1、2024/5/281基础知识一、逻辑联结词1逻辑联结词有或、且、非2不含逻辑联结词 的命题叫做简单命题,由 简单命题和 逻辑联结词 构成的命题叫做复合命题3复合命题的构成形式有 p或q、p且q、非p.4判断下表中复合命题的真假：为假，其余为真.2024/5/282000000p q 非p p或q p且q 真 真 真 假 假 真 假 假 2024/5/283二、四种命题1四种命题：一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用p和q分别表示p和q的否定于是四种命题的形式为：原命题：若p则q ；逆命题：若q则p ；否命题：若p则q ；逆否命题：若q则p .2024/5/2842四种命题的关系：20
2、24/5/2853原命题为真，它的逆命题 不一定为真；原命题为真，它的否命题不一定为真；原命题为真，它的逆否命题一定为真4反证法欲证“若p则q”为真命题，从否定其结论即“非q”出发，经过正确的逻辑推理导出矛盾，从而“非q”为假，即原命题为 真，这样的方法称为反证法2024/5/286三、充分必要条件1若pq，则p叫做q的 充分 条件；若qp，则p叫做q的 必要 条件；如果pq，则p叫做q的 充要 条件2判断充要条件的方法：(1)定义法；(2)逆否法；(3)集合法逆否法：若AB,则A是B的 必要条件，B是A的 充分条件;若AB且B/A则A是B的 必要非充分条件；若AB，则A与B互为 充要条件；若
3、A/B且B/A，则A既不是B的 充分条件 也不是B的 必要条件 2024/5/287集合法：从集合观点看，建立命题p，q相应的集合p：Ax|p(x)成立，q：Bx|q(x)成立，那么：若AB，则p是q的 充分条件；若AB，则p是q的充分非必要条件；若BA，则p是q的 必要条件；若BA，则p是q的必要非充分条件；若AB，则p是q的 充要条件；若A B且B A，则p既不是q的 充分条件，也不是 必要条件 2024/5/288示意图为下图2024/5/289易错知识一、数学中的“或”与生活中的“或”混淆1命题：方程x240的解为x2，使用的逻辑联结词为_答案：“或”2024/5/2810二、已知命题
4、p、q写出复合命题“p或q”，“p且q”一定注意所写命题要符合真值表2下面写法对吗？它们与真值表相符吗？(1)p或q：方程(x1)(x2)0的根是x1或x2；(2)p且q：四条边相等且四个角相等的四边形是正方形你知道应该怎样写吗？答案：不对，与真值表不相符p或q：方程(x1)(x2)0的根是x1或方程(x1)(x2)0的根为x2.p且q：四个角相等的四边形是正方形且四条边相等的四边形是正方形2024/5/2811三、命题的否定与否命题的混淆3存在一个实数x，使得x2x10的否定是_；否命题是_答案：命题的否定是：“不存在实数x使得x2x10”，即“对所有的实数x，有x2x10”否命题是：“不存
5、在实数x，使得x2x10”，即“对所有的实数x，有x2x10”2024/5/28122024/5/28134已知全集 UR，A U，B U，如果命题 p：3AB，则命题“非 p”是()A.3A B.3UBC.3ABD.3(UA)(UB)解题思路：由题意，非 p：3AB，3U(AB)，即 3(UA)(UB)故选 D.失分警示：UR，3AB，即 3U(AB)然后根据U(AB)(UA)(UB)即得结果此题考查的是“非 p”命题的表达，不要与否命题混淆，误区中易犯此错误解题时一定要注意区分清楚答案：D4已知全集 UR，A U，B U，如果命题 p：3AB，则命题“非 p”是()A.3A B.3UBC.
