北)已知点A(1,1)、B(1,2)、C(2,1)、D(3,4),则向量在方向上的投影为()A. B.C D(2)ABC中,AB边的高为CD,若a,b,ab0,|a|1,|b|2,则()A.abB.abC.ab D.ab【
7、解析】(1)本题考查向量的坐标运算及向量投影的概念,意在考查考生对基础知识的掌握情况(2,1),(5,5),向量(2,1)在(5,5)上的投影为|cos,|,故选A.(2) 如图,ab0,ab,ACB90,AB.又CDAB,AC2ADAB,AD.(ab)ab.考点二 平面向量的数量积例 12014山东卷 已知向量a(1,),b(3,m),若向量a,b的夹角为,则实数m()A2 B.C0 D答案:B解析 由题意得cos ,即,解得m.2、2014新课标全国卷 设向量a,b满足|ab|,|ab|,则ab()A1 B2C3 D5答案A解析 由已知得|ab|10,|ab|2b,两式相减,得ab1.跟踪
8、练习:已知向量a,b满足ab0,|a|1,|b|2,则|2ab|()A0 B2 C4 D8【解析】|a|1,|b|2,ab0|2ab|2.【答案】B(2013天津高考)在平行四边形ABCD中,AD1,BAD60,E为CD的中点若1,则AB的长为_【解析】设AB的长为a(a0),因为,于是()22a2a1,由已知可得a2a11.又a0,a,即AB的长为.考点三 平面向量与三角函数交汇问题例(2013辽宁,12分)设向量a(sin x,sin x),b(cos x,sin x),x.(1)若|a|b|,求x的值;(2)设函数f(x)ab,求f(x)的最大值解:本题考查向量与三角函数的综合应用,侧重考查三角函数的性质(1)由|a|2(sin x)2(sin x)24sin2x,|b|2(cos x)2(sin x)21,及|a|b|,得4sin2x1.又x,从而sin x,所以x.(2)f(x)absin xcos xsin2xsin 2xcos 2xsin,当x时,sin取最大值1.所以f(x)的最大值为.