1、平谷区20202021学年度第一学期质量监控高二数学试卷考生须知1.本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间为120分钟 .2.试题所有答案必须书写在答题卡上，在试卷上作答无效.3.考试结束后，将答题卡交回，试卷按学校要求保存好.第卷（选择题 共40分）一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分；在每个小题列出的四个选项中，只有一项是符合要求的.）1. 直线经过两点，那么其斜率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由两点的斜率公式可得答案.【详解】直线经过两点，则 故选：B2. 已知圆的方程，那么圆心和半径分别为（ ）A. B. C.
2、D. 【答案】A【解析】【分析】根据圆的标准方程，直接求解.【详解】由圆的标准方程可知，圆心是，半径.故选：A3. 抛物线的焦点到其准线的距离是（ ）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】C【解析】【分析】由抛物线焦点到准线的距离为求解即可.【详解】因为抛物线焦点到准线的距离为,故抛物线的焦点到其准线的距离是2.故选：C【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程中的几何意义,属于基础题型.4. 双曲线的离心率，那么的值是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由，结合可得解.【详解】双曲线中，又，所以，解得.故选：C.5. 如图，以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐
3、标轴，建立空间直角坐标系，如果的坐标为，那么的坐标是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】推导出,从而得到，即可求出【详解】由题意得：的坐标为，,故选：A【点睛】求直线的方向向量的关键：(1)建立合适的坐标系；(2)直线的方向向量等于终点坐标减起点坐标6. 甲、乙两名同学相约学习某种技能，该技能需要通过两项考核才能拿到证书，每项考核结果互不影响.已知甲同学通过第一项考核的概率是，通过第二项考核的概率是；乙同学拿到该技能证书的概率是， 那么甲、乙两人至少有一人拿到该技能证书的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由已知先求得甲取得证书的概率，再求得甲，乙
4、两人都取不到证书的概率，由对立事件的概率公式可得选项.【详解】由已知得甲拿到该技能证书的概率为，则甲，乙两人都没有拿到证书的概率为：，所以甲、乙两人至少有一人拿到该技能证书的概率是，故选：D.【点睛】方法点睛：在解决含有“至少”，“至多”等一类问题的概率问题时，正面求解时情况较复杂，可以求其对立事件的概率，再用1减去所求的对立事件的概率，就是所求的概率.7. 某校高一年级随机抽取15名男生，测得他们的身高数据，如下表所示：编号身高编号身高编号身高117361691116821797177121753175817513172417391741416951701018215176那么这组数据的第8
5、0百分位数是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】首先将15个数据按照从小到大的顺序排列，再按照百分位数公式计算.【详解】这15个数据按照从小到大排列，可得168,169,169，170,172,173,173,174,175，175,175,176,177,179,182，第80百分位数为第12项与第13项数据的平均数，即.故选：C8. 已知椭圆的右顶点到双曲线的一条渐近线距离为，那么（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先求出，再求出双曲线的渐近线方程，由点到直接的距离公式可得答案.【详解】椭圆的右顶点双曲线的渐近线方程为：，即由点到双曲线的一条渐近线距
6、离为 解得 故选：B9. 已知点是圆上的动点，到直线的距离为，当变化时，的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先求出圆的圆心坐标和半径，由直线可得过定点，因为点在圆内，则点到直线的距离的最大值等于圆心到直线的距离加上半径，当时，圆心到直线的距离最大，可得答案.【详解】设直线，圆的圆心为由圆可得 所以圆的圆心为，半径为 直线恒过定点，又点在圆内.所以点到直线的距离的最大值等于圆心到直线的距离加上半径.当时，圆心到直线的距离最大，此时所以点到直线的距离的最大值为 故选：D【点睛】关键点睛：本题考查求圆上的点到直线的距离的最大值问题，解答本题的关键是先分析出直线恒过定点，
7、再由点到直线的距离的最大值等于圆心到直线的距离加上半径.当时，圆心到直线的距离最大，属于中档题.10. 如图，在三棱柱中，底面，点是上的动点.下列结论错误的是（ ）A. B. 存在点，使得平面C. 不存在点，使得平面平面D. 三棱锥的体积是定值【答案】C【解析】【分析】根据线面、面面平行垂直的性质判定定理逐一判断.【详解】如下图由底面，知，又，所以平面故，故A正确；连接与交于，取中点D，连接，则，平面所以平面，故B正确；当时，因为，底面，所以，所以平面，故平面平面，故C不正确；，因为四边形面积一定，点D到平面的距离一定，所以三棱锥的体积是定值，故D正确.故选:C第卷（非选择题共110分）二、填
