1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。22基本不等式第1课时基本不等式某金店有一座天平，由于左右两臂长略有不等，所以直接称重不准确有一个顾客要买一串金项链，店主分别把项链放于左右两盘各称一次，得到两个不同的重量a和b，然后就把两次称得的重量的平均数作为项链的重量来计算顾客对这个重量的真实性提出了质疑【问题1】这串金项链的真实重量是多少？【问题2】这样计算的重量对于原来的真实质量到底是大了还是小了呢？你能用学过的知识帮助他解决这个问题吗？1重要不等式：如果a，bR，那么a2b22ab(当且仅当ab时，等号成立)
2、.2基本不等式(1)公式：条件：a0，b0；结论：；等号成立：当且仅当ab时(2)语言表述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.基本不等式的两个变形1.ab(a，bR，当且仅当ab时取等号)；2.(a0，b0，当且仅当ab时取等号).(1)重要不等式与基本不等式成立的条件相同吗？基本不等式成立的条件能省略吗？提示：两个不等式成立的条件是不同的：前者要求a，b都是实数，而后者要求a，b都是正数基本不等式成立的条件“a0，b0”不能省略，例如是不成立的(2)“当且仅当ab时，等号成立”的含义是什么？提示：一方面是当ab时取等号，即ab；另一方面是仅当ab时取等号，即ab.3用基本不等式求最
3、值的结论已知x，y都是正数，(1)如果积xy等于定值P，那么当xy时，和xy有最小值为2(积定和最小)；(2)如果和xy等于定值S，那么当xy时，积xy有最大值为(和定积最大).(3)应用：求和式的最小值，乘积式的最大值使用基本不等式求最值的注意点1使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对前提“一正、二定、三相等”的忽视要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可2在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件连续使用基本不等式时，取等号的条件是什么？提示：连续使用基本不等式时取等号的条件，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致(1)两个
4、不等式a2b22ab与成立的条件相同吗？(2)若a0，则a24成立吗？(3)当a，b同号时，2成立吗？提示：(1)不相同(2)不成立(3)成立阅读教材例1的解答过程：例1已知x0，求x的最小值解：因为x0，所以x22，当且仅当x，即x21，x1时，等号成立，因此所求的最小值为2.如果将题目条件“x0”改为“x0”，你能用基本不等式求x的最大值吗？提示：因为x0，所以x0，x22，所以x2，当且仅当x，即(x)21，x1时，等号成立，因此所求的最大值为2.1已知x0，y0，的最小值为()A1 B2C1 D【解析】选B.22，当且仅当x22y2时，等号成立，故的最小值为2.2(教材例题改编)设x，
5、y满足xy40，且x，y都是正数，则xy的最大值为_【解析】因为x，y都是正数，且xy40，所以xy400，当且仅当xy20时取等号答案：400基础类型一利用基本不等式判断命题真假(逻辑推理)1下列不等式一定成立的是()A(x0) Bx2(x0)Cx212|x|(xR) D1(xR)【解析】选C.选项A中，x2x(当且仅当x时，x2x)，故选项A不正确；选项B中，x2(x0)，x2(x0)，故选项B不正确；选项C中，x22|x|1(|x|1)20(xR)，故选项C正确；选项D中，x211，则01，故选项D不正确2设0ab，则下列不等式中正确的是()Aab BabCab Dab【解析】选B.因为
6、0ab，所以0，所以a，同样由0ab得，所以b，由基本不等式可得，综上，a0，b0，则下列不等式恒成立的是()Aa21a B4C(ab)4 Da296a【解析】选ABC.对A.根据基本不等式可知a0时，a212aa，即a21a，所以A正确；B当a0，b0时，a22，当a1时等号成立，b22，当b1时等号成立，所以当4，当a1，b1时等号成立，故B正确；C(ab)2224，当ab时等号成立，故C正确；D.a2926a，当a29时等号成立，又因为a0，所以a3等号成立，即a296a，故D不正确利用基本不等式判断命题真假的步骤第一步：检查是否满足应用基本不等式的条件第二步：应用基本不等式第三步：检验
7、等号是否成立基础类型二利用基本不等式求简单问题的最值(数学运算)【典例】1.若x0，y0，则2xy的最小值是()A3 B4 C4 D2【解析】选A.因为x0，y0，所以2xy2223，当且仅当x，y时等号成立，因此，2xy的最小值为3.2设x，y是正实数，满足x2y1，那么4y2x2的最小值为()A1 B C D【解析】选D.由x2y1，且，即4y2x2，当且仅当x，y时，取等号，所以4y2x2的最小值为.3若4x(x0，a0)当且仅当x2时取得最小值，则实数a的值为_【解析】因为x0，a0，所以4x24，当且仅当4x，即x时取等号，由题意得，2，所以a16.答案：16将本例1的条件“2xy”
8、改为“xy”，其他条件不变，如何解答？【解析】因为x0，y0，所以xyxy22426，当且仅当x2，y1时等号成立，因此，xy的最小值为6.【备选例题】 若x0，则xa恒成立的一个充分条件是()Aa80 Ba90 Da0，由基本不等式x24，当且仅当x即x2时，取等号，要使得xa恒成立，则a4，所以xa恒成立的一个充分条件是a0，y0，2xy2，则xy的最大值为()A1 B C D【解析】选B.因为x0，y0，2xy2，所以2xy2，当且仅当2xy，即x，y1时取等；故22，即xy.【加固训练】 1.若x0，y0，且xy18，则xy的最大值是_【解析】由于x0，y0，则xy2，所以xy81，当
