1、内蒙古北京八中乌兰察布分校2019-2020学年高二数学下学期期末考试试题 理（含解析）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上.2.将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.一、选择题：（本大题共12小题.每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有1项是符合题意的.）1. 若复数满足，则（ ）A. B. 2C. D. 10【答案】C【解析】【分析】由题意，再由复数模的概念即可得解.【详解】由题意，所以.故选：C.【点睛】本题考查了复数的运算与模的求解，属于基础题.2. 某地区气象台统计，该地区下雨的概率是，刮风的概率为，既刮风又下雨
2、的概率为，则在刮风天里，下雨的概率为（ ）.A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用条件概型概率计算公式，计算出所求概率.【详解】“下雨”，“刮风”，“刮风又下雨”，所以.故选：D【点睛】本小题主要考查条件概型概率计算，属于基础题.3. 有8件产品，其中4件是次品，从中有放回地取3次（每次1件），若X表示取得次品的次数，则（ ）A B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】首先把取一次取得次品的概率算出来，再根据离散型随机变量的概率即可算出【详解】因为是有放回地取产品，所以每次取产品取到次品的概率为从中取3次，为取得次品的次数，则,选择D答案【点睛】本题考查离散型随机变量的概率
3、,解题时要注意二项分布公式的灵活运用.属于基础题4. 从5名学生中选出4名分别参加数学，物理，化学，生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为A. 48B. 72C. 90D. 96【答案】D【解析】因甲不参加生物竞赛，则安排甲参加另外3场比赛或甲学生不参加任何比赛当甲参加另外3场比赛时，共有=72种选择方案；当甲学生不参加任何比赛时，共有=24种选择方案综上所述，所有参赛方案有72+24=96种故答案为96点睛：本题以选择学生参加比赛为载体，考查了分类计数原理、排列数与组合数公式等知识，属于基础题5. 已知随机变量XN（2，2），P（X0）0.84，则P（X4）（ ）A.
4、0.16B. 0.32C. 0.66D. 0.68【答案】A【解析】分析】根据正态分布密度曲线的特点，结合2，可知P（X0）0.84P（X4），则P（X4）即可求出【详解】由已知得2，故P（X0）P（X4）0.84，所以P（X4）1P（X4）10.840.16故选：A【点睛】本题考查正态分布密度曲线的对称性性质及其应用，以及相关概率问题的计算，属于基础题6. 已知变量x,y之间的线性回归方程为,且变量x,y之间的一组相关数据如表所示,则下列说法错误的是( )x681012y6m32A. 变量x,y之间呈现负相关关系B. 可以预测,当x=20时,y=3.7C. m=4D. 该回归直线必过点(9,
5、4)【答案】C【解析】【分析】根据回归直线方程的性质，以及应用，对选项进行逐一分析，即可进行选择.【详解】对于A：根据b的正负即可判断正负相关关系.线性回归方程为，b=0.70，故负相关.对于B：当x=20时，代入可得y=3.7对于C：根据表中数据：9.可得4.即，解得：m=5.对于D：由线性回归方程一定过()，即(9，4).故选：C.【点睛】本题考查线性回归直线方程的性质，以及回归直线方程的应用，属综合基础题.7. 观察下列等式：，根据上述规律，得到（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：猜想，因此故选C考点：归纳推理8. 在一次数学单元测验中，甲、乙、丙、丁四名考生只有一
6、名获得了满分.这四名考生的对话如下，甲：我没考满分；乙：丙考了满分；丙：丁考了满分；丁：我没考满分.其中只有一名考生说的是真话，则考得满分的考生是（ ）A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁【答案】A【解析】【分析】分析四人说的话，由丙、丁两人一定是一真一假，分丙为真与丁为真进行推理判断可得答案.【详解】解：分析四人说的话，由丙、丁两人一定是一真一假，若丙是真话，则甲也是真话，矛盾；若丁是真话，此时甲、乙、丙都是假话，甲考了满分，故选：A.【点睛】本题主要考查合理推理与演绎推理，由丙、丁两人一定是一真一假进行讨论是解题的关键.9. （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先根据定积分
7、的几何意义，求出，再根据微积分基本定理，即可得出结果.【详解】因为表示曲线与直线，所围成图形的面积，又可化为，表示以原点为圆心的单位圆的一半，所以，因此.故选：D【点睛】本题主要考查求定积分，熟记定积分的几何意义，以及微积分基本定理即可，属于常规题型.10. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题可知在上恒成立.再参变分离求解函数最值即可.【详解】由题, 在上恒成立.即在上恒成立.又,其导函数恒成立.故的最小值为.故.故选：C【点睛】本题主要考查了根据函数的单调性求解参数范围的问题,需要根据题意求导,参变分离求函数的最值.属于基础题