8、空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.请把答案填在答题卡中相应题中横线上）11. 用简单随机抽样的方法从含有100个个体的总体中抽取一个容量为25的样本，那么个体被抽到的概率是_.【答案】【解析】【分析】依据简单随机抽样方式，总体中的每个个体被抽到的概率都是一样的，再结合容量为25，可以看成是抽25次，从而可求得概率【详解】一个总体含有100个个体，某个个体被抽到的概率为，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为25的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为故答案为：.【点睛】关键点点睛：不论用哪种抽样方法，不论是“逐个地抽取”，还是“一次性地抽取”，总体中的每个个体被抽到的概率都是一样的
9、，体现了抽样方法具有客观公平性12. 经过点，且与直线平行的直线方程是_.【答案】【解析】【分析】设直线方程为，代入求得，从而得到结果.【详解】设与直线平行的直线方程为，代入得： ，故答案为： .13. 过抛物线焦点作直线，交抛物线于两点.若线段中点的横坐标为，则等于_.【答案】7【解析】分析】根据抛物线的方程即可求出，再根据中点坐标公式即可求出，最后根据抛物线的焦点弦公式即可求出.【详解】解：，则，设，线段中点的横坐标为，.故答案为：.14. 设以原点为圆心的圆与轴交两点，如果以为焦点的椭圆与圆总有公共点，那么椭圆的离心率取值范围是_.【答案】【解析】【分析】求得椭圆上任意一点到圆心的距离，
10、可得，从而得解.【详解】设椭圆上任意一点为，则，则点到圆心的距离为：，由，得根据题意可得，所以，解得.故答案为：.15. “曲线与圆有且仅有三个公共点”的充要条件是_.【答案】【解析】【分析】圆的方程化为标准形式找出圆心和半径，画出图形，结合图形分析有且仅有三个公共点的情况，利用点到直线的距离公式可得答案.【详解】由得，圆心为，半径为3，与y轴的交点为，圆的最高点为，由图知，曲线与圆要有且仅有三个公共点，且在时的部分与圆相交，在时与圆相切， 即相切时有，解得或，当时，与圆相切不符合题意舍去，当时，由于，所以，圆心到的距离为，综上所述.故答案为：.【点睛】本题关键点是结合图形分析有且仅有三个公共
11、点的情况，考查了学生分析问题、解决问题的能力及数形结合的思想.三、解答题：(本大题共6小题，共85分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）16. 在新冠肺炎疫情期间，为了认真贯彻落实北京市教委关于做好中小学生延期开学期间“停课不停学”工作要求，各校以教师线上指导帮助和学生居家自主学习相结合教学模式积极开展工作.为了解学生居家自主学习的情况，从某校高二年级随机抽取了100名学生，获得了他们一天中用于居家自主学习的时间分别在，（单位：小时）的数据，整理得到的数据绘制成频率分布直方图（如图）.（1）由图中数据，求的值，并估计从该校高二年级中随机抽取一名学生，这名学生该天居家自主学习的时间在的概
12、率；（2）现从抽取的100名学生该天居家自主学习的时间在和的人中任选2人，进一步了解学生的具体情况，求其中学习时间在中至少有1人的概率；（3）假设同一时间段中的每个数据可用该时间段的中点值代替，试估计样本中的100名学生该天居家自主学习时间的平均数.【答案】（1）；（2）；（3）5.38小时.【解析】【分析】（1）由频率之和等于求出的值，这名学生该天居家自主学习的时间在的概率；（2）由频率分布直方图可知自主学习时间在和的人分别有2人和3人，设在的2人分别为，在的3人分别，利用列举法结合古典概型的概率公式得出概率；（3）由频率分布直方图中的数据，求解平均数即可.【详解】解：（1）因为，所以.由图
13、可得：随机抽取的100名学生中居家自主学习时间该天在的频率为所以从该校高二年级中随机抽取一名学生，这名学生该天居家自主学习时间在的概率为.（2）设“抽取的2人其中学习时间在中至少有1人”为事件A由图中数据可知：该天居家自主学习时间在和的人分别有2人和3人.设在的2人分别为，在的3人分别则从这5人中任选2人的样本空间，共有10个，样本点事件A，共有7个样本点所以学习时间在中至少有1人的概率为（3）样本平均数：.样本中的100名学生该天居家自主学习时间的平均数为5.38小时.【点睛】关键点睛：在第一问中，关键是利用频率之和等于求出的值，在第二问中主要是利用列举法求解概率.17. 四棱锥的底面是矩形
14、，侧棱底面，是的中点， .（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）求点到平面的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）连结交于，连结，利用中位线定理以及线面平行判定定理（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角即可；（3）利用向量法求点到平面的距离即可.【详解】（1）证明：连结交于，连结因为四边形是矩形，所以为中点又因为是的中点，所以因为平面，平面所以平面（2）四棱锥的底面是矩形，侧棱底面，因此以为原点，以为轴，以为轴，建立空间直角坐标系.所以设平面的一个法向量为，即：设直线与平面所成角为由，平面的一个法向量为所以即直线与平面所成角的正弦值为.
