1、北京市丰台区2012年高三二模 2012.5数学（理科）第一部分 （选择题 共40分） 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1复数的虚部是(A) (B) (C) 1(D) 2一个正四棱锥的所有棱长均为2，其俯视图如右图所示，则该正四棱锥的正视图的面积为(A) (B) (C) 2(D) 43由曲线与y=x，x=4以及x轴所围成的封闭图形的面积是 (A) (B) (C) (D) 开始结束，输出S是否4执行如图所示的程序框图，若输出的结果为63，则判断框中应填(A) (B) (C) (D) 5盒子中装有形状、大小完全相同的3个红球和2个白球，从中随
2、机取出一个记下颜色后放回，当红球取到2次时停止取球那么取球次数恰为3次的概率是(A) (B) (C) (D) 6在ABC中，BAC=90，D是BC中点，AB=4，AC=3，则=(A) (B) (C) (D) 77已知函数的图象如图所示，则函数的图象可能是(A)(B)(C)(D)8已知平面上四个点，设是四边形及其内部的点构成的点的集合，点是四边形对角线的交点，若集合，则集合S所表示的平面区域的面积为(A) 2(B) 4(C) 8(D) 16第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分9在极坐标系中，圆的圆心的极坐标是_ 10已知椭圆上一点M到两个焦点的距离分别是5和
3、3，则该椭圆的离心率为_ 11如图所示，AB是圆的直径，点C在圆上，过点B，C的切线交于点P，AP交圆于D，若AB=2，AC=1，则PC=_，PD=_ 12某地区恩格尔系数与年份的统计数据如下表：年份x2004200520062007恩格尔系数y(%)4745.543.541从散点图可以看出y与x线性相关，且可得回归方程为，据此模型可预测2012年该地区的恩格尔系数(%)为_ 13从5名学生中任选4名分别参加数学、物理、化学、生物四科竞赛，且每科竞赛只有1人参加，若甲不参加生物竞赛，则不同的选择方案共有 种 14. 在平面直角坐标系中，若点，同时满足：点，都在函数图象上；点，关于原点对称，则称
4、点对(,)是函数的一个“姐妹点对”（规定点对(,)与点对(,)是同一个“姐妹点对”）那么函数 的“姐妹点对”的个数为_；当函数有“姐妹点对”时，的取值范围是_三、解答题共6小题，共80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15.（本小题共13分）已知函数（）求的值；（）求函数在区间上的最小值，并求使取得最小值时的x的值16.（本小题共13分）某商场举办促销抽奖活动，奖券上印有数字100，80，60，0凡顾客当天在该商场消费每超过1000元，即可随机从抽奖箱里摸取奖券一张，商场即赠送与奖券上所标数字等额的现金（单位：元）设奖券上的数字为，的分布列如下表所示，且的数学期望E=2210080600
5、P0.05ab0.7（）求a，b的值； （）若某顾客当天在商场消费2500元，求该顾客获得奖金数不少于160元的概率17.（本小题共14分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，平面ABEF平面ABCD， EF / AB，BAF=90， AD= 2，AB=AF=2EF =1，点P在棱DF上（）若P是DF的中点， () 求证：BF / 平面ACP；() 求异面直线BE与CP所成角的余弦值； （）若二面角D-AP-C的余弦值为，求PF的长度18.（本小题共13分）已知数列an满足，p为常数)，成等差数列（）求p的值及数列an的通项公式；（）设数列bn满足，证明： 19.（本小题共14分） 在
6、平面直角坐标系xOy中，抛物线C的焦点在y轴上，且抛物线上的点P(x0，4)到焦点F的距离为5斜率为2的直线l与抛物线C交于A，B两点（）求抛物线C的标准方程，及抛物线在P点处的切线方程；（）若AB的垂直平分线分别交y轴和抛物线于M，N两点（M，N位于直线l两侧），当四边形AMBN为菱形时，求直线l的方程20.（本小题共13分）设函数（）当时，求函数的最小值；（）证明：对x1，x2R+，都有；（）若，证明： （考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）北京市丰台区2012年高三二模数 学（理科）参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分题号12345678答案DACDBBCB
7、二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分9 10 11， 1231.25 13 96 141，注：第11题第一个空答对得2分，第二个空答对得3分；第14题第一个空答对得3分，第二个空答对得2分 三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15.解：因为= （） = 7分（）因为 ， 所以 当 ，即时，函数有最小值是当时，函数有最小值是 13分16解：（）依题意， 所以 因为 ， 所以 由 可得 7分（）依题意，该顾客在商场消费2500元，可以可以抽奖2次 奖金数不少于160元的抽法只能是100元和100元； 100元和80元； 100元和60元；80元和8
8、0元四种情况 设“该顾客获得奖金数不少于160元”为事件A， 则 答：该顾客获得奖金数不少于160元的概率为0.0375 13分17（）()证明：连接BD，交AC于点O，连接OP 因为P是DF中点，O为矩形ABCD 对角线的交点， 所以OP为三角形BDF中位线，所以BF / OP， 因为BF平面ACP，OP平面ACP， 所以BF / 平面ACP 4分()因为BAF=90，所以AFAB， 因为 平面ABEF平面ABCD，且平面ABEF 平面ABCD= AB， 所以AF平面ABCD， 因为四边形ABCD为矩形，所以以A为坐标原点，AB，AD，AF分别为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系所以
9、，所以 ，所以，即异面直线BE与CP所成角的余弦值为 9分（）解：因为AB平面ADF，所以平面APF的法向量为设P点坐标为， 在平面APC中，所以 平面APC的法向量为， 所以 ， 解得，或（舍） 此时 14分18解：（）因为，所以； 因为，成等差数列，所以2()=+， 即， 所以 依题意，所以当n2时，相加得， 所以 ， 所以 当n=1时，成立， 所以 8分（）证明：因为 ，所以 因为 ，若 ，则，即 时 又因为 ，所以 13分19解：（）依题意设抛物线C：， 因为点P到焦点F的距离为5，所以点P到准线的距离为5 因为P(x0，4)，所以由抛物线准线方程可得 ，所以抛物线的标准方程为 4分即
10、 ，所以 ，点P(4，4)，所以 ， 所以 点(-4，4)处抛物线切线方程为，即；点(4，4)处抛物线切线方程为，即点处抛物线切线方程为，或 7分（）设直线的方程为，联立 ，消y得 ， 所以 ，所以 ， 即的中点为所以 的垂直平分线方程为因为 四边形AMBN为菱形，所以 ，关于对称， 所以 点坐标为，且在抛物线上， 所以 ，即，所以直线的方程为 14分20解：（）时，()，则 令，得当时，在是减函数，当时，在是增函数， 所以 在时取得最小值，即 4分（）因为 ，所以 所以当时，函数有最小值x1，x2R+，不妨设，则 8分（）（证法一）数学归纳法)当时，由（）知命题成立）假设当( kN*)时命题成立，即若，则当时，满足 设，由（）得=由假设可得 ，命题成立所以当 时命题成立由)，）可知，对一切正整数nN*，命题都成立，所以 若，则 13分（证法二）若，那么由（）可得13分（若用其他方法解题，请酌情给分）