8、.11. 设函数的定义域为，是其导函数，若，则不等式的解集是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】构造函数，求出，利用条件知，所以单调递增，将转化为，利用函数单调性即可得到答案.【详解】令，则，因为，所以，所以，所以函数在上单调递增，而可化为，又即，解得，所以不等式的解集是故选：A【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，并利用函数的单调性解不等式，注意构造函数的应用，考查学生的分析转化能力，属于中档题.12. 已知是奇函数，当时，当时，的最小值为1，则的值为( )A. B. C. 1D. 【答案】C【解析】【分析】由奇函数的性质知，在上有最大值，通过求导，只需找到在上的
9、最大值即可.【详解】由已知及奇函数的性质可得，在上有最大值，又，当时，在区间上单调递增，不满足题意；当时，且时，当时，故在上单调递增，在上单调递减，所以，解得.故选：C【点睛】本题考查利用导数研究函数的最值，涉及到函数奇偶性的性质，考查学生的转化与化归的思想，是一道中档题.二.填空题（本大题共4小题.每小题5分，满分20分.）13. 若展开式中各项系数的和为128，则展开式中项的系数为_【答案】【解析】【分析】根据展开式中各项系数的和求出，再利用展开式的通项公式可求得结果.【详解】依题意可得，即，解得，所以展开式的通项公式为，.令，得，所以展开式中项的系数为.故答案为：.【点睛】本题考查了二项
10、展开式的各项系数的和，考查了二项展开式的通项公式的应用，属于基础题.14. 已知点在椭圆上，则的最大值为_.【答案】【解析】【分析】设，（为参数），结合三角函数值的有界性可求得的最大值.【详解】设，（为参数），则.所以的最大值为.故答案为：.【点睛】本题考查了椭圆参数方程的简单应用，属于基础题.15. 在平面直角坐标系中，曲线上任意一点到直线的距离的最小值为_【答案】【解析】【分析】解法一：曲线上任取一点，利用基本不等式可求出该点到直线的距离的最小值；解法二：曲线函数解析式为，由求出切点坐标，再计算出切点到直线的距离即可所求答案.【详解】解法一（基本不等式）：在曲线上任取一点，该点到直线的距离
11、为，当且仅当时，即当时，等号成立，因此，曲线上任意一点到直线距离的最小值为；解法二（导数法）：曲线的函数解析式为，则，设过曲线上任意一点的切线与直线平行，则，解得，当时，到直线的距离；当时，到直线的距离.所以曲线上任意一点到直线的距离的最小值为.故答案为：.【点睛】本题考查曲线上一点到直线距离最小值的计算，可转化为利用切线与直线平行来找出切点，转化为切点到直线的距离，也可以设曲线上的动点坐标，利用基本不等式法或函数的最值进行求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.16. 利用数学归纳法证明不等式“”的过程中，由“”变到“”时，左边增加了_项【答案】.【解析】【分析】分析题意，根据数学归
12、纳法的证明方法得到时，不等式左边的表示式是解答该题的突破口，当时，左边，由此将其对时的式子进行对比，得到结果.【详解】当时，左边，当时，左边，观察可知，增加的项数是，故答案是.【点睛】该题考查的是有关数学归纳法的问题，在解题的过程中，需要明确式子的形式，正确理解对应式子中的量，认真分析，明确哪些项是添的，得到结果.三、解答题(本大题共6个小题，满分70分，第1题10分，其余每题均12分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17. 在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数），以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线C的极坐标方程；（2）过点，倾斜角为的
13、直线l与曲线C相交于M，N两点，求的值.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）利用，消去参数，将曲线C的参数方程化为普通方程，再运用 ，将曲线C的直角坐标方程化为极坐标方程；（2）根据条件求出直线l具有几何意义的参数方程，代入曲线C普通方程，利用韦达定理以及直线参数的几何意义，即可求解.【详解】（1）因为曲线C的参数方程为，（参数），所以曲线C的直角坐标方程为，即，将，代入上式得.（2）直线l的参数方程为，（t为参数），将代入，整理得，设点M，N所对应的参数分别为，则，因为，异号，所以.【点睛】本题考查参数方程化普通方程，直角坐标方程化极坐标方程，考查直线参数方程几何意义的应用，属于中档
14、题.18. 在的展开式中，前3项的系数成等差数列，（1）求的值；（2）求展开式中二项式系数最大的项；（3）求展开式中含的项的系数.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据前3项的系数成等差数列，利用等差数列的定义求得的值；（2）根据通项公式、二项式系数的性质求展开式中二项式系数最大的项；（3）在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于，求出的值，即可求得含的项的系数【详解】解：（1）因为前3项的系数成等差数列，且前三项系数为，所以，即，所以（舍去）或.（2）因为，所以展开式中二项式系数最大的项为第五项，即.（3）通项公式：由，可得含的项的系数为.【点睛】本题考查二项式定理的应用，二项