15、（3）设点到平面的距离，则所以点到平面的距离【点睛】关键点睛：在求线面角以及点到平面的距离时，关键是建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角以及点到平面的距离.18. 期末考试结束，高二（1）班班主任张老师从班里的40名学生中，随机抽取10名同学的语文和数学成绩进行抽样分析，研究学生偏科现象.将10名学生编号为1，2，310，再将他们的两科成绩(单位：分)绘成折线图如下：（1）从这10名学生中随机抽取一名学生，求抽取的这名学生两科成绩相差大于10分的概率；（2）从两科成绩均超过70分的学生中随机抽取2人进行访谈，求这2人中恰有一个是语文成绩高于数学成绩的概率；（3）设该班语文和数学两科成绩的平均
16、值分别为，方差分别为，根据折线图，试推断和，和的大小关系（直接写出结论，不需证明）.【答案】（1）；（2）；（3），.【解析】【分析】(1)根据第二段抽取的学生编号和数据间隔,写出第六段抽取的学生编号,从而求出概率;(2)确定基本事件的个数,计算所求的概率值;(3)根据折线图得出成绩的平均数高低和数据的稳定性问题.【详解】解：（1）设“抽取的这名学生两科成绩相差大于10分”为事件由图可得数学、语文成绩相差大于10分的学生编号分别是2，5，6，7，8，共有5人，所以（2）设“抽取这2人中恰有一个是语文成绩高于数学成绩”为事件因为两科成绩均超过70分的学生编号分别是1，3，4，9，10，则构成的样
17、本空间共10个样本点事件包含共6个样本点所以这2人中恰有一个是语文成绩高于数学成绩的概率；（3），19. 如图，平面平面，四边形是边长为的正方形，为的中点，点在线段上.（1）求证：平面；（2）若存在点，使得平面与平面所成二面角的余弦值为，求的值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）根据正方形及平面平面，利用面面垂直的性质定理得到平面，从而有，再由，利用线面垂直的判定定理证明.（2）以为原点，以分别为轴建立空间直角坐标系,根据点在线段上，设，使得，得到，再求得平面的一个法向量为，由平面，则平面的一个法向量是，然后根据平面与平面所成二面角的余弦值为，由求解.【详解】（1）因为正
18、方形， 所以.因为平面平面，且平面平面，所以平面.因为平面，所以.因为，为的中点，所以，且，所以平面.（2）以为原点，以分别为轴建立空间直角坐标系由题意，.所以，因为点在线段上，设.所以存在，使得.因为，所以， 所以. 所以，设平面的一个法向量为，则， 即.所以.因为平面，所以平面的一个法向量是，又因为平面与平面所成二面角的余弦值为，所以，所以或舍去. 所以.【点睛】方法点睛：1、利用向量求异面直线所成的角的方法：设异面直线AC，BD的夹角为，则cos .2、利用向量求线面角的方法：(1)分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(2)通过平面的法
19、向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角3、利用向量求面面角的方法：就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角20. 已知椭圆的离心率，且过点.（1）求椭圆的标准方程；（2）设椭圆右顶点为，直线过点，且与椭圆交于另一点（不同于点），若有，求直线方程.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由已知建立关于的方程组，解之可得椭圆的标准方程；（2）解法一：验证当直线斜率不存在时，不满足设直线，与椭圆的方程联立整理得，求得C点的坐标，由两直线垂直的条件可求得
20、所求直线的斜率，从而得出方程；解法二：由两直线垂直的条件求得直线AC的斜率得出直线与椭圆的方程联立，可求得点C的坐标，从而求得直线l的方程.，【详解】解：（1）由椭圆方程可知，椭圆焦点在轴，因为离心率，且过点.所以，所以椭圆的标准方程；（2）解法一：当直线斜率不存在时，又椭圆右顶点为此时，不满足.因此设直线，联立，因为，所以，因为，所以 即整理得 解得：或者（与重合，舍）所以直线：；解法二：因为，所以因此设直线，联立，设，又椭圆右顶点为，所以，即，所以因此直线：.【点睛】易错点点睛：在求解直线与圆锥曲线的综合问题时，常常需设出直线的方程，此时，需考虑直线的斜率是否存在，容易遗漏直线不存在的情况
21、.21. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，点在椭圆上.（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线与圆相切，且与椭圆交于不同的两点，设，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由椭圆的定义求出的值，再由求出，进而得出方程；（2）当直线的斜率不存在时，由直线的方程求出的坐标，再由数量积公式得出的值；当直线的斜率存在时，设出直线的方程，由直线和圆相切得出，联立椭圆的方程，利用韦达定理、数量积公式得出，最后由求出的范围.【详解】（1）根据题意根据椭圆的定义得 ，所以.因为椭圆的左、右焦点分别为，由，所以，所以椭圆的标准方程为.（2）若直线的斜率不存在，则直线的方程为或.当时，此时.同理当时，.所以当直线的斜率不存在时.若直线的斜率存在，设直线：，与椭圆交点 ，.因为直线和圆相切，所以 ，化简得.联立方程，消得所以 ，.因此 由代入得：因为，所以.综上所述，.【点睛】关键点睛：在第二问中，关键是利用韦达定理求出，再由数量积公式得出的取值范围.
