1、 最新考纲解读 1理解反函数的定义，会求一些函数的反函数 2理解反函数存在的条件，掌握互为反函数的函数的图象间的关系 3掌握反函数的有关性质，并能灵活运用解题 高考考查命题趋势 反函数是高考的热点，关于反函数的考题，主要是认识反函数的定义，会求具有反函数的函数的反函数，会用互为反函数的两个函数间图象的对称关系解决一些问题本部分内容以客观题居多，解答题一般很少涉及 一、反函数的定义 设式子yf(x)表示y是x的函数，定义域为A，值域为C，从式子yf(x)中解出x，得到式子x(y)，如果对于y在C中的任何一个值，通过式子x(y)，x在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子x(y)就表示x是y的函数
2、，这样的函数，叫做函数yf(x)的反函数，记作xf1(y)，即x(y)f1(y)，一般对调xf1(y)中的字母x，y把它改写成yf1(x)二、反函数的性质填表原函数反函数原象与象的唯一互对性f(a)baf1(b)定义域与值域的互换性f(x)的定义域为A，值域为Cf1(x)的定义域为C，值域为A图象的对称性yf(x)的图象yf1(x)的图象反函数的单调性f(x)是单调函数f1(x)是单调函数且与f(x)单调性相同反函数的奇偶性奇函数的反函数是奇函数偶函数一般没有反函数 三、求反函数的步骤 1确定原函数的值域；2由yf(x)求出xf1(y)；3x，y位置互换得yf1(x)；4确定反函数定义域(即原
3、函数的值域)并注明.1.若函数yf(x)的定义域为A，它有反函数必须满足：A中的每一个x与其函数值的对应是“一一对应”的，不允许两个(或多个)x有同一个函数值，单调函数必存在反函数 2yf(x)和yf1(x)互为反函数，它们的图象关于直线yx对称 3反函数性质的应用(1)已知yf(x)，求f1(a)，可利用f(x)a从中求出x，便是f1(a)(2)f1f(x)x，x是f(x)定义域中的量；ff1(x)x，x是f(x)值域中的量(3)若点P(a，b)在yf(x)的图象上，又在 yf1(x)的图象上，则P(b，a)在yf(x)的图象上(4)证明一个函数yf(x)的图象关于yx成轴对称图形，只要证f
4、(x)f1(x)，证明两个函数yf(x)和yg(x)的图象关于直线yx对称，只要证g(x)f1(x).一、选择题 1若函数f(x)的图象经过点(0，1)，则函数f1(x3)的图象必经过点()A(1,0)B(1，3)C(3，1)D(4,0)解析f(x)图象过点(0，1)f1(x)图象过点(1,0)f1(x3)图象，过(4,0)点，故选D.答案D 2(2009年上海春季高考)函数y1(1x0)的反函数的图象是()解析1x0，y11,2，即其反函数定义域是1,2，值域为1,0 选项为C.答案C 3(2008年陕西卷)已知函数f(x)2x3，f1(x)是 f(x)的反函数，若mn16(m，nR)，则f
5、1(m)f1(n)的值为()A2 B1 C4 D10 解析特值法：令mn4，则f1(m)1，f1(m)f1(n)2.答案A答案A 二、填空题 5(2008年北京东城)已知函数f(x)log8x，它的反函数为f1(x)，则f1()_.解析log8x，x8 224，f1()4.答案4 例1(1)(2008年高考辽宁卷)函数 y的反函数是_ 解析分段解方程即可，注意原函数的值域是其反函数的定义域 答案f1(x)解析x0，yx20，x，即反函数为y(x0)答案B(3)y(exex)(x0)的反函数是_答案f1(x)ln(x)(x1)1本题易错点 忽略反函数定义域的标准 开偶次方时，正、负号的选取 2方
6、法与总结 由给定解析式求反函数反解，由y表示x；由原函数的值域确定反函数的定义域；交换x、y并注明定义域对于分段函数的反函数应分别求出各段函数的反函数后再合成答案C(2)求y(x1)的反函数 解此函数定义域为(，1 由x210得y0.值域为0，)，由y得x.所求反函数为y(x0)(3)求y的反函数 例2(1)(2008年北京海淀模拟)已知函数ylog2x的反函数是yf1(x)，那么函数yf1(x)1的图象大致是()解析ylog2x的反函数f1(x)2x，y2x1为y2x向上平移一个单位，B正确 答案B(2)(2008年辽宁师大附中)若函数yf(x)的反函数为yf1(x)，则函数yf(x1)与函
7、数yf1(x1)的图象()A关于直线yx对称 B关于直线yx1对称 C关于直线yx1对称 D关于直线y1对称 解析yf(x)与yf1(x)的图象关于直线yx对称而yf(x1)与yf1(x1)是yf(x)与yf1(x)的图象向右平移1个单位而得到 对称轴是yx1.答案B 1本题易错点 对反函数定义理解不清，误认为yf(x1)与yf1(x1)互为反函数 2方法与总结 原函数yf(x)与反函数yf1(x)的图象在同一坐标系中关于yx对称，函数yf(x)与函数xf1(y)是反函数，但其图象在同一坐标系中是同一个f(a)b f1(b)a.思考探究2 如果点(1,2)既在函数f(x)的图象上，又在函数f(x)的反函数f1(x)的图象上，求a、b的值 解由已知得(1,2)和(2,1)均在f(x)的图象上，方法与总结 这是一道与反函数有关的综合题解题时应注意以下三点：(1)求反函数时要注明反函数的定义域(由原函数的值域确定)；(2)利用均值不等式求最值时，注意等号成立的条件；思考探究3设f(x)()2(x0)(1)求f(x)的反函数f1(x)；(2)当x2时，不等式(x1)f1(x)a(a)恒成立，试求实数a的取值范围
