1、3.1.1 数系的扩充与复数的概念高二数学说课流程五教学过程数系的扩充和复数的概念数系的扩充和复数的概念数系的扩充与复数的引入是高中生必备的基础知识在本节中，学生将在问题情境中了解数系扩充的过程以及引入复数的必要性，学习复数的一些基本知识，体会人类理性思维在数系扩充中的作用。数系的扩充和复数的概念数系的扩充和复数的概念数系的扩充和复数的概念数系的扩充和复数的概念在此前，学生已经对数的扩充史有了一定的了解。接受和理解虚数，对学生来说又是一大挑战和跨越，这是我们这节课可利用的有利因素和挑战性。知识与技能目标：1了解数的扩充史，渗透数学文化；2掌握复数的概念和复数相等的充要条件。情感目标：通过了解
2、数的扩充过程，使学生体会到一种鲜活的数学思维过程，激发学生对数学的兴趣，培养他们的探索精神。教学重点：了解数的扩充史，掌握复数的概念和复数相等的充要条件教学难点：对虚数产生的必要性的理解数系的扩充和复数的概念数系的扩充和复数的概念本节运用数学史材料激发学生的求知欲，使学生主动到参与教学活动中来，在教师的指导下发现、分析解决问题、总结方法、总结规律，培养学生积极探索的科学精神。数系的扩充和复数的概念数系的扩充和复数的概念（一）情景引入设计意图利用司空见惯的问题进行悬疑引入，激发学生的好奇心。然后师生一道回顾数的发展史来寻求灵感和答案数系的扩充和复数的概念数系的扩充和复数的概念从社会生活来看，数的
3、概念是从实践中产生和发展起来的。开始时用手指计数，当手指不敷运用时，用小石子检查放牧归来的羊的只数，出现了石子记数；用结绳的方法统计猎物的个数，称为结绳记数；用在木头上刻道的方法记录捕鱼的数量为刻痕记数等等。为了记数的需要产生了自然数，为了测量产生了分数，为了刻画相反意义的数产生了负数，为解决度量正方形对角线长的问题出现了无理数。若，则对此你有什么困惑？设计意图数学文化之旅数学文化之旅数的历史数的历史远古的人类，为了统计捕获的野兽和采集的野果，用手指或石子数个数，历经漫长的岁月，创造了自然数1、2、3、4、5、自然数是现实世界最基本的数量，是全部数学的发源地古代印度人最早使用了“0”公元5世纪
4、时，“0”已经传入罗马。但罗马教皇凶残而且守旧。他不允许任何使用“0”。有一位罗马学者在笔记中记载了关于使用“0”的一些好处和说明，就被教皇召去，砍去了双手自然数的产生对真理的追求是永无止境的，我们可能会为自己的梦放弃一切。苏格拉底培养学生追求真理的坚定信念和无畏精神数系的扩充和复数的概念数系的扩充和复数的概念（二）悬疑探究设计意图为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数法的需要，人类引进了负数负数概念最早产生于我国，东汉初期的“九章算术”中就有负数的说法公元3世纪，刘徽在注解“九章算术”时，明确定义了正负数：“两算得失相反，要令正负以名之”不仅如此，刘徽还给出了正负数的加减法运算法则千年之后
5、，负数概念才经由阿拉伯传人欧洲。负数的引入，负数的引入，解决了在自然数集中不够减的矛盾解决了在自然数集中不够减的矛盾负 数 的 出 现了解我国在数学上的成就，可激发学生民族自豪感。数系的扩充和复数的概念数系的扩充和复数的概念数学文化之旅数学文化之旅数的历史数的历史（二）悬疑探究设计意图随着生产、生活的需要，人们发现，仅仅能表示自然数是远远不行的。如果分配猎获物时，5个人分4件东西，每个人人该得多少呢？于是分数就产生了。中国对分数的研究比欧洲早1400多年！自然数、分数和零，通称为算术数。自然数也称为正整数分 数 的 出 现了解我国在数学上的成就，可激发学生民族自豪感。数系的扩充和复数的概念数系
6、的扩充和复数的概念数学文化之旅数学文化之旅数的历史数的历史（二）悬疑探究分数的引入分数的引入解决了在整数集中不能整除的矛盾解决了在整数集中不能整除的矛盾关于无理数的发现2500年古希腊的毕达哥拉斯学派认为,世间任何数都可以用整数或分数表示,并将此作为他们的一条信条.有一天,这个学派中的一个成员希伯斯突然发现边长为1的正方形的对角线是个奇怪的数,于是努力研究,终于证明出它不能用整数或分数表示.但这打破了毕达哥拉斯学派的信条,于是毕达哥拉斯命令他不许外传.但希伯斯却将这一秘密透露了出去.毕达哥拉斯大怒,将他扔入了大海.希伯斯发现的这类数,被称为无理数.毕达哥拉斯约公元前560480年数系的扩充和复