9、且仅当xy9时，xy取到最大值81.答案：812已知x0，则3x的最大值为_【解析】因为x0.则3x212，当且仅当3x，即x2时，3x取得最大值为12.答案：12综合类型灵活利用基本不等式求最值(数学运算)拆项、凑项法y(x1)的最小值为_y(x1)的最大值为_【解析】y(x1)5，因为x1，所以x10，所以y259，当且仅当x1即x1时，等号成立，故所求最小值为9.答案：9y，因为x1，所以x10，所以y，当且仅当x1即x1时，等号成立故所求最大值为.答案：点拨：中分式的分子复杂、分母简单，可用拆项的方法，凑应用基本不等式的条件；中分式的分母复杂、分子简单，可用分子分母同时除以某数(或式)
10、的方法，凑应用基本不等式的条件通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提微提醒：注意应用“拆”“拼”“凑”等技巧的目的是使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件【加固训练】 已知x，则4x2的最大值为_【解析】因为x0，令y4x2，所以y4x23231，当且仅当54x，即x1时，上式等号成立，故当x1时，ymax1.答案：1换
11、元法【典例】的最大值为_【解析】设t0，则xt22.于是y(t0).当t0时，y0.当t0时，y.当且仅当2t，即t时，y有最大值为.由，解得x.即x，y有最大值为.答案：换元法解基本不等式问题的策略换元法适用于结构复杂(如含有根式)的情况，其目的是通过换元将陌生问题转化为熟悉的问题【加固训练】 函数y的最大值为_【解析】令t0，则xt21，所以y.当t0，即x1时，y0；当t0，即x1时，y，因为t24(当且仅当t2时取等号)，所以y，即y的最大值为(当t2，即x5时y取得最大值).答案：创新拓展消元法解基本不等式问题(数学运算)【典例】已知a，b0，且满足a2ab1，则3ab的最小值为()
12、A B C2 D2【解析】选C.因为a，b0，a2ab1，所以ba，所以3ab3aa2a22，当且仅当2a，即a时取等号，所以3ab的最小值为2.消元法是对于不等式中的多元问题，用一个参数表示其他参数，再利用基本不等式进行求解创新题型借助几何图形验证基本不等式(直观想象)【典例】(2021汕头高一检测)几何原本第二卷中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，并称之为无字证明现有如图所示的图形，点F在半圆O上，且OFAB，点C在直径AB上运动设ACa，BCb，则由FCOF可以直接证明的不等式为()A.(a0，
13、b0)Ba2b22ab(a0，b0)C(a0，b0)D(a0，b0)【解析】选D.不妨设点C在半径OB上运动由图形可知：OFAB，OC.在RtOCF中，由勾股定理可得CF，因为FCOF，所以，(a0，b0).借助几何图形验证基本不等式的关注点(1)明确所证不等式中代数式的含义，挖掘几何图形蕴含的不等关系，如三角形中大边对大角、两边之和大于第三边等(2)充分利用几何图形，找到有关线段的关系，并进行恰当的转化【加固训练】九章算术中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在其九章算术注中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图1，用对角线将长和宽分别为b和
14、a的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形(黄)和两个小直角三角形(朱、青).将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形，该矩形长为ab，宽为内接正方形的边长d.由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图3.设D为斜边BC的中点，作直角三角形ABC的内接正方形对角线AE，过点A作AFBC于点F，则下列推理正确的是()由图1和图2面积相等可得d；由AEAF可得；由ADAE可得；由ADAF可得a2b22ab.A BC D【解析】选A.由图1和图2面积相等ab(ab)d，可得d，对；由题意知图3面积为abAF，AF，ADBC，图3设正方形边长为x，由三角形相似，解之得x，则
15、AE；可以化简判断对1下列不等式正确的是()Aa2 B(a)()2Ca22 D(a)22【解析】选C.由a可正、可负，可知A，B错误；由于a20，所以a222，当且仅当a2，即a1时等号成立，所以C正确；同理可知(a)22，故D错误2已知x0，函数yx的最小值是()A4 B5 C8 D6【解析】选A.由题意可得，yx满足运用基本不等式的条件一正，二定，三相等，所以yx24，当且仅当x，即x2时，等号成立所以当x0时，函数yx的最小值是4.3已知正数a，b满足ab10，则2a5b的最小值是()A10 B20 C15 D25【解析】选B.因为正数a，b满足ab10，所以2a5b2220，当且仅当2a5b，即时，等号成立4.的最小值是_【解析】|a|22，当且仅当|a|，即a时，取等号答案：25求函数y4x2的最小值，并求函数取最小值时x的值【解析】由已知x20，则y4x2212，当且仅当4x2，即x时，等号成立，所以当x时，y4x2的最小值为12.关闭Word文档返回原板块
