1、广东省高州市2021届高三数学上学期第一次模拟考试（12月）试题本卷命题范围：高考范围。第卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合Mx|2x2-5x-30，N-2，1，2，4，则MNA-2，1，2 B1，2 C1，4 D1，2，42设复数z1-（1-i）3，则|z|A1 B2 C D3如图所示的ABC中，点D是线段AC上靠近A的三等分点，点E是线段AB的中点，则A B C D4设集合Mx|x2，Px|x6，那么“xM或xP”是“xMP”的A充分不必要条件 B充要条件C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件5函数的部分图象大致为A
2、B C D6已知抛物线C：y22px（p0）的焦点为F，直线yk（x2）与抛物线C交于点A（1，2），B，则|FB|A3 B4 C5 D67已知正六边形A1A2A3A4A5A6的边长为1，在这6个顶点中任意取2个不同的顶点Ai，Aj（1ij6）得到线段AiAj，则|AiAj|1，2的概率为A B C D8如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1的侧面展开图中，B，C是线段AD的三等分点，且若该三棱柱的外接球O的表面积为12，则AA1A B2 C D二、多项选择题：本题共4小题，在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求。9九章算术是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与
3、下三人等问各得几何”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）关于这个问题，下列说法正确的是A甲得钱是戊得钱的2倍 B乙得钱比丁得钱多钱C甲、丙得钱的和是乙得钱的2倍 D丁、戊得钱的和比甲得钱多钱10如图是函数f（x）Asin（x）（A0，0，|）的部分图象，则下列说法正确的是A2 B是函数，f（x）的一个对称中心C D函数f（x）在区间上是减函数11若0xy1，则下列结论正确的是A Bexex-y Cxnyn，nN* Dlogxylogyx12已知函数f（x）x2
4、sinx，则下列说法正确的是Af（x）有且只有一个极值点B设g（x）f（x）f（-x），则g（x）与f（x）的单调性相同Cf（x）有且只有两个零点Df（x）在上单调递增第卷（非选择题）三、填空题：本大题共4小题13当a为常数时，展开式中常数项为15，则a_14在ABC中，若，则ABC是_三角形15已知圆M：x2y2-12x-14y600，圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x6上，则圆N的标准方程为_16若xex5，则xy_四、解答题：本题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17从条件2b-a2ccosA，ctanC-acosBbcosA，中任选一个，补充在下面的问题中，并
5、给出解答在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a1，_，求ABC的面积注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答给分182020年10月1日既是中华人民共和国第71个国庆日，又是农历中秋节，双节同庆，很多人通过短视频APP或微信、微博表达了对祖国的祝福某调查机构为了解通过短视频APP或微信、微博表达对祖国祝福的人们是否存在年龄差异，通过不同途径调查了数千个通过短视频APP或微信、微博表达对祖国祝福的人，并从参与者中随机选出200人，经统计这200人中通过微信或微博表达对祖国祝福的有160人将这160人按年龄分组：第1组15，25），第2组25，35），第3组35，45），第4组
6、45，55），第5组55，65，得到的频率分布直方图如图所示：（1）求a的值并估计这160人的平均年龄；（2）把年龄在第1，2，3组的居民称为青少年组，年龄在第4，5组的居民称为中老年组，选出的200人中通过短视频APP表达对祖国祝福的中老年人有26人，问是否有99的把握认为是否通过微信或微博表达对祖国的祝福与年龄有关？附：P（K2k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82819已知数列an的前n项和为Sn（nN*）（1）若an为等差数列，a1-1，求Sn和an的表达式；（2）若数列Sn满足，
