1、函数的值域与最值1掌握求值域或最值的基本方法，会求一些简单函数的值域或最值2建立函数思想，能应用函数观点(如应用函数的值域、最值)解决数学问题 知识梳理1函数的值域值域是函数值的取值范围，它是由定义域和对应法则所确定的，所以求值域时要注意定义域.2函数的最值最值最大值最小值条件设函数f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足(1)对于任意的xI，都有f(x)M；(2)存在x0I，使f(x0)M(1)对于任意的xI，都有f(x)M；(2)存在x0I，使f(x0)M结论M是函数yf(x)的最大值M是函数yf(x)的最小值1基本函数的值域(1)一次函数ykxb (k0)的值域为R；(2)二次函数yax
2、2bxc(a0)的值域：当a0时，值域为，)；当a0时，值域为(，；(3)反比例函数y(x0)的值域为yR，且y0；(4)指数函数yax (a0且a1)的值域为(0，)；(5)对数函数ylogax (a0且a1，x0)的值域为R；(6)正、余弦函数的值域为1,1，正切函数的值域为R.2若f(x)A在区间D上恒成立，则等价于在区间D上，f(x)minA；若不等式f(x)B在区间D上恒成立，则等价于在区间D上，f(x)maxB. 热身练习1函数y3x (1x3，且xZ)的值域为(D)A1,3 B3,9C1,0,1,2,3 D3,0,3,6,9 由1x3，且xZ，得x1,0,1,2,3，代入y3x，
3、得值域为3,0,3,6,92已知函数f(x)的定义域为R，M为常数若p：对xR，都有f(x)M；q：M是函数f(x)的最小值则p是q的(B)A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件 对xR，都有f(x)MM是函数f(x)的最小值；M是函数f(x)的最小值对xR，都有f(x)M.所以p是q的必要不充分条件3(2016全国卷)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y10lg x的定义域和值域相同的是(D)Ayx Bylg xCy2x Dy 函数y10lg x的定义域与值域均为(0，)函数yx的定义域与值域均为(，)函数ylg x的定义域为(0，)，值域为(，)函数y2x的
4、定义域为(，)，值域为(0，)函数y的定义域与值域均为(0，)故选D.4函数y的值域是(C)AR By|y1，yRCy|y2，yR D2 因为y2，又因为0，所以22，即y2.5(2018南阳月考)已知f(x)，则(C)Af(x)max，f(x)无最小值Bf(x)min1，f(x)无最大值Cf(x)max1，f(x)min1Df(x)max1，f(x)min0 f(x)的定义域为0,1，易知y与y在0,1上是增函数，所以函数f(x)在0,1上是增函数，所以f(x)maxf(1)1，f(x)minf(0)1，故选C. 求函数的值域或最值求下列函数的值域：(1)yx22x，x0,3；(2)y；(3
5、)f(x)2xlog3x，x1,3 (1)因为y(x1)21，x0,3，结合函数图象可知，所求函数的值域为3,1(2)因为y2，而0，所以所求函数的值域为yR|y2(3)由于f(x)为增函数，所以f(1)f(x)f(3)，所以函数的值域为2,9 求函数值域的常用方法：(1)配方法转化为二次函数在闭区间上的最值，与二次型函数有关的函数常用此法(2)分离常数法分式型函数注意用此法(3)利用函数的单调性；(4)利用基本不等式等1求下列函数的值域：(1)y；(2)yx. (1)y1，因为1x21，所以02，所以10且a1)的值域是4，)，则实数a的取值范围是_ 因为当x2时，yx64. f(x)的值域
6、为4，)，所以当x2，a1时，3logax3loga24，所以loga21，所以1a2；当0a1时，3logax2这段的值域是4，)的子集就行了2(经典真题)已知函数f(x)则ff(2)，f(x)的最小值是26. ff(2)f(4)46.当x1时，f(x)min0；当x1时，f(x)x626，当且仅当x，即x时，等号成立所以f(x)min26A在区间D上恒成立，则等价于在区间D上，f(x)minA；若不等式f(x)B在区间D上恒成立，则等价于在区间D上，f(x)max0，所以ax2x1可化为a.要使a对任意x(0,1恒成立，令f(x)，x(0,1，则只需要af(x)min.设t，因为x(0,1
7、，所以t1，则t2t(t)2，所以当t1时，(t2t)min0，即x1时，f(x)min0.所以a0，即实数a的取值范围为(，01函数值的集合叫做函数的值域，值域是由定义域和对应法则所确定的，因此，在研究函数的值域时，既要重视对应法则的作用，又要特别注意定义域对值域的制约作用2求值域的具体方法很多，如配方法、利用函数的单调性、不等式法等，但没有通用的方法和固定模式，要靠在学习过程中不断积累，抓住特点，掌握规律要记住各种基本函数的值域，总结什么结构特点的函数用什么样的方法求值域，以及使用各种方法的注意事项，并在解决求值域问题时注意选择最优的解法3函数的值域常常化归为函数的最值问题，要重视函数单调性在确定函数最值过程中的作用4恒成立问题常转化为最值问题一般地，若f(x)A在区间D上恒成立，则等价于在区间D上，f(x)minA；若不等式f(x)B在区间D上恒成立，则等价于在区间D上，f(x)maxB.
