1、简单的线性规划问题1(2016北京卷)已知A(2,5)，B(4,1)若点P(x，y)在线段AB上，则2xy的最大值为(C)A1 B3C7 D8 作出线段AB，如图所示作直线2xy0并将其向下平移至直线过点B(4,1)时，2xy取最大值，为2417.2(2017全国卷)设x，y满足约束条件则z2xy 的最小值是(A)A15 B9C1 D9 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示将目标函数z2xy化为y2xz，作出直线y2x并平移，当直线y2xz经过点A(6，3)时，z取最小值，且zmin2(6)315.3(2018广州一模)若x，y满足约束条件 则zx22xy2的最小值为(D)A. B.C D
2、 画出可行域，如图：(方法一)因为zx22xy2(x1)2y21，所以z表示可行域内的点与点(1,0)的距离的平方减去1.所以zmin()21.(方法二)zx22xy2变形为(x1)2y21z.故目标函数可看作是以点(1,0)为圆心，为半径的圆当圆与区域的边界相切时，取最小值所以d，所以1z，从而z.所以zmin.4某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元，乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗
3、费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为(B)A甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱B甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱C甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱D甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱 设甲车间加工x箱原料，乙车间加工y箱原料，甲、乙两车间每天总获利为z元依题意，得z740x450y280x200y，画出可行域如图阴影部分，联立解得知z在A点处取得最大值，故选B.5(2018全国卷)若x，y满足约束条件则zxy的最大值为9. 由不等式组画出可行域，如图(阴影部分)目标函数zxy取得最大值斜率为1的平行直线xyz(z看作常数)的截
4、距最大，由图可得直线xyz过点C时z取得最大值由得点C(5,4)，所以zmax549.6若实数x，y满足则(1)的取值范围为2，)；(2)x2y2的取值范围为(1,5. 作出可行域，其可行域是顶点分别为A(0,1)，B(1,2)，C(0,2)的三角形及其内部(但不包括AC边)(1)因为表示可行域内的点(x，y)与(0,0)连线的斜率，可知其取值范围为2，)(2)因为x2y2表示可行域内的点(x，y)到(0,0)的距离的平方，可知其取值范围为(1,57给定区域D：令点集T(x0，y0)D|x0，y0Z，(x0，y0)是zxy在D上取得最大值或最小值的点，问T中的点共确定多少条不同的直线？ 画出不
5、等式组所表示的平面区域(如下图所示)令z0，得直线l：xy0，平移直线l，由图象可知当直线经过整点A(0,1)时，z取最小值，当直线经过整点B(0,4)，C(1,3)，D(2,2)，E(3,1)，F(4,0)时，z取最大值所以T(0,1)，(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)，所以T中的点可确定的直线有AB，AC，AD，AE，AF，BF共6条不同的直线8(2016浙江卷)若平面区域夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是(B)A. B.C. D. 根据约束条件作出可行域如图阴影部分，当斜率为1的直线分别过A点和B点时满足条件，联立方程组求得A(1
6、,2)，联立方程组求得B(2,1)，可求得分别过A，B点且斜率为1的两条直线方程为xy10和xy10，由两平行线间的距离公式得距离为，故选B.9(2018深圳二模)已知a0，实数x，y满足若zx2y的最大值为5，则a2. 画出可行域(如图)由zx2y，得y.平移y经过A(1,1a)时，z取最大值，所以zmax122a5，所以a2.10(2017天津卷)电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：连续剧播放时长(分钟)广告播放时长(分钟)收视人次(万)甲70560乙60525已知电视台每周安排的甲、乙
7、连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍分别用x，y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数(1)用x，y列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？ (1)由已知，x，y满足的数学关系式为即该二元一次不等式组所表示的平面区域为图中的阴影部分中的整数点(2)设总收视人次为z万，则目标函数为z60x25y.考虑z60x25y，将它变形为yx，这是斜率为，随z变化的一组平行直线.为直线在y轴上的截距，当取得最大值时，z的值就最大又因为x，y满足约束条件，所以由图可知，当直线z60x25y经过可行域上的点M时，截距最大，即z最大解方程组得则点M的坐标为(6,3)所以，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时，才能使总收视人次最多