7、求an20如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1底面ABCD，ADAB，ADBC，且，（1）求证：平面BDD1B1平面CDD1C1；（2）求二面角CBD1C1所成角的余弦值21已知点P（-2，-1）为椭圆C：（ab0）上一点，且椭圆C的一个焦点与抛物线的焦点重合，过点P作直线PA，PB，与椭圆C分别交于点A，B（1）求椭圆C的标准方程与离心率；（2）若直线PA，PB的斜率之和为0，证明：直线AB的斜率为定值22设函数，a0，aR（1）讨论f（x）的单调性；（2）当a1且m（0，ln2）时，函数（x0），证明：F（x）存在极小值点x0，且mlnx00高州市20202021届高三第一次模
8、拟考试数学参考答案、提示及评分细则1B ，所以MN1，2，故选B2D z1-（1-i）2（1-i）12i（1-i）122i32i，所以，故选D3B 依题意，故选B4C5B 由题知，在（-，0）（0，）上恒成立，所以函数是奇函数，其图象关于原点中心对称，排除C；因为，f（）0，排除A，D，故选B6C 由点A（1，2）在抛物线C上得p2，设，由直线过定点（-2，0）得，解得t4（舍去2），B（4，4），所以故选C7C 由已知得，（1ij6），（1ij6），在这6个顶点中任意取2个不同的顶点Ai，Aj（1ij6），得到以下15条线段：A1A2，A1A3，A1A4，A1A5，A1A6，A2A3，A2A
9、4，A2A5，A2A6，A3A4，A3A5，A3A6，A4A5，A4A6，A5A6，其中满足（1ij6）的有以下6条线段：A1A3，A1A5，A2A4，A2A6，A3A5，A4A6，根据古典概型的计算公式得，|AiAj|1，2的概率为，故选C8D 由展开图可知，直三棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为的等边三角形，其外接圆的半径满足，所以r1由4R212得由球的性质可知，球心O到底面ABC的距离为，结合球和直三棱柱的对称性可知，故选D9AC 依题意，设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a-2d，a-d，a，ad，a2d，则由题意可知，a-2da-daada2d，即a-6d，又a-2da-daada
10、2d5a5，所以a1，所以，所以甲得钱，乙得钱，丙得1钱，丁得钱，戊得钱，所以甲得钱是戊得钱的2倍，故A正确；乙得钱比丁得钱多钱，故B错误；甲、丙得钱的和是乙得钱的倍，故C正确；丁、戊得钱的和比甲得钱多钱，故D错误综上，故选AC10ACD 由题知，A2，函数f（x）的最小正周期，所以，故A正确；因为，所以，kZ，解得，kZ，又|，所以，故C正确；函数，因为，所以不是函数f（x）的一个对称中心，故B错误；令，mZ，得，mZ，当m-1时，因为，所以函数f（x）在区间上是减函数，故D正确故选ACD11ABC 因为0xy1，所以0xy1，所以，所以，故A正确；因为0xy1，所以x0x-y，所以exex
11、-y，故B正确；因为0xy1，所以0xnyn1，nN*，故C正确；因为0xy1，所以0logxylogxx1，logyxlogyy1，所以logxy1logyx，故D错误故选ABC12ACD 由题知，f（x）2xcosx，f（x）2-sinx0，所以f（x）2xcosx在R上单调递增，当x0时，f（x）10；当时，所以存在，使得f（x0）0，所以函数f（x）x2sinx在（-，x0）上单调递减，在（x0，）上单调递增，所以f（x）有且只有一个极值点，故A正确；因为f（-x）x2-sinx，所以g（x）f（x）f（-x）x4-sin2x，所以g（x）4x3-2sinxcosx4x3-sin2x所
