1、穿插滚动练(二)1已知角的终边过点P(8m，6sin 30)，且cos ，则m的值为_答案解析r，cos ，m0，即m.2定义：|ab|a|b|sin ，其中为向量a与b的夹角，若|a|2，|b|5，ab6，则|ab|_.答案8解析由|a|2，|b|5，ab6，可得25cos 6cos .又0，所以sin .从而|ab|258.3(2014天津改编)设a，bR，则“ab”是“a|a|b|b|”的_条件答案充要解析当bba|a|b|b|；当b0时，显然有aba|a|b|b|；当b0时，ab有|a|b|，所以aba|a|b|b|.综上可知aba|a|b|b|.4已知函数f(x)，则f(2log23
2、)的值为_答案解析因为2log234，所以f(2log23)f(3log23)，而3log234，所以f(2log23)()().5已知函数f(x)3sin(x)(0)和g(x)3sin(2x)的图象的对称中心完全相同，若x0，则f(x)的取值范围是_答案，3解析由两三角函数图象的对称中心完全相同，可知两函数的周期相同，故2，所以f(x)3sin(2x)，那么x0，时，2x，所以sin(2x)1，故f(x)，36(2014南通模拟)在ABC中，E、F分别为AB、AC的中点P为EF上任一点，实数x，y满足xy0.设ABC，PBC，PCA，PAB的面积分别为S，S1，S2，S3，记1，2，3，则2
3、3取最大值时，2xy的值为_答案解析由题意知1，即S1S.所以S2S3SS1S，两边同除以S，得，即23，所以232，所以23，当且仅当23，此时点P位于EF的中点，延长AP交BC于D，则D为BC的中点，由xy0，得xy，()，所以x，y，所以2xy.7(2014安徽)不等式组表示的平面区域的面积为_答案4解析不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，由得A(8，2)由xy20得B(0,2)又|CD|2，故S阴影22224.8.如图所示，A，B，C是圆O上的三点，线段CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O外的点D，若mn，则mn的取值范围是_答案(1,0)解析依题意，由点D是圆O外一点，可设(1
4、)，则(1).又C，O，D三点共线，令(1)，则(1，1)，所以m，n.故mn(1,0)9(2014山东改编)已知x，y满足约束条件当目标函数zaxby(a0，b0)在该约束条件下取到最小值2时，a2b2的最小值为_答案4解析方法一线性约束条件所表示的可行域如图所示由解得所以zaxby在A(2,1)处取得最小值，故2ab2，a2b2a2(22a)2(a4)244.方法二画出满足约束条件的可行域知，当目标函数过直线xy10与2xy30的交点(2,1)时取得最小值，所以有2ab2.又因为a2b2是原点(0,0)到点(a，b)的距离的平方，故当为原点到直线2ab20的距离时最小，所以的最小值是2，所
5、以a2b2的最小值是4.10(2014福建改编)若函数ylogax(a0，且a1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是_(填序号)答案解析由题意得ylogax(a0，且a1)的图象过(3,1)点，可解得a3.图中，y3x()x，显然图象错误；图中，yx3，由幂函数图象可知正确；图中，y(x)3x3，显然与所画图象不符；图中，ylog3(x)的图象与ylog3x的图象关于y轴对称显然不符合11已知A，B，C三点的坐标分别是A(3,0)，B(0,3)，C(cos ，sin )，(，)，若1，则的值为_答案解析由(cos 3，sin )，(cos ，sin 3)，得(cos 3)cos sin (
6、sin 3)1，sin cos ，2sin cos ，.12(2014辽宁)对于c0，当非零实数a，b满足4a22abb2c0且使|2ab|最大时，的最小值为_答案1解析由题意知，c4a22abb2(2ab)26ab，(2ab)2c6ab.若|2ab|最大，则ab0.当a0，b0时，(2ab)2c6abc32abc3()2，(2ab)2c(2ab)2，(2ab)24c，|2ab|2，当且仅当b2a，即时取等号此时0.当a0，b1时，方程f(x)f(a)的实根个数为_答案3解析令g(x)f(x)f(a)，即g(x)x2a2，整理得：g(x)(xa)(ax2a2x2)显然g(a)0，令h(x)ax
7、2a2x2.h(0)20，h(x)在区间(，0)和(0，a)各有一个零点因此，g(x)有三个零点，即方程f(x)f(a)有三个实数解14(2014安徽)若直线l与曲线C满足下列两个条件：(1)直线l在点P(x0，y0)处与曲线C相切；(2)曲线C在点P附近位于直线l的两侧，则称直线l在点P处“切过”曲线C.下列命题正确的是_(写出所有正确命题的编号)直线l：y0在点P(0,0)处“切过”曲线C：yx3；直线l：x1在点P(1,0)处“切过”曲线C：y(x1)3；直线l：yx在点P(0,0)处“切过”曲线C：ysin x；直线l：yx在点P(0,0)处“切过”曲线C：ytan x；直线l：yx1
8、在点P(1,0)处“切过”曲线C：yln x.答案解析中由yx3得y3x2.又当x0时，切线斜率为0，故函数yx3在点(0,0)处的切线方程为y0.结合图象知正确中由y(x1)3得y3(x1)2.又当x1时，切线斜率为0，故函数y(x1)3在点(1,0)处的切线方程为y0，故不正确中由ysin x得ycos x.又当x0时，切线斜率为1，故函数ysin x在点(0,0)处的切线方程为yx.结合图象知正确中由ytan x得y.又当x0时，切线斜率为1，故函数ytan x在点(0,0)处的切线方程为yx.结合图象知正确中由yln x得y.又当x1时，切线斜率为1，故函数yln x在点(1,0)处的
