1、正弦定理(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共30分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)1.在ABC中,若sin A=sin B,则A与B的大小关系为()A.A=BB.ABC.ABD.A,B大小不确定【解题指南】先由正弦定理说明a=b,然后再根据ABC中等边对等角的原理去判断.【解析】选A.由正弦定理知a=2Rsin A,b=2Rsin B.因为sin A=sin B,所以a=b,所以A=B.2.在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知c=1,b=,B=60,则C=()A.30B.45C.150D.30或150【解题指南】利用正弦定理解三角形,根据
2、大边对大角,即可得解.【解析】选A.在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知c=1,b=, B=60,则由正弦定理可得=,所以sin C=,因为cb,所以C=30.3.在ABC中,若a=18,b=24,A=45,则得此三角形()A.无解B.有两解C.有一解D.解的个数不确定【解析】选B.如图,因为bsin Aab,所以A=60或A=120.当A=60时,C=180-45-60=75,c=,当A=120时,C=180-45-120=15,c=.10.设ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,且b=3,c=1,A=2B.(1)求a的值;(2)求sin的值.【解析】(1)因为
3、A=2B,所以sin A=sin 2B=2sin Bcos B.由正弦定理、余弦定理得a=2b.因为b=3,c=1,所以a2=12,a=2.(2)由余弦定理得cos A=-.由于0A,所以sin A=.故sin=sin Acos+cos Asin=+=.(35分钟70分)一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)1.已知在ABC中,a=1,b=,B=45,则A等于()A.150B.90C.60D.30【解析】选D.由正弦定理,得=,得sin A=.又ab,所以A60C.a2+b2=c2D.a2+b2=2c2【解题指南】利用二倍角公式化简条件等
4、式,利用正弦定理建立三角形的边长的关系式,利用余弦定理的变形公式确定角的取值范围.【解析】选AD.由cos 2A+cos 2B=2cos 2C,得1-2sin2A+1-2sin2B=2(1-2sin2C),即sin2A+sin2B=2sin2C,由正弦定理可得a2+b2=2c2.由余弦定理可得c2+2abcos C=2c2,所以cos C=,所以cos C的最小值为,由于函数y=cos x,x(0,)为减函数,所以0C,即C60.4.在ABC中,三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知2acos B=c,且满足sin AsinB(2-cos C)=sin2+,则ABC为()A.锐角非等
5、边三角形B.等边三角形C.等腰直角三角形D.钝角三角形【解析】选C.根据等式2acos B=c,利用正弦定理化简得2sin Acos B=sin C,因为sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B,所以2sin Acos B=sin Acos B+cos Asin B,即sin Acos B-cos Asin B=sin(A-B)=0,因为A与B都为ABC的内角,所以A-B=0,即A=B.方法一:由sin AsinB(2-cos C)=sin2+变形得sin2A2-cos(-2A)=(1-cos C)+=1-cos C=1-cos(-2A),即sin2A(2+co
6、s 2A)=1+cos 2A,sin2A(1+2cos2A)=+cos2A,(1-cos2A)(1+2cos2A)=+cos2A,得cos4A=,cos2A=,得cos A=,由于0A0,所以sin B-cos B-1=0,所以2sin=1,即sin=.因为B(0,),所以B=.答案:6.在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bcos C+ccos B=2b,则=_.【解析】方法一:由正弦定理bcos C+ccos B=2b,即sin Bcos C+sin Ccos B=2sin B,即sin(B+C)=2sin B,sin(-A)=2sin B,有sin A=2sin B,再由
7、正弦定理得a=2b,=2.方法二:如图,作ADBC于点D,则a=BC=BD+DC=ccos B+bcos C=2b,即=2.答案:27.在ABC中,角A,B,C的对边a,b,c满足2b=a+c,且A-C=90,则cos B=_.【解析】因为2b=a+c.所以由正弦定理,得2sin B=sin A+sin C.因为A-C=90,所以2sin B=sin(90+C)+sin C,所以2sin B=cos C+sin C.所以2sin B=sin(C+45).因为A+B+C=180且A-C=90,所以C=45-,代入式中,2sin B=sin.所以2sin B=cos.所以4sincos=cos.所
8、以sin=.所以cos B=1-2sin2=1-=.答案:8.在锐角ABC中,BC=1,B=2A,则的值等于_,AC的取值范围为_.【解题指南】由正弦定理和二倍角公式求比值,利用余弦函数的值域求取值范围.【解析】设A=,则B=2.由正弦定理得=,即=,所以=1=2.由锐角ABC得045,又0180-3903060,故3045cos ,所以AC=2cos (,).答案:2(,)三、解答题(每小题10分,共30分)9.已知在ABC中,D为BC的中点,cosBAD=,cosCAD=,(1)求BAC的值;(2)求的值.【解析】(1)因为cosBAD=,cosCAD=,所以在ABC中,BAD,CAD为锐
9、角,所以sinBAD=,sinCAD=,cosBAC=cos(BAD+CAD)=-=,因为0BACa知BA.所以B=60或120.(1)当B=60时,C=180-A-B=180-30-60=90.在RtABC中,C=90,a=2,b=6,c=4,所以ac=24=24.(2)当B=120时,C=180-A-B=180-30-120=30,所以A=C,则有a=c=2.所以ac=22=12.11.已知ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,ABC的面积为acsin 2B.(1)求sinB的值;(2)若c=5,3sin2C=5sin2Bsin2A,且BC的中点为D,求ABD的周长.【解析】(1
10、)由题意得acsin B=acsin 2B,即sin B=2sin Bcos B,因为0B0,故cos B=.所以sin B=.(2)由3sin2C=5sin2Bsin2A,sin2B=,得16sin2C=25sin2A,由正弦定理得16c2=25a2,即4c=5a.因为c=5,所以a=4,BD=a=2.在ABD中,由余弦定理得AD2=c2+BD2-2cBDcos B=25+4-252=24,所以AD=2,所以ABD的周长为c+BD+AD=7+2.【补偿训练】在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知cos B=,sin(A+B)=,ac= 2,求sin A和c的值.【解析】在ABC中,由cos B=,得sin B=,因为A+B+C=,所以sin C=sin(A+B)=.因为sin Csin B,所以CB,可知C为锐角,所以cos C=.因此sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C=+=.由正弦定理=,得a=2c,又ac=2,所以c=1.