12、以g（0）0，故g（x）的一个极值点为0，所以g（x）与f（x）的单调性不相同，故B错误；因为f（x）有且只有一个极值点x0，且f（0）0，所以f（x）在（-，x0）和（x0，）上各有一个零点，所以f（x）有且只有两个零点，故C正确；因为yx2与ysinx在上都是单调递增，所以f（x）x2sinx在上单调递增，D正确故选ACD131 的第r1项为，令-123r0，得r4，所以，解得a114等腰直角 若，则，由，当且仅当sinAsinB时取等号，即AB又2sinC2，则22sinC2，即sinC1，ABC为等腰直角三角形15（x-6）2（y-1）21 圆M的标准方程为（x-6）2（y-7）225
13、，所以圆心M（6，7），半径为5由圆心N在直线x6上，可设N（6，y0）因为N与x轴相切，与圆M外切，所以0y07，于是圆N的半径为y0，从而7-y05y0，解得y01因此，圆N的标准方程为（x-6）2（y-1）21165e 由得由xex5得x0，故函数f（x）xex（x0）为单调递增函数，又17解：选择，因为2b-a2ccosA，所以由余弦定理得，所以a2b2-c2ab，所以由余弦定理得，所以，所以ABC的面积为选择，因为ctanC-acosBbcosA，所以由正弦定理得sinCtanC-sinAcosBsinBcosA，所以sinCtanCsinAcosBsinBcosAsin（AB）si
14、nC又0C，所以sinC0，所以tanC1，所以，所以，所以ABC的面积为选择，因为，所以由正弦定理得，即5sinCcosB-5sin（BC）5sinCcosB-（5sinBcosC5cosBsinC）4sinB，所以sinB（45cosC）0又0B，所以sinB0，所以，所以，所以ABC的面积为18解：（1）由10（0.010.015a0.030.01）1得a0.035这160人的平均年龄为20100.0130100.01540100.03550100.0360100.0141.5（2）前3组人数为10（0.0100.0150.035）16096，由题意得22列联表：通过短视频APP表达祝福
15、通过微信或微博表达祝福合计青少年1496110中老年266490合计40160200，所以有99的把握认为是否通过微信或微博表达对祖国的祝福与年龄有关19解：（1）设等差数列an的通项为an-1（n-1）d（d为等差数列的公差），则，解得，所以an1-2n，（2）当n2时，由-得，Sn32n，当n1时，S116，所以当n1时，a1S116；当n2时，a2S2-S112-16-4；当n3时，anSn-Sn-132n-1，所以20（1）证明：因为ADAB，所以BC2，因为，所以BD2DC2BC2，所以BDC90，即BDCD因为AA1底面ABCD，所以DD1底面ABCD，所以BDDD1因为DD1CD
16、D，所以BD平面CDD1C1，又BD平面BDD1B1，所以平面BDD1B1平面CDD1C1（2）解：如图，分别以DB，DC，DD1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系D-xyz，则D（0，0，0），所以，设平面CBD1的法向量为，则令x1，得设平面C1BD1的法向量为，则令a1，得，所以，由图知二面角C-BD1-C1为锐角，所以二面角C-BD1-C1所成角的余弦值为21（1）解：由题设，得，且，由解得a26，b23，所以椭圆C的标准方程为，椭圆C的离心率为（2）证明：设直线PA的斜率为k，则直线PB的斜率为-k，记A（x1，y1），B（x2，y2）设直线PA的方程为y1k（x2），与椭圆C的方程
17、联立，并消去y得（12k2）x2（8k2-4k）x8k2-8k-40，则-2，x1是该方程的两根，则，即设直线PB的方程为y1-k（x2），同理得因为y11k（x12），y21-k（x22），所以，因此直线AB的斜率为定值22（1）解：因为，若a0，当：x（1，）时，f（x）0，所以f（x）在（1，）上为减函数；当x（-，1）时，f（x）0，所以f（x）在（-，1）上为增函数若a0，当x（1，）时，f（x）0，所以f（x）在（1，）上为增函数；当x（-，1）时，f（x）0，所以f（x）在（-，1）上为减函数（2）证明：因为a1，所以，x（0，），则，因为ex0，所以F（x）与同号设，x（0，），则，所以对任意x（0，），都有t（x）0，所以t（x）在（0，）上单调递增因为m（0，ln2），t（1）m10，所以存在，使得t（x0）0当时，F（x）0，F（x）单调递减；当x（x0，1）时，F（x）0，F（x）单调递增；所以若m（0，ln2），存在，使得x0是F（x）的极小值点由t（x0）0得：，即故mlnx00后面手写