6、3ABD.3(UA)(UB)解题思路：由题意，非 p：3AB，3U(AB)，即 3(UA)(UB)故选 D.失分警示：UR，3AB，即 3U(AB)然后根据U(AB)(UA)(UB)即得结果此题考查的是“非 p”命题的表达，不要与否命题混淆，误区中易犯此错误解题时一定要注意区分清楚答案：D4已知全集 UR，A U，B U，如果命题 p：3AB，则命题“非 p”是()A.3A B.3UBC.3ABD.3(UA)(UB)解题思路：由题意，非 p：3AB，3U(AB)，即 3(UA)(UB)故选 D.失分警示：UR，3AB，即 3U(AB)然后根据U(AB)(UA)(UB)即得结果此题考查的是“非
7、p”命题的表达，不要与否命题混淆，误区中易犯此错误解题时一定要注意区分清楚答案：D4已知全集 UR，A U，B U，如果命题 p：3AB，则命题“非 p”是()A.3A B.3UBC.3ABD.3(UA)(UB)解题思路：由题意，非 p：3AB，3U(AB)，即 3(UA)(UB)故选 D.失分警示：UR，3AB，即 3U(AB)然后根据U(AB)(UA)(UB)即得结果此题考查的是“非 p”命题的表达，不要与否命题混淆，误区中易犯此错误解题时一定要注意区分清楚答案：D四、判断充分必要条件时，因分不清命题的条件和结论而失误5若p：，q：tantan，则p是q的_条件答案：既不充分也不必要五、用
8、反证法证明问题时，结论的反面不能一一列举出来6用反证法证题命题：“若整数系数一元二次方程ax2bxc0(a0)有有理根，那么a、b、c中至少有一个是偶数”，则应假设_答案：a、b、c都不是偶数2024/5/2814回归教材1命题“20102009”()A使用了逻辑联结词“或”B使用了逻辑联结词“且”C使用了逻辑联结词“非”D是假命题解析：“20102009”是指“20102009或20102009”，故选A.答案：A2024/5/28152024/5/28162(2009江西，1)下列命题是真命题的为()A若1x1y，则 xyB若 x21，则 x1C若 xy，则 x yD若 xy，则 x2y2
9、解析：对于 A，由1x1y可得 xy，因此 A 正确；对于 B，由 x21 不能确定 x1，因此 B 不正确；对于 C，由 xy 不能得出 x y，因为 x，y 可能取负值，因此 C不正确；对于 D，由 xy 不能得出 x2y2，如32，而(3)222，因此 D 不正确综上所述，选 A.答案：A2(2009江西，1)下列命题是真命题的为()A若1x1y，则 xyB若 x21，则 x1C若 xy，则 x yD若 xy，则 x2y2解析：对于 A，由1x1y可得 xy，因此 A 正确；对于 B，由 x21 不能确定 x1，因此 B 不正确；对于 C，由 xy 不能得出 x y，因为 x，y 可能取
10、负值，因此 C不正确；对于 D，由 xy 不能得出 x2y2，如32，而(3)222，因此 D 不正确综上所述，选 A.答案：A2(2009江西，1)下列命题是真命题的为()A若1x1y，则 xyB若 x21，则 x1C若 xy，则 x yD若 xy，则 x2y2解析：对于 A，由1x1y可得 xy，因此 A 正确；对于 B，由 x21 不能确定 x1，因此 B 不正确；对于 C，由 xy 不能得出 x y，因为 x，y 可能取负值，因此 C不正确；对于 D，由 xy 不能得出 x2y2，如32，而(3)222，因此 D 不正确综上所述，选 A.答案：A3用反证法证明“若x1且x2，则x23x
11、20”时的假设应为()Ax1或x2 Bx23x20Cx23x20 Dx23x20解析：用反证法证明命题中的假设是原命题结论的否定，“x23x20”的否定为“x23x20”，故选B.答案：B2024/5/28174(教材改编题)设集合Px|1x1，Qx|2x1则“xP”是“xQ”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析：PQ，“xP”是“xQ”的充分不必要条件答案：A2024/5/28185(课本P42,11题改编)已知命题p：若a，b都是偶数，则ab是偶数命题P的否命题为_答案：若a、b不都是偶数，则ab不是偶数2024/5/2819【例1】指出下列复合命
