1、31.2 用二分法求方程的近似解内 容 标 准学 科 素 养1.通过具体实例理解二分法的概念及其使用条件2了解二分法是求方程近似解的常用方法，能借助计算器用二分法求方程的近似解3会用二分法求一个函数在给定区间内的零点从而求得方程的近似解.提升数学运算发展逻辑推理应用直观想象01课前 自主预习02课堂 合作探究04课时 跟踪训练03课后 讨论探究基础认识知识点 二分法预习教材P8990，思考并完成以下问题模拟一档电视节目“幸运 52”，现有一款华为手机，目前知道它的价格在 2 0003 000元之间，你能在最短的时间内猜出与它最近的价格吗？(误差不超过 20 元)学生自由发言，每猜一个价格，教师
2、指出是高了还是低了，然后由学生继续猜下去，猜价格方案：随机；每次增加 20 元；每次取价格范围内的中间价，采取哪一种方案好呢？(1)已知函数 f(x)x25，f(x)在区间2,3内有零点吗？(2)如果取区间(2,3)的中点 2.5，能否判断零点在区间(2.5,3)内还是在区间(2,2.5)内？(3)能不能进一步把零点所在的区间缩小？提示：有，因为 f(2)f(3)0.提示：能由 f(2)10，f(2.5)1.250 知零点在(2,2.5)内提示：能取(2,2.5)的中点 2.25，计算知 f(2.25)0.062 50，而 f(2)10，知零点在(2,2.25)内 知识梳理 1.二分法的定义对
3、于在区间a，b上且的函数 yf(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间，使区间的两个端点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法连续不断f(a)f(b)0 一分为二逐步逼近零点2二分法求函数零点近似值的步骤思考：若函数 yf(x)在定义域内有零点，该零点是否一定能用二分法求解？提示：二分法只适用于函数的变号零点(即函数在零点两侧符号相反)，因此函数在零点两侧同号的零点不能用二分法求解，如 f(x)(x1)2 的零点就不能用二分法求解自我检测1已知函数 f(x)的图象如图，其中零点的个数及可以用二分法求解的个数分别为()A4,4 B3,4C5,4 D4,3解析：由图象知函数 f(x)与 x
4、轴有 4 个交点，因此零点个数为 4，从左往右数第 4个交点两侧不满足 f(a)f(b)0，因此不能用二分法求零点，而其余 3 个均可使用二分法求零点答案：D2用二分法求函数 f(x)x35 的零点可以取的初始区间为()A2,1B1,0C0,1D1,2解析：由 f(2)f(1)0 知初始区间可以取2,1答案：A探究一 二分法的概念例 1 下面关于二分法的叙述，正确的是()A用二分法可求所有函数零点的近似值B用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位C二分法无规律可循D只有在求函数零点时才用二分法解析 只有函数的图象在零点附近是连续不断且在该零点左右函数值异号时，才可以用二分法求函数的
5、零点的近似值，故 A 错；二分法有规律可循，可以通过计算机来进行，故 C 错；求方程的近似解也可以用二分法，故 D 错答案 B方法技巧 运用二分法求函数的零点应具备的条件(1)函数图象在零点附近连续不断(2)在该零点左右函数值异号只有满足上述两个条件，才可用二分法求函数零点跟踪探究 1.用二分法求如图所示的函数 f(x)的零点时，不可能求出的零点是()Ax1 Bx2Cx3Dx4解析：由二分法的思想可知，零点 x1，x2，x4 左右两侧的函数值符号相反，即存在区间a，b，使得 f(a)f(b)0，故 x1，x2，x4 可以用二分法求解，但 x3a，b时均有 f(a)f(b)0，故不可以用二分法求
6、该零点答案：C探究二 用二分法求函数零点的近似值阅读教材 P90 例 2借助计算器或计算机用二分法求方程 2x3x7 的近似解(精确度 0.1)题型：求方程的近似解方法步骤：第 1 步，构造函数；第 2 步，用二分法求零点所在区间；第 3 步，由精确度确定近似解例 2 求函数 f(x)x33x29x1 的一个负零点(精确度 0.01).解析 确定一个包含负数零点的区间(m，n)，且 f(m)f(n)0，f(2)0，f(2)0(2，1.5)x11.5221.75f(x1)22030(2，1.75)端点(中点)端点或中点的函数值取值区间x21.75221.875f(x2)07360(2，1.875
7、)x31.875221.937 5f(x3)0.097 40(1.937 5，1.906 25)端点(中点)端点或中点的函数值取值区间x51.937 51.906 252 1.921 875f(x5)0117 40(1.937 5，1.921 875)x61.937 51.921 8752 1.929 687 5f(x6)0010 50(1.937 5，1.929 687 5)由于|1.929 687 51.937 5|0.007 812 50，f(2)0，f(2)0(2，1.5)端点(中点)端点或中点的函数值取值区间x11.5221.75f(x1)2.2030(2，1.75)x21.7522
8、1.875f(x2)0.7360(2，1.875)x31.875221.937 5f(x3)0.097 40(1.937 5，1.875)由于|1.8751.937 5|0.062 50.1，所以函数在区间2，1内的一个近似零点可取为1.937 5.2若将例题中函数改为“f(x)x32x23x6”，如何求该函数的正数零点？(精确度 0.1)解析：确定一个包含正数零点的区间(m，n)，且 f(m)f(n)0.因为 f(0)60，f(1)60，所以可以取区间(1,2)作为计算的初始区间，用二分法逐步计算，列表如下：端点(中点)端点或中点的函数值取值区间f(1)60(1,2)x1122 1.5f(1
9、.5)2.6250(1.5,1.75)x31.51.7521.625f(1.625)1.302 70(1.625,1.75)x41.6251.7521.687 5f(1.6875)0.561 80(1.687 5,1.75)由于|1.751.687 5|0.062 50.1.所以函数的正数零点的近似值可取为 1.687 5.方法技巧 利用二分法求方程的近似解的步骤(1)构造函数，利用图象确定方程的解所在的大致区间，通常取区间(n，n1)，nZ；(2)利用二分法求出满足精确度的方程的解所在的区间 M；(3)区间 M 内的任一实数均是方程的近似解，通常取区间 M 的一个端点.课后小结1二分法就是通
10、过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点2并非所有函数都可以用二分法求其零点，只有满足：(1)在区间a，b上连续不断；(2)f(a)f(b)0.上述两个条件的函数方程可采用二分法求得零点的近似值3确定函数的零点、方程的根所在的区间时，通常利用零点存在性定理转化为判断区间两端点对应的函数值的符号是否相反素养培优对精确度理解不准确致误用二分法求方程 x250 的一个近似正解(精确度 0.1)易错分析：解答本题的易错点是对“精确度 0.1”理解不正确，忽视区间长度与精确度的比较，无法确定零点最终所在区间导致错误自我纠正：令 f(x)x25.因为 f(2.2)0.160，f(2.4)0.760，所以 f(2.2)f(2.4)0，说明这个函数在区间(2.2,2.4)内有零点 x0.取区间(2.2,2.4)的中点 x12.3，f(2.3)0.29，因为 f(2.2)f(2.3)0，所以 x0(2.2,2.3)再取区间(2.2,2.3)的中点 x22.25，f(2.25)0.062 5，因为 f(2.2)f(2.25)0，所以 x0(2.2,2.25)由于|2.252.2|0.050.1，因此原方程的近似正解可取为 2.25.04课时 跟踪训练