9、切线方程为yx1，结合图象可知不正确15(2014山东)已知向量a(m，cos 2x)，b(sin 2x，n)，函数f(x)ab，且yf(x)的图象过点(，)和点(，2)(1)求m，n的值；(2)将yf(x)的图象向左平移(0)个单位后得到函数yg(x)的图象，若yg(x)图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求yg(x)的单调递增区间解(1)由题意知f(x)abmsin 2xncos 2x.因为yf(x)的图象过点(，)和(，2)，所以即解得(2)由(1)知f(x)sin 2xcos 2x2sin(2x)由题意知g(x)f(x)2sin(2x2)设yg(x)的图象上符合题意的最高点
10、为(x0,2)，由题意知x11，所以x00，即到点(0,3)的距离为1的最高点为(0,2)将其代入yg(x)得sin(2)1，因为0，所以，因此g(x)2sin(2x)2cos 2x.由2k2x2k，kZ得kxk，kZ，所以函数yg(x)的单调递增区间为k，k，kZ.16已知向量a(cos x，sin x)，b(cos x，cos x)，其中02.函数f(x)ab，其图象的一条对称轴为x.(1)求函数f(x)的表达式及单调递增区间；(2)在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，S为其面积，若f1，b1，SABC，求a的值解(1)f(x)abcos2xsin xcos xsin 2xsi
11、n.当x时，sin1，即k，kZ.02，1.f(x)sin.令2k2x2k，kZ，kxk，kZ，函数f(x)的单调递增区间为k，k，kZ.(2)fsin1，在ABC中，0A，A，A，A.由SABCbcsin A，b1，得c4.由余弦定理得a24212241cos 13，故a.17若函数yf(x)在xx0处取得极大值或极小值，则称x0为函数yf(x)的极值点已知a，b是实数，1和1是函数f(x)x3ax2bx的两个极值点(1)求a和b的值；(2)设函数g(x)的导函数g(x)f(x)2，求g(x)的极值点解(1)由题设得f(x)3x22axb，所以，解之得a0，b3.(2)由(1)知f(x)x3
12、3x.因为f(x)2(x1)2(x2)，所以g(x)0的根为x1x21，x32，于是函数g(x)的极值点只可能是1或2.当x2时，g(x)0；当2x0，故2是g(x)的极值点当2x1时，g(x)0，故1不是g(x)的极值点所以g(x)的极值点为2.18已知函数f(x)log4(4x1)kx (kR)是偶函数(1)求k的值；(2)设g(x)log4，若函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围解(1)由函数f(x)是偶函数可知，f(x)f(x)，所以log4(4x1)kxlog4(4x1)kx，所以log42kx，即x2kx对一切xR恒成立，所以k.(2)函数f(x)与g
13、(x)的图象有且只有一个公共点，即方程log4(4x1)xlog4有且只有一个实根，即方程2xa2xa有且只有一个实根令t2x0，则方程(a1)t2at10有且只有一个正根当a1时，则t，不合题意；当a1时，0，解得a或3.若a，则t2，不合题意；若a3，则t；若方程有一个正根与一个负根，即1.综上所述，实数a的取值范围是3(1，)19某厂生产某产品的年固定成本为250 万元，每生产x千件，需另投入成本为C(x)当年产量不足80 千件时，C(x)x210x(万元)；当年产量不小于80 千件时，C(x)51x1 450(万元)，每件商品售价为0.05 万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完
14、(1)写出年利润L(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？解(1)由题意可得L(x)即L(x)(2)当0x950.综上所述，当x100时，L(x)取得最大值1 000，即年产量为100 千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大20设函数f(x)ln x，g(x)f(x)f(x)(1)求函数g(x)的单调区间和最小值；(2)讨论g(x)与g的大小关系；(3)求实数a的取值范围，使得g(a)g(x)0成立解(1)由题意，得g(x)ln x，x0，所以g(x)，且x0，令g(x)0，得x1，当x(0,1)时，g(x)0，故(1，)是g(x)的单调增区间，因此，x1是g(x)的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点所以最小值为g(1)1.(2)由(1)知gln xx，设h(x)g(x)g2ln xx，则h(x)，且x0.当x1时，h(1)0，即g(x)g；当x(0,1)(1，)时，h(x)0，h(1)0，因此，h(x)在(0，)内单调递减，当0xh(1)0，即g(x)g，当x1时，h(x)h(1)0，即g(x)g.(3)由(1)知，g(x)的最小值为g(1)1，所以g(a)g(x)0成立g(a)1.则ln a1，即ln a1，所以0ae.故实数a的取值范围是(0，e)
