1、第二章综合素能检测时间120分钟，满分150分。一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1长方体ABCDA1B1C1D1中，异面直线AB，A1D1所成的角等于()A30 B45C60 D90答案D解析由于ADA1D1，则BAD是异面直线AB，A1D1所成的角，很明显BAD90.2已知平面和直线l，则内至少有一条直线与l()A平行 B相交C垂直 D异面答案C解析1直线l与平面斜交时，在平面内不存在与l平行的直线，A错；2l时，在内不存在直线与l异面，D错；3l时，在内不存在直线与l相交无论哪种情形在平面内都有无数条直线与l垂直3下列
2、命题中，错误的是()A一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，则必与另一个平面相交B平行于同一平面的两个不同平面平行C若直线l不平行于平面，则在平面内不存在与l平行的直线D如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面答案C解析直线l不平行于平面，可能直线l在平面内，此时，在平面内存在与l平行的直线4已知、是两个平面，直线l，l，若以l；l；中两个为条件，另一个为结论构成三个命题，则其中正确的命题有()A；B；C；D；答案A解析因为，所以在内找到一条直线m，使m，又因为l，所以lm.又因为l，所以l，即；因为l，所以过l可作一平面n，所以ln，又因为l，所以n，又因为n，所以，即.5
3、对于两条不相交的空间直线a与b，必存在平面，使得()Aa，b Ba，bCa，b Da，b答案B解析因为已知两条不相交的空间直线a和b.所以可以在直线a上任取一点A，则Ab.过A作直线cb，则过a，c必存在平面且使得a，b.6设直线l平面，过平面外一点A与l，都成30角的直线有()A1条 B2条C3条 D4条答案B解析如图，和成30角的直线一定是以A为顶点的圆锥的母线所在直线，当ABCACB30且BCl时，直线AC，AB都满足条件，故选B7如图，A是平面BCD外一点，E、F、G分别是BD、DC、CA的中点，设过这三点的平面为，则在图中的6条直线AB、AC、AD、BC、CD、DB中，与平面平行的直
4、线有()A0条 B1条C2条 D3条答案C解析显然AB与平面相交，且交点是AB中点，AB，AC，DB，DC四条直线均与平面相交在BCD中，由已知得EFBC，又EF，BC，BC.同理，AD，在题图中的6条直线中，与平面平行的直线有2条，故选C8已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC内的射影为ABC的中心O，则AB1与底面ABC所成角的正弦值为()A BC D答案B解析由题意知三棱锥A1ABC为正四面体，设棱长为a，则AB1a，棱柱的高A1Oa(即点B1到底面ABC的距离)，故AB1与底面ABC所成角的正弦值为.9等腰RtABC中，ABBC1，M为AC的中点，沿BM把
5、它折成二面角，折后A与C的距离为1，则二面角CBMA的大小为()A30 B60C90 D120答案C解析如图，由ABBC1，ABC90知AC.M为AC的中点，MCAM，且CMBM，AMBM，CMA为二面角CBMA的平面角AC1，MCMA，MC2MA2AC2，CMA90，故选C10如图，l，A，B，A，B到l的距离分别是a和b，AB与，所成的角分别是和，AB在，内的射影长分别是m和n，若ab，则()A，mn B，mnC，mn D，mn答案D解析由勾股定理得a2n2b2m2AB2.又ab，mn.由已知得sin，sin，而ab，sinsin，又，(0，)，.11如图，在三棱柱ABCABC中，点E，F
6、，H，K分别为AC，CB，AB，BC的中点，G为ABC的重心，从K，H，G，B中取一点作为P，使得该三棱柱恰有2条棱与平面PEF平行，则点P为()AK BHCG DB答案C解析应用验证法：选G点为P时，EFAB且EFAB，此时恰有AB和AB平行于平面PEF，故选C12如图，四边形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45，BAD90，将ABD沿BD折起，使平面ABD平面BCD，构成四面体ABCD，则在四面体ABCD中，下列结论正确的是()A平面ABD平面ABCB平面ADC平面BDCC平面ABC平面BDCD平面ADC平面ABC答案D解析由平面图形易知BDC90.平面ABD平面BCD，CDBD，C
