1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时素养检测二十三函数奇偶性的应用(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共30分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)1.(多选题)已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,则下列函数中是偶函数的是()A.y=f(|x|)B.y=f(x2)C.y=xf(x)D.y=f(x)+x【解析】选A、B、C.因为f(x)的定义域为R,又因为f(|-x|)=f(|x|),所以A是偶函数;令F(x)=f(x2),则F(-x)=f(x2)=F(x),所以F(x
2、)是偶函数,即B是偶函数;令M(x)=xf(x),则M(-x)=-xf(-x)=xf(x)=M(x),所以M(x)是偶函数,即C是偶函数;令N(x)=f(x)+x,则N(-x)=f(-x)-x=-f(x)-x=-f(x)+x=-N(x),所以N(x)是奇函数,即D是奇函数.2.已知f(x)为奇函数,在区间3,6上是单调递增的,且在此区间上的最大值为8,最小值为-1,则2f(-6)+f(-3)=()A.-15B.-13C.-5D.5【解析】选A.因为函数在3,6上是单调递增的,所以f(6)=8,f(3)=-1,又函数f(x)为奇函数,所以2f(-6)+f(-3)=-2f(6)-f(3)=-28+
3、1=-15.3.(2020焦作高一检测)设f(x)为偶函数,且在区间(-,0)上是单调递增的,f(-2)=0,则xf(x)0的解集为()A.(-1,0)(2,+)B.(-,-2)(0,2)C.(-2,0)(2,+)D.(-2,0)(0,2)【解析】选C.根据题意,偶函数f(x)在(-,0)上为单调递增的,又f(-2)=0,则函数f(x)在(0,+)上为单调递减的,且f(-2)=f(2)=0,函数f(x)的草图如图,又由xf(x)0或由图可得-2x2,即不等式的解集为(-2,0)(2,+).【补偿训练】若偶函数f(x)在(-,0上是单调递减的,则下列关系式中成立的是()A.ff(-1)f(2)B
4、.f(-1)ff(2)C.f(2)f(-1)fD.f(2)ff(-1)【解析】选B.因为f(x)是偶函数,所以f(-2)=f(2),因为f(x)在(-,0上单调递减,-2-ff(-1),所以f(2)ff(-1).4.(2020宁波高一检测)已知f(x)=x5+ax3+bx-8(a,b是常数),且f(-3)=5,则f(3)=()A.21B.-21C.26D.-26【解析】选B.设g(x)=x5+ax3+bx,则g(x)为奇函数.由题设可得f(-3)=g(-3)-8=5,得g(-3)=13.又g(x)为奇函数,所以g(3)=-g(-3)=-13,于是f(3)=g(3)-8=-13-8=-21.5.
5、(2020青岛高一检测)设f(x)是R上的偶函数,且在(0,+)上是单调递减的,若x10,则()A.f(-x1)f(-x2)B.f(-x1)=f(-x2)C.f(-x1)-x10,f(x)在(0,+)上是单调递减的,所以f(x2)f(-x1).又f(x)是R上的偶函数,所以f(-x2)=f(x2),所以f(-x2)0时,f(x)=x2-4x,则不等式xf(x)0的解集为()A.(-,-4)(4,+)B.(-4,0)(4,+)C.(-,-4)(0,4)D.(-4,4)【解析】选A.因为f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)=x2-4x,所以当x0时,xf(x)0f(x)0x2-4x0x
6、4,当x0f(x)0-x(x+4)0x0的解集为(-,-4)(4,+).二、填空题(每小题5分,共10分)7.若函数f(x)=x2-|x+a|为偶函数,则实数a=_.【解析】因为f(x)的定义域为(-,+),且f(x)为偶函数,所以f(-1)=f(1),即1-|-1+a|=1-|1+a|,所以|a-1|=|a+1|,所以a=0.答案:08.已知f(x)是R上的偶函数,且在0,+)上单调递减,f(1)=0,则不等式f(x)0的解集为_.【解析】根据题意,由于f(1)=0,则f(x)0f(x)f(1),f(x)是R上的偶函数,且在0,+)上单调递减,则f(x)f(1)f(|x|)f(1)|x|1,
7、解得-1x0的解集为x|-1x1.答案:x|-1x0的解集为_.【解析】因为f(x)是R上的奇函数,且单调递减,所以由f(2x+1)+f(x2-4)0得f(2x+1)f(4-x2);所以2x+14-x2;解得-3x1;所以原不等式的解集为(-3,1).答案:(-3,1)三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知函数f(x)=1-.(1)若g(x)=f(x)-a为奇函数,求a的值.(2)试判断f(x)在(0,+)内的单调性,并用定义证明.【解析】(1)由已知g(x)=f(x)-a,得g(x)=1-a-,因为g(x)是奇函数,所以g(-x)=-g(x),即1-a-=-,解得a=1.(2)函数f(
8、x)在(0,+)内为单调递增的.证明如下:设0x1x2,则f(x1)-f(x2)=1-=.因为0x1x2,所以x1-x20,从而0,即f(x1)2时,y=f(x)的图象是顶点为P(3,4)且过点A(2,2)的抛物线的一部分.(1)求函数f(x)在(-,-2)上的解析式.(2)在图中的直角坐标系中画出函数f(x)的图象.(3)写出函数f(x)的值域和单调区间.【解析】(1)当x2时,设f(x)=a(x-3)2+4.因为f(x)的图象过点A(2,2),所以a(2-3)2+4=2,所以a=-2,所以f(x)=-2(x-3)2+4.设x(-,-2),则-x2,所以f(-x)=-2(-x-3)2+4.又
