1、虹口区2014届高三5月模拟考试（三模）数学学科（理科）（时间120分钟，满分150分）一、填空题（每小题4分，满分56分）1、是第二象限角，则是第 象限角 分析： 一或三2、复数满足，则此复数所对应的点的轨迹方程是 .分析：3、已知全集，集合, 若，则实数的值为 .分析：，则4、一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与某一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为 .分析： 设底面半径为，则它们的高 ，则.5、已知，则的值为 . 分析： 设，即， 则. 6、定义在上的奇函数，且当时， （为常数），则的值为 .分析：，则,，当时，.7、公差不为零的等差数列中，数列是等比数列，且，则等于
2、.分析： 等差数列中，则，取，.8、已知等差数列的通项公式为，则的展开式中项的系数是数列中的第 项分析： 209、已知极坐标系的极点为直角坐标系的原点，极轴与轴的非负半轴重合.若直线的极坐标方程为，曲线的参数方程为为参数，且，则直线与曲线的交点的直角坐标为 .分析：；注意参数方程中10、一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种 .分析：设取红球个，白球个，则 ，取法为. 11、棱长为1的正方体及其内部一动点，集合,则集合构成的几何体表面积为 .分析： .12、是双曲线的右支上一点，、分别是圆和上的点，则的最
3、大值等于 .分析：两个圆心正好是双曲线的焦点，再根据双曲线的定义得 的最大值等于9.13、设为实数，且满足：，则 .分析：，令，则是递增函数，且则，即.14、在区间上，关于的方程解的个数为 分析：令，则，化为考察的上半圆与函数的图象可知有一个公共点，故关于的方程有个解.二、选择题（每小题5分，满分20分）15、已知为实数，若复数是纯虚数，则的虚部为（ ）、 、 、 、分析：则，选.16、“”是“函数（）在区间上为增函数”的( )、充分不必要条件 、必要不充分条件、充要条件 、既不充分也不必要条件分析：时，在上为增函数；反之，在区间上为增函数，则，故选.17、如果函数在上的最大值和最小值分别为、
4、，那么.根据这一结论求出的取值范围（ ）.、 、 、 、分析：求在上的最值，选.18、如图，已知点，正方形内接于，、分别为边、的中点，当正方形绕圆心旋转时，的取值范围是（ ） 、 、 、 、分析：且长度为1，可设，然后用坐标求解.也可以，答案选.三、解答题（满分74分）19、（本题满分12分）如图，直四棱柱底面直角梯形，是棱上一点，.（1）求异面直线与所成的角；（2）求证：平面.解：（1）以原点，、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.则，.3分于是,异面直线与所成的角的大小等于.6分（2）过作交于，在中，则，10分，.又，平面.12分20、（本题满分14分）已知数列和满足：，其中为实数，为正整
5、数.（1）对任意实数，求证：不成等比数列；（2）试判断数列是否为等比数列，并证明你的结论.解（1）证明：假设存在一个实数，使是等比数列，则有,即矛盾.所以不成等比数列.6分（2）因为9分又,所以当，(为正整数)，此时不是等比数列：11分当时，由上式可知，(为正整数) ，故当时，数列是以为首项，为公比的等比数列.14分21、（本题满分14分）如图，、是两个小区所在地，、到一条公路的垂直距离分别为，两端之间的距离为.（1）某移动公司将在之间找一点，在处建造一个信号塔，使得对、的张角与对、的张角相等，试确定点的位置.（2）环保部门将在之间找一点，在处建造一个垃圾处理厂，使得对、所张角最大，试确定点的
6、位置.解：（1）设，.依题意有，.3分由，得，解得，故点应选在距点2处.6分（2）设，.依题意有，10分令，由，得，12分，当，所张的角为钝角，最大角当，即时取得，故点应选在距点处.14分22、（本题满分16分）阅读：已知、，求的最小值.解法如下：，当且仅当，即时取到等号，则的最小值为.应用上述解法，求解下列问题：（1）已知，求的最小值；（2）已知，求函数的最小值；（3）已知正数、，求证：.解（1），2分而，当且仅当时取到等号，则，即的最小值为.5分（2），7分而，当且仅当，即时取到等号，则，所以函数的最小值为.10分（3）当且仅当时取到等号，则.16分23、（本题满分18分）已知函数常数）满足.（1）求出的值，并就常数的不同取值讨论函数奇偶性；（2）若在区间上单调递减，求的最小值；（3）在（2）的条件下，当取最小值时，证明：恰有一个零点且存在递增的正整数数列，使得成立.解：（1）由得，解得.从而，定义域为当时，对于定义域内的任意，有，为偶函数2分当时，从而，不是奇函数；，不是偶函数，非奇非偶.4分（2）对于任意的，总有恒成立，即，得.6分，从而.又，的最小值等于.10分（3）在（2）的条件下，.当时，恒成立，函数在无零点.12分当时，对于任意的，恒有，即，所以函数在上递增，又，在是有一个零点.综上恰有一个零点，且15分，得，又，故，取18分