7、D平面ABDCDAB又ABAD，CDADD，AB平面ADC又AB平面ABC，平面ADC平面ABC二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中的横线上)13直线l与平面所成角为30，lA，m，Am，则m与l所成角的取值范围是_.答案30，90解析直线l与平面所成的30的角为m与l所成角的最小值，当m在内适当旋转就可以得到lm，即m与l所成角的最大值为90.14如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是棱AA1和AB上的点，若B1MN是直角，则C1MN等于_.答案90解析因为C1B1平面ABB1A1，MN平面ABB1A1，所以C1B1MN.又因为MNMB1，MB1
8、，C1B1平面C1MB1，MB1C1B1B1，所以MN平面C1MB1，所以MNC1M，所以C1MN90.15如图所示，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足_时，平面MBD平面PCD(只要填写一个你认为是正确的条件即可)答案DMPC(或BMPC)解析连接AC，则BDAC，由PA底面ABCD，可知BDPA，BD平面PAC，BDPC故当DMPC(或BMPC)时，平面MBD平面PCD16(2013高考安徽卷)如图正方体ABCDA1B1C1D1，棱长为1，P为BC中点，Q为线段CC1上的动点，过A、P、Q的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题正确
9、的是_.(写出所有正确命题的编号)当0CQ时，S为四边形当CQ时，S为等腰梯形当CQ时，S与C1D1交点R满足C1R1当CQ1时，S为六边形当CQ1时，S的面积为.答案解析设截面与DD1相交于T，则ATPQ，且AT2PQDT2CQ.对于，当0CQ时，则0DT1，所以截面S为四边形，且S为梯形，所以为真对于，当CQ时，DT1，T与D重合，截面S为四边形APQD1，所以APD1Q，截面为等腰梯形，所以为真对于，当CQ，QC1，DT，D1T，利用三角形相似解得，C1R1，所以为真对于，当CQ1时，DT2，截面S与线段A1D1，D1C1相交，所以四边形S为五边形，所以为假对于，当CQ1时，Q与C1重合
10、，截面S与线段A1D1相交于中点G，即即为菱形APC1G，对角线长度为和，S的面积为，所以为真，综上，选.三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)(2014全国高考江苏卷)如图，在三棱锥PABC中，D、E、F分别为棱PC、AC、AB的中点，已知PAAC，PA6，BC8，DF5.求证：(1)直线PA面DEF；(2)平面BDE平面ABC证明(1)在PAC中，D、E分别为PC、AC中点，则PADE，PA面DEF，DE面DEF，因此PA面DEF.(2)DEF中，DEPA3，EFBC4，DF5，DF2DE2EF2，DEEF，又PAAC，DE
11、ACDE面ABC，面BDE面ABC18(本小题满分12分)如下图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC3，BC4，AB5，AA14，点D是AB的中点(1)求证：ACBC1；(2)求证：AC1平面CDB1；(3)求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值解析(1)证明：在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面三边长AC3，BC4，AB5，ACBC又C1CACAC平面BCC1B1.BC1平面BCC1B，ACBC1.(2)证明：设CB1与C1B的交点为E，连接DE，又四边形BCC1B1为正方形D是AB的中点，E是BC1的中点，DEAC1.DE平面CDB1，AC1平面CDB1，AC1平面CDB1.(3)解
12、：DEAC1，CED为AC1与B1C所成的角在CED中，EDAC1，CDAB，CECB12，cosCED.异面直线AC1与B1C所成角的余弦值为.19(本小题满分12分)(2013四川文科)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1底面ABC，ABAC2AA12，BAC120，D，D1分别是线段BC，B1C1的中点，P是线段AD上异于端点的点(1)在平面ABC内，试作出过点P与平面 A1BC平行的直线l，说明理由，并证明直线l平面ADD1A1；(2)设(1)中的直线l交AC于点Q，求三棱锥A1QC1D的体积(锥体体积公式：VSh，其中S为底面面积，h为高)解析(1)在平面ABC内，过点P作