7、数的概念数系的扩充和复数的概念数学文化之旅数学文化之旅数的历史数的历史（二）悬疑探究无理数的引入无理数的引入解决了开方开不尽的矛盾解决了开方开不尽的矛盾设计意图负负数的引入，解决了在自然数集中不数的引入，解决了在自然数集中不够减够减的矛盾。的矛盾。分分数的引入，解决了在整数集中不能数的引入，解决了在整数集中不能整除整除的矛盾。的矛盾。无理数的引入，解决了开方开不尽的矛盾。无理数的引入，解决了开方开不尽的矛盾。那么我们引入什么样的数，那么我们引入什么样的数，才能解决负数不能开平方的矛盾呢？才能解决负数不能开平方的矛盾呢？重新引导学生回到引题，转入难点突破环节数系的扩充和复数的概念数系的扩充和复数
8、的概念数学文化之旅数学文化之旅数的历史数的历史（二）悬疑探究对前面的探究过程进行整理设计意图(3)全体复数所形成的集合叫做复数集复数集，一般用字母 CC 表示.(1)形如a+bi的数叫复数,用字母 z z 表示.22复 数 的 概 念实部虚部其中称为虚数单位.(2)数系的扩充和复数的概念数系的扩充和复数的概念难点突破了，接下来就是本节课的而重点内容，本环节分四个部分（三）建构新知11新数新数 ii 叫做虚数单位叫做虚数单位,并规定并规定：（1）i i 22 11；（2）实数可以与实数可以与 i i 进行四则运算进行四则运算,在进行四则运在进行四则运算时算时,原有的加法与乘法的运算律仍然成立原有
9、的加法与乘法的运算律仍然成立(1)复数的概念i5i+411、对于复数z=a+bi（aR，bR）0特别的，当特别的，当a=a=0 0且且b=b=0 0时，时，z=0z=0当当b=b=0 0 时，时，z z 为为 实实 数数当当bb 0 0 时，时，zz为为虚数虚数当当a=a=0 0 且且b b 00时，时，zz为为纯虚数纯虚数非纯虚数的虚数：a 0,b 0设计意图数系的扩充和复数的概念数系的扩充和复数的概念（三）建构新知(2)复数的分类解决复数的分类问题复数相等的定义复数a+bi和 c+di相等规定为:a+bi =c+di1、复数问题实数化的基本方法2、解决复数的相等问题设计意图数系的扩充和复数
10、的概念数系的扩充和复数的概念*复数问题可转化为实数范围内的代数问题（三）建构新知（3）复数相等的定义设计意图复 数 集实 数 集有理数集自然数集整 数 集虚数复数整数负整数自然数分数有理数无理数实数数系的扩充和复数的概念数系的扩充和复数的概念（三）建构新知（4）复数的定位本环节是本节课的重点部分，但不是难点。目的：培养学生独立思考的良好习惯和品质。课堂不是教师一个人表演的舞台，要体现学生的主体地位设计意图11说明下列复数的实部和虚部说明下列复数的实部和虚部,并指出哪并指出哪些是实数些是实数,哪些是虚数哪些是虚数,哪些是纯虚数哪些是纯虚数.数系的扩充和复数的概念数系的扩充和复数的概念这里我们设置
11、了一般习题和挑战习题，以满足不同学生多层次的学习需求，使他们得到最全面的发展练习巩固练习巩固（四）22已知已知其中其中求求xx与与y?y?1-13 计算B4（湖南卷）Z=i+i 2+i 3+i 4 的值是（）A.-1 B.0 C.1 D.i问题拓展练习：已知关于x的方程x2+(1+2i)x-3mi+i=0有实根，求实数m的值.1、已知方程(1+i)x2-2(a+i)x+5-3i=0有实数解,a为实数，求a的值.解：设方程的解为x0（1）扩充原因：满足实际问题解决的需要；满足数学自身完善和发展的需要（2）扩充特征：引入新的数；原数集中的运算规则在新数集中得到保留和扩展（3）提出新的问题：如何对实
12、数集进行扩充，使方程在新的数集中的解？（4）引入虚数单位（5）学习复数的概念（6）规定复数相等的意义（7）研究复数的分类（8）两个复数只能说相等 如果两个复数都是实数，则可以比较大小；否则，不能比较大小课课 堂堂 小小 结结（六）设计意图数系的扩充和复数的概念数系的扩充和复数的概念小结方式学生整理教师补充既是对整节课堂教学的回顾，又能对教学效果起到及时反馈的目的作作业业校本作业（七）设计意图强化知识，加深概念理解数系的扩充和复数的概念数系的扩充和复数的概念板书设计与时间安排1、板书设计2、时间安排课题引入约3分钟，数的扩充史约7分钟，复数概念形成及复数相等约10分钟，实践应用约15分钟，小结约5分钟，练习约5分钟.数系的扩充和复数的概念数系的扩充和复数的概念数系的扩充和复数的概念教学目标复 数 的 概 念复数相等的定义投影屏幕