15、展开式的通项公式，二项式系数的性质19. 自由购是通过自助结算方式购物的一种形式. 某大型超市为调查顾客使用自由购的情况，随机抽取了100人，统计结果整理如下：20以下70以上使用人数312176420未使用人数003143630（）现随机抽取 1 名顾客，试估计该顾客年龄在且未使用自由购的概率；（）从被抽取的年龄在使用自由购的顾客中，随机抽取3人进一步了解情况，用表示这3人中年龄在的人数，求随机变量的分布列及数学期望；（）为鼓励顾客使用自由购，该超市拟对使用自由购的顾客赠送1个环保购物袋.若某日该超市预计有5000人购物，试估计该超市当天至少应准备多少个环保购物袋.【答案】；（）详见解析；（
16、）2200【解析】【分析】（）随机抽取的100名顾客中，年龄在30，50）且未使用自由购的有3+1417人，由概率公式即可得到所求值；（）所有的可能取值为1,2,3，求出相应的概率值，即可得到分布列与期望；（）随机抽取的100名顾客中，使用自由购的有44人，计算可得所求值【详解】（）在随机抽取的100名顾客中，年龄在30,50)且未使用自由购的共有3+14=17人，所以，随机抽取1名顾客，估计该顾客年龄在30,50)且未使用自由购的概率为（）所有的可能取值为1,2,3，,.所以的分布列为123所以的数学期望为.（）在随机抽取的100名顾客中，使用自由购的共有人，所以该超市当天至少应准备环保购物
17、袋的个数估计为.【点睛】本题考查统计表，随机变量X的分布列及数学期望，以及古典概型，是一道综合题20. 某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计，绘制了频率分布直方图（如图所示），规定80分及以上者晋级成功，否则晋级失败晋级成功晋级失败合计男16女50合计（1）求图中的值；（2）根据已知条件完成下面列联表，并判断能否有的把握认为“晋级成功”与性别有关？（3）将频率视为概率，从本次考试的所有人员中，随机抽取4人进行约谈，记这4人中晋级失败的人数为，求的分布列与数学期望（参考公式：，其中）0.400.250.150.100.050.02507801.3232.0722.7
18、063.8415.024【答案】(1) ；(2)列联表见解析，有超过的把握认为“晋级成功”与性别有关；(3)分布列见解析，=3【解析】【分析】（1）由频率和为1，列出方程求的值；（2）由频率分布直方图求出晋级成功的频率，计算晋级成功的人数，填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；（3）由频率分布直方图知晋级失败的频率，将频率视为概率，知随机变量服从二项分布，计算对应的概率值，写出分布列，计算数学期望.【详解】解：（1）由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，可知，解得；（2）由频率分布直方图知，晋级成功的频率为，所以晋级成功的人数为（人），填表如下：晋级成功晋级失败合计男163450女94
19、150合计2575100假设“晋级成功”与性别无关，根据上表数据代入公式可得，所以有超过的把握认为“晋级成功”与性别有关；（3）由频率分布直方图知晋级失败的频率为，将频率视为概率，则从本次考试的所有人员中，随机抽取1人进行约谈，这人晋级失败的概率为0.75，所以可视为服从二项分布，即，故，.所以的分布列为：01234数学期望为.或（）【点睛】本题考查了频率分布直方图和离散型随机变量的分布列、数学期望的应用问题，属于中档题若离散型随机变量，则.21. 已知函数若在处取得极值，求实数a的值求函数的单调区间若在上没有零点，求实数a的取值范围【答案】（1）（2）单调增区间为，单调减区间为（3）【解析】
20、试题分析：（1）求导，令得，再讨论单调性下结论即可；（2）由，令可得增区间，令可得减区间；（3）要使在上没有零点，只需在上或，又，只需在区间上，分，和三种情况讨论即可.试题解析：（1）的定义域为，且.在处取得极值，解得或（舍），当时，；，函数在处取得极小值，故.（2）.令，解得；令，解得，函数的单调增区间为，单调减区间为（3）要使在上没有零点，只需在上或，又，只需在区间上，.当时，在区间上单调递减，则， 解得与矛盾.当时，区间上单调递减，在区间上单调递增，解得，当时，在区间上单调递增，满足题意，综上所述，实数的取值范围是：.点睛：函数的零点问题求参数常用的方法和思路：（1）直接法：直接根据题设
21、条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成函数的值域问题解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一个平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解.22. 已知函数，()当时，求曲线在点处的切线方程；()当时，若在区间上的最小值为-2，其中是自然对数的底数，求实数的取值范围；【答案】(1).(2).【解析】【详解】分析：（1）求出，由 的值可得切点坐标，由的值，可得切线斜率，利用点斜式可得曲线在点处的切线方程；（2）分三种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间，根据单调性求得函数最小值，令所求最小值等于，排除不合题意的的取值，即可求得到符合题意实数的取值范围.详解：()当时，因为，所以切线方程是；()函数的定义域是当时，令得或当时，所以在上的最小值是，满足条件，于是当，即时，在上的最小，即时，在上单调递增最小值，不合题意；当，即时，在上单调递减，所以在上的最小值是，不合题意.综上所述有，.点睛：求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点处的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.