12、题的形式及其构成，并判断复合命题的真假：(1)1010；(2)方程x26x10没有实数根；(3)有两个角为45的三角形是等腰直角三角形解析(1)是“p或q”形式的复合命题，其中p：1010；q：1010，为真命题；也可认为是“非p”形式的复合命题，其中p：1010.(2)是“非p”形式的复合命题，其中p：方程x26x10有实根，为假命题2024/5/28(3)是“p且q”形式的复合命题，其中p：有两个角为45的三角形是等腰三角形；q：有两个角为45的三角形是直角三角形，为真命题反思归纳 学习逻辑知识，要学会把复杂命题分拆成简单命题的组合，从而化归为对简单命题的判断，达到判定复合命题真假的结果，
13、并会运用简单命题去构造新的命题2024/5/2821分别写出由下列各组命题构成的“p或q”“p且q”“非p”形式的复合命题，并判断其真假(1)p：3是9的约数，q：3是18的约数；(2)p：aa，b，c，q：aa，b，c；(3)p：不等式x22x21的解集是R，q：不等式x22x21的解集为.解析：(1)p或q：3是9的约数或18的约数，为真命题p且q：3是9的约数且是18的约数，为真命题非p：3不是9的约数，为假命题2024/5/2822(2)p或q：aa，b，c或aa，b，c，为真命题.p且q：aa，b，c且aa，b，c，为真命题非p：aa，b，c为假命题(3)p或q：不等式x22x21的
14、解集为R或x22x21的解集为，为假命题p且q：不等式x22x21的解集为R且x22x21的解集为，为假命题非p：不等式x22x21的解集不是R，为真命题2024/5/2823【例2】判断命题“若a0，则x2xa0有实根”的逆否命题的真假命题意图 本题主要考查四种命题及其真假的判定.考查分析、推理的能力分析 先写出逆否命题，再判断真假或利用原命题与其逆否命题同真假的关系等方法解决解答 解法1：写出逆否命题，再判断其真假.原命题：若a0，则x2xa0有实根，逆否命题：若x2xa0无实根，则a0，2024/5/2824判断如下：x2xa0无实根，14a0，a0，“若x2xa0无实根，则a0，方程x
15、2xa0的判别式4a10，方程x2xa0有实根，故原命题“若a0，则x2xa0有实根”为真.又因原命题与其逆否命题等价，所以“若a0，则x2xa0有实根”的逆否命题为真.2024/5/2825142024/5/2826解法 3：利用充要条件与集合的包含、相等关系命题 p：a0，q：x2xa0 有实根，p：AaR|a0，q：BaR|方程 x2xa0 有实根aR|a14即 AB，“若 p 则 q”为真，“若 p 则 q”的逆否命题“若q 则p”为真若 a0，则 x2xa0 有实根的逆否命题为真2024/5/2827解法 4：设 p：a0，q：x2xa0 有实根，则p：a0，q：x2xa0 无实根，
16、p：AaR|a0，q：BaR|方程 x2xa0 无实根aRa14 .BA，“若q 则p”为真，即“若方程 x2xa0无实根，则 a0”为真总结评述 理解“a0”与“a14”的关系时易出现失误，实际上 a14a0.但 a0 不一定有 a14.解法 4：设 p：a0，q：x2xa0 有实根，则p：a0，q：x2xa0 无实根，p：AaR|a0，q：BaR|方程 x2xa0 无实根aRa14 .BA，“若q 则p”为真，即“若方程 x2xa0无实根，则 a0”为真总结评述 理解“a0”与“a14”的关系时易出现失误，实际上 a14a0.但 a0 不一定有 a14.写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命
17、题，并分别判断它们的真假：(1)若ab，则a2b2；(2)若x2y22x10(x、yR)，则x1且y0；(3)若ABCPQR，则SABCSPQR.解析：(1)逆命题为：若a2b2，则ab,此命题为假；否命题为：若ab，则a2b2，此命题为假；逆否命题为：若a2b2，则ab，此命题为真2024/5/2828(2)逆命题为：若x1且y0，则x2y22x10，此命题为真；否命题为：x2y22x10，则x1或y0，此命题为真；逆否命题为：若x1或y0(x、yR)，则x2y22x10，此命题为真(3)逆命题为：若SABCSPQR，则ABCPQR，此命题为假；否命题为：若ABC与PQR不全等，则SABCS