13、直线l和BC平行理由如下：由于直线l不在平面A1BC内，lBC，故直线l与平面A1BC平行在ABC中，ABAC，D是线段AC的中点，ADBC，lAD又AA1底面ABC，AA1l.而AA1ADA，直线l平面ADD1A1.(2)过点D作DEAC于点E.侧棱AA1底面ABC，三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱，则易得DE平面AA1C1C在RtACD中，AC2，CAD60，ADACcos601，DEADsin60.SQA1C1A1C1AA1211，三棱锥A1QC1D的体积VA1QC1DVDQA1C1SQA1C1DE1.20(本小题满分12分)如下图所示，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，AB4，
14、BC3，AD5，DABABC90，E是CD的中点(1)证明：CD平面PAE；(2)若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥PABCD的体积解析(1)证明：如下图所示，连接AC，由AB4，BC3，ABC90，得AC5.又AD5，E是CD的中点，所以CDAE.PA平面ABCD，CD平面ABCD，所以PACD而PA，AE是平面PAE内的两条相交直线，所以CD平面PAE.(2)过点B作BGCD，分别与AE，AD相交于F，G，连接PF.由(1)CD平面PAE知，BG平面PAE.于是BPF为直线PB与平面PAE所成的角，且BGAE.由PA平面ABCD知，PBA为直线PB与平
15、面ABCD所成的角由题意，知PBABPF，因为sinPBA，sinBPF，所以PABF.由DABABC90知，ADBC，又BGCD，所以四边形BCDG是平行四边形，故GDBC3.于是AG2.在RtBAG中，AB4，AG2，BGAF，所以BG2，BF.于是PABF.又梯形ABCD的面积为S(53)416，所以四棱锥PABCD的体积为VSPA16.21(2015安徽卷)如图，三棱锥PABC中，PA平面ABC，PA1，AB1，AC2，BAC60，(1)求三棱锥PABC的体积；(2)证明：在线段PC上存在点M，使得ACBM，并求的值答案(1)；(2)分析(1)在ABC中SABC.又PN面ABC，PA是
16、三棱锥PABC的高，根据锥体的体积公式即可求出结果；(2)过点B作BN垂直AC于点N，过N作MNPA交PC于M，根据线面垂直的判定定理和性质定理，可知此M点即为所求，根据相似三角形的性质即可求出结果解析(1)在ABC中，AB1，AC2，BAC60SABCABACsinBAC12sin60.又PA面ABC，PA是三棱锥PABC的高，V三棱锥PABCPASABC1.(2)过点B作BN垂直AC于点N，过N作NMPA交PC于M，则ACBM，此时M即为所找点，在ABN中，易知AN.22(本小题满分12分)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，已知AB3，AD2，PA2，PD2，PAB60.(1
17、)求证：AD平面PAB；(2)求异面直线PC与AD所成的角的正切值；(3)求二面角PBDA的正切值解析(1)证明：在PAD中，PA2，AD2，PD2，PA2AD2PD2，ADPA在矩形ABCD中，ADABPAABA，AD平面PAB(2)BCAD，PCB是异面直线PC与AD所成的角在PAB中，由余弦定理得PB.由(1)知AD平面PAB，PB平面PAB，ADPB，BCPB，则PBC是直角三角形，故tanPCB.异面直线PC与AD所成的角的正切值为.(3)过点P作PHAB于点H，过点H作HEBD于点E，连结PE.AD平面PAB，PH平面ABCD，ADPH.又ADABA，PH平面ABCD又PH平面PHE，平面PHE平面ABCD又平面PHE平面ABCDHE，BDHE，BD平面PHE.而PE平面PHE，BDPE，故PEH是二面角PBDA的平面角由题设可得，PHPAsin60，AHPAcos601，BHABAH2，BD，HEBH.在RtPHE中，tanPEH.二面角PBDA的正切值为.
