1、2017-2018学年度高二下学期第二次段考数学（理科）试题说明:考试时间120分钟，满分150分；参考公式与数据：1.正态分布密度曲线对应的函数为； 2.随机变量的观测值的计算与其概率对应表，其中0.50.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.0010.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分每小题只有一项是符合题目要求的）1.已知复数是虚数单位，则的共轭复数是A. B. C. D. 2.在线性回归模型中，分别选择了4个不同的模型，它们的相关指数依次为
2、、，其中回归效果最好的模型的相关指数为A.B.C. D. 3.某公司一种型号的产品近期销售情况如下表月份x23456销售额y(万元)15.116.317.017.218.4根据上表可得到回归直线方程为，据此估计，该公司7月份这种型号产品的销售额为A.19.5万元 B.19.25万元 C.19.15万元 D.19.05万元4. 从4名男生和3名女生中选出3人,分别从事三项不同的工作,若这3人中至少有1名女生,则选派方案共有A.108种 B.186种 C.216种 D.270种01Pp5.随机变量的分布列如右表，且,则= A. 0.68 B. 0.49 C. 0.40 D. 0.36 6.在“淘淘
3、”微信群的某次抢红包活动中，所发红包被随机的分配为2.63元，1.95元，3.26元，1.77元，0.39元共五份，每人只能抢一次，若红包抢完时，则其中小淘、小乐两人抢到红包金额之和不少于5元的概率是A.B.C.D.7.如果对于任何实数，随机变量满足若，那么 A. 0.84 B. 0.68 C. 0.5 D. 0.348. 一个盒子里装有3种颜色，大小形状质地都一样的12个球，其中黄球5个，篮球4个，绿球3个，现从盒子中随机取出两个球，记事件A“取出的两个球颜色不同”，事件B“取出一个黄球，一个篮球”，则 =A.B.C.D.9. 若函数在上是增函数，则实数的取值范围是ABCD 10已知一袋中有
4、标有号码、的卡片各一张，每次从中取出一张，记下号码后放回，当三种号码的卡片全部取出时即停止，则恰好取次卡片时停止的概率为A B C D 11.已知函数，则方程恰有两个不同实数根时，实数的取值范围是 A B. C. D.12. 把数列的各项按顺序排列成如下的三角形状，记表示第行的第个数，例如，若，则=A. 36 B. 37 C. 38 D. 45二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上。）13. 设随机变量，若，则 _.14. 二项式展开式中各项二项式系数之和是各项系数之和的倍,则展开式中的常数项为_.15. 7个人站成一排，若甲，乙，丙三人互不相邻的排
5、法共有_ 种16. 探讨函数性质,得到下列性质： 函数有最小值；存在唯一极值点;使得;使得;其中正确的结论有_.(填写所有正确结论的序号)三、解答题：（本大题共6个小题，满分70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）17. （本题满分10分）设为数列的前n项和，满足（）求的值，并由此猜想数列的通项公式an；（）用数学归纳法证明（ ）中的猜想18.（本题满分12分）在直角坐标系中,直线 的斜率为1，在轴截距为，圆的标准方程为 .以坐标原点为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系. ()求直线和圆的极坐标方程； ()若射线与直线的交点为,与圆的交点为,且点恰好为线段的中点,求 的值.19.（本
6、题满分12分）为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门对100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过的有40人，不超过的有15人在45名女性驾驶员中，平均车速超过的有20人，不超过的有25人（）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过的人与性别有关平均车速超过人数平均车速不超过人数合计男性驾驶员人数女性驾驶员人数合计（）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取10辆，若每次抽取的结果是相互独立的，问这10辆车中平均有多少车辆中驾驶员为男性且车速超过.20.（本题满分12分）
