1、函数的单调性与导数（4）.对数函数的导数:（5）.指数函数的导数:（3）.三角函数：（1）.常函数：(C)/0,(c为常数)；（2）.幂函数：(xn)/nxn1一复习回顾：1.基本初等函数的导数公式 2.导数的运算法则（1）函数的和或差的导数(uv)/u/v/.（3）函数的商的导数（）/=(v0)。（2）函数的积的导数(uv)/u/v+v/u.函数 y=f(x)在给定区间 G 上，当 x 1、x 2 G 且 x 1 x 2 时yxoabyxoab1）都有 f(x 1)f(x 2)，则 f(x)在G 上是增函数；2）都有 f(x 1)f(x 2)，则 f(x)在G 上是减函数；若 f(x)在G上
2、是增函数或减函数，则 f(x)在G上具有严格的单调性。G 称为单调区间G=(a,b)二、复习引入:引入：函数单调性体现出了函数值y随自变量x的变化而变化的情况,而导数也正是研究自变量的增加量与函数值的增加量之间的关系于是我们设想一下能否利用导数来研究单调性呢？观察下面四组函数图像，判断导数与单调性的关系。三、新课讲解:我们已经知道,曲线y=f(x)的切线的斜率就是函数y=f(x)的导数.从函数y=x2-4x+3的图像可以看到:yxo111在区间(2,+)内,切线的斜率为正,函数y=f(x)的值随着x的增大而增大,即0 时,函数y=f(x)在区间(2,+)内为增函数.在区间(-,2)内,切线的斜
3、率为负,函数y=f(x)的值随着x的增大而减小,即0f(x)0,那么函数y=f(x)在为这个区间内 的增函数;如果在这个区间内0,解得x1,因此,当时,f(x)是增函数;令2x-20,解得x0,解得x3或x1,因此,当或时,f(x)是增函数.令3x2-12x+90,解得1x0得f(x)的单调递增区间;解不等式 0得f(x)的单调递减区间.练习1:求函数y=2x3+3x2-12x+1的单调区间.答案:递增区间是和;递减区间是(-2,1).例1、求函数f(x)=xx的单调区间解：四、综合应用:例1:确定下列函数的单调区间:(1)f(x)=x/2+sinx;解:(1)函数的定义域是R,令,解得令,解
4、得因此,f(x)的递增区间是:递减区间是:解:函数的定义域是(-1,+),(2)f(x)=x/2-ln(1+x)+1由即得x1.注意到函数的定义域是(-1,+),故f(x)的递增区间是(1,+);由解得-1x0,对一切实数恒成立,此时f(x)只有一个单调区间,矛盾.若a=0,此时f(x)也只有一个单调区间,矛盾.若a0,则,易知此时f(x)恰有三个单调区间.故a()0只是函数f(x)在该区间 上为增(减)函数的充分不必要条件.6.利用导数的符号来判断函数的单调区间,是导数几何 意义在研究曲线变化规律的一个应用,它充分体现了数形结合的思想.5.若函数f(x)在开区间(a,b)上具有单调性.则当函数f(x)时在闭区间a,b上连续,那么单调区间可以扩大到闭区间a,b上.4.利用求导的方法可以证明不等式,首先要根据题意构造函数,再判断所设函数的单调性,利用单调性的定义,证明要证的不等式.当函数的单调区间与函数的定义域相同时,我们也可用求导的方法求函数的值域.