9、因为f(x)在R上为偶函数,所以f(-x)=f(x),所以f(x)=-2(-x-3)2+4,即f(x)=-2(x+3)2+4,x(-,-2).(2)函数图象如图所示.(3)由图象知f(x)的值域为y|y4.单调增区间为(-,-3和0,3;单调减区间为-3,0和3,+).(35分钟70分)一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)1.若f(x)是偶函数,其定义域为(-,+),且在0,+)上是单调递减的,则f与f的大小关系是()A.ffB.ffC.ffD.ff【解析】选C.因为a2+2a+=(a+1)2+,又因为f(x)在0,+)上是单调递减的,
10、所以ff=f.2.若f(x)和g(x)都是奇函数,且F(x)=f(x)+g(x)+2在(0,+)上有最大值8,则在(-,0)上F(x)有()A.最小值-8B.最大值-8C.最小值-6D.最小值-4【解析】选D.根据题意有f(x)+g(x)在(0,+)上有最大值6,又因为f(x)和g(x)都是奇函数,所以f(x)+g(x)是奇函数且f(x)+g(x)在(-,0)上有最小值-6,则F(x)在(-,0)上有最小值-6+2=-4.3.(多选题)定义在(-,+)上的偶函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),且f(x)在-1,0上是单调递增的,则()A.f(x)是周期函数B.f(x)的图象关于x=1对称
11、 C.f(x)在0,1上是单调递增的D.f(x)在1,2上是单调递减的【解析】选A、B.由于f(x+1)=-f(x),所以f(x+2)=-f(x+1)=f(x),周期为2,故A正确;由于f(2-x)=f(-x)=f(x),图象关于直线x=1对称,故B正确;偶函数在定义域内关于坐标原点对称的区间上的单调性相反,故C不正确;根据周期性,函数在1,2上的单调性与-1,0上的单调性相同,故D不正确.4.已知f(x)=ax7-bx5+cx3+2,且f(-5)=m,则f(5)+f(-5)的值为()A.4B.0C.2mD.-m+4【解析】选A.由f(-5)=a(-5)7-b(-5)5+c(-5)3+2=-a
12、57+b55-c53+2=m,得a57-b55+c53=2-m,则f(5)=a57-b55+c53+2=2-m+2=4-m.所以f(5)+f(-5)=4-m+m=4.二、填空题(每小题5分,共20分)5.已知f(x)为定义在R上的奇函数,当0x1时,f(x)=x(1-x) ,则当-1x0时,f(x)=_.【解析】当-1x0时,f(x)=-f(-x)=-x(1+x)=x(1+x).答案:x(1+x)6.设函数f(x)=为奇函数,则实数a=_.【解析】因为函数f(x)=为奇函数,所以f(-x)+f(x)=+=0,化简可得a+1=0,解得a=-1.答案:-17.f(x)是定义在R上的奇函数,且单调递
13、减,若f(2-a)+f(4-a)0,则a的取值范围为_.【解析】因为f(2-a)+f(4-a)0,所以f(2-a)-f(4-a).又因为f(x)为奇函数,所以-f(4-a)=f(a-4),所以f(2-a)a-4,所以a3.答案:af的解集为_.【解析】根据函数f(x)为定义在-1,1上的偶函数,且在0,1上为单调递增的,则由f(2x+1)f,可得|2x+1|, 且|2x+1|1.把平方可得x0,所以x0.由可得-12x+11,解得-1x0.综合可得,-1x-.答案:三、解答题(每小题10分,共30分)9.设函数f(x)是R上的奇函数,当x0时,f(x)=x2+4x.(1)求f(x)的表达式.(
14、2)证明f(x)在区间(0,+)上是单调递增的.【解析】(1)当x0,所以f(-x)=(-x)2+4(-x)=x2-4x.因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x),所以f(x)=-f(-x)=-(x2-4x)=-x2+4x(x0),所以f(x)=(2)设任意的x1,x2(0,+),且x1x2,则f(x2)-f(x1)=(+4x2)-(+4x1)=(x2-x1)(x2+x1+4).因为0x10,x2+x1+40,所以f(x2)-f(x1)0,所以f(x1)f(x2),所以f(x)在(0,+)上是单调递增的.10.已知函数f(x)=是定义在(-1,1)上的奇函数,且f=.(1)确定函数f(
15、x)的解析式.(2)用定义证明f(x)在(-1,1)上是增函数.(3)解不等式:f(t-1)+f(t)0.【解析】(1)由题意,得所以故f(x)=.(2)任取-1x1x21,则f(x1)-f(x2)=-=.因为-1x1x21,所以x1-x20,1+0.又-1x1x20.所以f(x1)-f(x2)0,所以f(x)在(-1,1)上是增函数.(3)f(t-1)-f(t)=f(-t).因为f(x)在(-1,1)上是增函数,所以-1t-1-t1,解得0t.所以不等式的解集为.11.定义在(-1,1)上的函数f(x)满足:对于任意x,y(-1,1)都有f(x)+f(y)=f;f(x)在(-1,1)上是单调递增函数,且f=1.(1)求f(0).(2)证明f(x)为奇函数.(3)解不等式f(2x-1)1.【解析】(1)令x=y=0,则f(0)+f(0)=f(0),所以f(0)=0.(2)令y=-x,则f(x)+f(-x)=f(0)=0,即f(-x)=-f(x),所以f(x)是奇函数.(3)因为f(x)在(-1,1)上是单调递增函数,f=1,所以f(2x-1)1=f可化为解得0x.所以不等式f(2x-1)1的解集为.关闭Word文档返回原板块