7、随着人们生活水平的不断提高，人们对餐饮服务行业的要求也越来越高，由于工作繁忙无法抽出时间来享受美味，这样网上外卖订餐应运而生.若某商家的一款外卖便当每月的销售量（单位：千盒）与销售价格（单位：元/盒）满足关系式其中,为常数，已知销售价格为14元/盒时,每月可售出21千盒.（）求的值； （）假设该款便当的食物材料、员工工资、外卖配送费等所有成本折合为每盒12元（只考虑销售出的便当盒数），试确定销售价格的值，使该店每月销售便当所获得的利润最大.（结果保留一位小数）21.（本题满分12分）某大学数学学院拟从往年的智慧队和理想队中选拔4名大学生组成志愿者招募宣传队，往年的智慧队和理想队的构成数据如下表
8、所示，现要求被选出的4名大学生中两队中的大学生都要有.男（名）女（名）智慧队31理想队22 （）求选出的4名大学生仅有1名女生的概率；（）记选出的4名大学生中女生人数为，求随机变量的分布列与数学期望.22（本题满分12分）已知函数. （）讨论的单调性；（）当时，正实数满足，证明：2017-2018学年度高二下学期第二次段考数学（理科）试题答案与评分标准一、选择题：（每小题5分满分60分）ADDBB BDCAC CB;11.C;解析：，设过(0，0)点与相切的切点为 解得 且，即过点与相切的切线方程为 当直线 与直线平行时，;当时，当时，;当时， 和y=的图象在各有1个交点；直线在y=与y=之间
9、时，与函数图象有两个交点， 故选C.二、填空题（每小题5分满分20分）：13. 0.5；14. -10；15.1440；16.16. 答：；解：因为函数，所以，因为导函数在上单调递增.又，所以在上有唯一的实根,设为，且，故正确；同时在有极小值也为最小值，故正确；由得，即，故.因为，由双勾函数性质知值域为，所以 . 故正确同时判断错误. 故填写：三、解答题：（本大题共6个小题，满分80分）17. （10分）解：(1)当n1时， 1分当n2时，+，4. 2分当n3时，+，8. 3分当n4时，+，16. 4分由此猜想： 5分 (2)证明：当时，2，猜想成立 6分假设且时，猜想成立，即， 7分那么nk
10、1时， 8分， 这表明nk1时，猜想成立，9分由知猜想 成立10分18. （12分）解:()由点斜式方程得直线的方程为， 1分将代人以上方程中，所以,直线的极坐标方程为. 3分同理,圆的极坐标方程为. 6分 ()在极坐标系中,由已知可设.联立 7分可得，所以. 8分 因为点恰好为的中点,所以,即. 9分把代入 得11分所以. 12分19.（12分）解：（） 平均车速超过100km/h人数平均车速不超过100km/h人数合计男性驾驶员人数401555女性驾驶员人数202545合计6040100 2分根据列联表中数据，计算随机变量的观测值， 4分又 且 5分答：有99.5%的把握认为平均车速超过与
11、性别有关 6分（）记这10辆车中驾驶员为男性且车速超过的车辆数为，根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取1辆，驾驶员为男性且车速超过的车辆的频率为，利用频率估计它的概率为 8分由已知可知服从二项分布，即， 9分所以驾驶员为男性且超过100km/h的车辆数的均值 (辆). 11分答：在随机抽取的10辆车中平均有4辆车中驾驶员为男性且车速超过. 12分20.（12分）解：（）因为时， 代入关系式，得， 解得. 4分（）由（1）可知，套题每日的销售量， 5分所以每日销售套题所获得的利润定义域 6分从而. （7分） 令，,得（8分）且当时,， 当时，函数在上单调递增；在上单调
12、递减， 9分所以是函数在内的极大值点，也是最大值点， 10分所以当时，函数取得最大值. 11分答：当销售价格为元/盒时，餐厅每日销售所获得的利润最大. 12分21.（12分）解：（）选出的4人中智慧队和理想队的都要有，所以选法种数是：种2分选出的4名大学生仅有1名女生的选法有： 第一类：从智慧队中选取1名女生的选法有:种3分第二类：从理想队中选取1名女生的选法有:4分 或者用排除法种所以选取4名女大学生仅有1名女生的概率为；5分（）随机变量的可能取值为0，1，2，3 6分则 7分 8分 9分所以，随机变量的分布列为X0123P10分女生人数为数学期望12分22.（12分）解：（）， ，（1分）当时，在上是递增函数，即的单调递增区间为（0，+），无递减区间 3分当时，令，得当时，； 当时，；的单调递增区间为，单调递减区间为 5分综上，当a0时，的单调递增区间为，无递减区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为 6分（）当时，正实数满足， 7分令函数，则 9分时，为递减； 时，为递增；即当t=1时有极小值也是最小值； 10分则，或（舍去）, 11分 12分