18、PQR,此命题为假；逆否命题为：若SABCSPQR，则ABC与PQR不全等，此命题为真.2024/5/2829【例3】指出下列各组命题中，p是q的什么条件(在“充分而不要条件”、“必要而不充分”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选出一种作答)(1)在ABC中，p：AB，q：BCAC；(2)对于实数x、y、p：xy8，q：x2或y6；(3)在ABC中，p：sinAsinB，q：tanAtanB；(4)已知x，yR，p：(x1)2(y2)20，q：(x1)(y2)0.解析(1)在ABC中，显然有ABBCAC，p是q的充要条件2024/5/2830(2)逆否命题：x2且y6xy8，p是q的充
19、分不必要条件(3)取A120，B30，p/q，又取A30，B120，q/p，p是q的既不充分又不必要条件(4)p：x1且y2，q：x1或y2，p是q的充分不必要条件反思归纳(1)分析p是q的什么条件时，一定要结合命题p与q所涉及的知识，进而全面分析，严格按四种条件的结构和定义进行判断(2)分析判断时，为了得出命题p与q的准确关系，有时需对命题p与q进行化简，然后再分析2024/5/2831(3)如果 p，q 满足：若 pq，则有qp；若 qp，则pq；若 pq，则pq.(2009陕西，7)“mn0”是“方程mx2ny21表示焦点在y轴上的椭圆”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条
20、件D既不充分也不必要条件答案：C2024/5/2832解析：mx2ny21 表示焦点在 y 轴上的椭圆，有1n1m0mn0，故选 C.(2007高考山东卷)下列各小题中，p是q的充要条件的是()p：m2或m6；q：yx2mxm3有两个不同的零点p：1；q：yf(x)是偶函数p：coscos；q：tantan.p：ABA;q：UBUA.A BCD答案：D解析：q：yx2mxm3有两个不同的零点q：m24(m3)0q：m2或m6p；2024/5/2833f(x)f(x)【例4】已知函数f(x)是(，)上的增函数，a，bR，对命题“若ab0，则f(a)f(b)f(a)f(b)”(1)写出逆命题，判断
21、其真假，并证明你的结论(2)写出其逆否命题，并证明你的结论分析2024/5/2834解答(1)逆命题是：若f(a)f(b)f(a)f(b)，则ab0.它是成立的可用反证法证明它假设ab0，则ab，ba.f(x)是(，)上的增函数，则f(a)f(b)，f(b)f(a)f(a)f(b)f(a)f(b)，与条件矛盾逆命题为真(2)逆否命题是：若f(a)f(b)f(a)f(b)，则ab0，则ab，ba，由f(x)在(，)上递增，f(a)f(b)，且f(b)f(a)，因此f(a)f(b)f(a)f(b)2024/5/2835若ab0，则ab，ba，由函数的定义知f(a)f(b)，且f(b)f(a)，因此
22、f(a)f(b)f(a)f(b)综上所述，若ab0，则f(a)f(b)f(a)f(b)总结评述 在本题(2)的证明过程中，既用到了函数的单调性，又用到了函数的定义2024/5/2836求证：关于x的方程ax2bxc0(a0，a、b、c均为常数)至多有两个不等实数根分析：含有“至少”、“至多”、“不存在”等词语的数学命题，常用反证法证明：假设方程ax2bxc0至少有三个不等实数根分别为x1、x2、x3代入方程得2024/5/2837ax21bx1c0 ax22bx2c0 ax23bx3c0 ，得a(x21x22)b(x1x2)0a(x22x23)b(x2x3)0即a(x1x2)b0 a(x2x3
23、)b0 2024/5/2838即a(x1x2)b0 a(x2x3)b0 得 a(x1x3)0a0，x1x3a(x1x3)0，因此假设不成立所以方程 ax2bxc0(a0)至多有两个不等实根1否命题与命题的否定是两个易混的问题，要注意其区别，另外要掌握一些常见词的否定词2原命题它的逆否命题，(原命题的否命题原命题的逆命题)因此，判断四种命题的真假时，可只判断其中的两个；当一个问题的真假不易判断时，可通过判断此命题的逆否命题解决问题3若pq，则p是q的充分条件，同时q也是p的必要条件；若pq，则p与q互为充要条件，应理解充分条件、必要条件、充要条件的形式化定义，整理出命题的“条件”与“结论”，画出“”图是解决“充分条件与必要条件”问题的一种好的方法，注意运用对论证充要条件题要分清“充分性”与“必要性”，然后分别作出相应的证明但要判断两个涉及具体内容的命题p与q之间的关系，掌握涉及的具体数学知识是关键2024/5/28392024/5/2840
