1、第六节对数与对数函数最新考纲考情分析核心素养1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.2.理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点.3.知道对数函数是一类重要的函数模型.4.了解指数函数yax与对数函数ylogax互为反函数(a0，且a1).对数函数中利用性质比较对数值大小，求对数型函数的定义域、值域、最值等仍是2021年高考考查的热点，题型多以选择题、填空题为主，属中档题，分值为5分.1.逻辑推理2.数学抽象3.数学运算4.直观想象知识梳理1对数的概念如果axN(a0且a1)，那么数x叫做以a
2、为底N的对数，记作xlogaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数2对数的性质与运算法则(1)对数的性质alogaNN；logaaNN(a0且a1)；零和负数没有对数(2)对数的运算法则(a0且a1，M0，N0)loga(MN)logaMlogaN；logalogaMlogaN；logaMnnlogaM(nR)(3)对数的重要公式换底公式：logbN(a，b均大于零且不等于1，N0)；logab(a，b均大于零且不等于1，N0)常用结论(1)指数式与对数式互化：axNxlogaN.(2)对数运算的一些结论：logambnlogab；logablogba1；logablogbclogcdlogad
3、.3对数函数及其性质(1)概念：函数ylogax(a0，且a1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，)(2)对数函数的图象与性质a10a1时，y0；当0x1时，y1时，y0；当0x0在(0，)上是增函数在(0，)上是减函数常用结论(1)底数的大小决定了图象相对位置的高低；不论是a1还是0a0且a1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，函数图象只在第一、四象限基础自测一、疑误辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若MN0，则loga(MN)logaMlogaN.()(2)logaxlogayloga(xy)()(3)函数ylog2x及ylog(3x)都是对
4、数函数()(4)对数函数ylogax(a0且a1)在(0，)上是增函数()(5)对数函数ylogax(a0且a1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，函数图象只在第一、四象限()答案：(1)(2)(3)(4)(5)二、走进教材2(必修1P73T3改编)已知a2，blog2，clog，则()AabcBacbCcbaDcab答案：D3(必修1P74A7改编)函数y的定义域是_答案：三、易错自纠4如果logxlogy0，那么()Ayx1Bxy1C1xyD1yx解析：选D由logxlogy0，得logxlogyy1.5函数y的定义域为_解析：要使函数有意义，须满足解得x1.答案：6若loga0且
5、a1)，则实数a的取值范围是_解析：当0a1时，logalogaa1，所以0a1时，loga1.答案：(1，)|题组突破|1.log2()A2B22log23C2D2log232解析：选B2log23，又log2log23，两者相加即为B2计算100_解析：原式(lg 22lg 52)10010lg 10lg 10221020.答案：203.lglg lg_解析：lg lg lg(5lg 22lg 7)3lg 2(lg 52lg 7)(lg 2lg 5).答案：4设2a5bm，且2，则m_解析：因为2a5bm0，所以alog2m，blog5m，所以logm2logm5logm102，所以m21
6、0，所以m(负值舍去)答案：名师点津对数运算的一般思路(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简；(2)将同底对数的和、差、倍合并；(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用【例1】(1)(2019届合肥质检)函数yln(2|x|)的大致图象为()(2)当0x时，4xlogax，则a的取值范围是()ABC(1，)D(，2)解析(1)令f(x)ln(2|x|)，易知函数f(x)的定义域为x|2x2，且f(x)ln(2|x|)f(x)，所以函数f(x)为偶函数，排除选项C、D；由对数函数的单调性及函数y2|x|的单调性知A正确(2)易知0a4，解得a
7、，a1时，是增函数；当0a1时，是减函数注意对数函数图象恒过定点(1，0)，且以y轴为渐近线(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解|跟踪训练|1函数f(x)loga|x|1(0a0时g(x)的图象，然后根据g(x)的图象关于y轴对称画出当x0时g(x)的图象，最后由函数g(x)的图象向上整体平移一个单位长度，即得f(x)的图象，结合图象知选A2已知函数f(x)若a，b，c互不相等，且f(a)f(b)f(c)，则abc的取值范围是()A(1，10)B(5，6)C(10，12)D(20，24)解析：选C作出f(x)的大致图象，不妨设abc，因为a，b，c互不
8、相等，且f(a)f(b)f(c)，由函数的图象可知，10c12，且|lg a|lg b|，因为ab，所以lg alg b，可得ab1，所以abcc(10，12)常见的考查对数函数的性质的命题角度有：(1)对数值大小的比较；(2)对数函数单调性的应用；(3)与对数函数有关的不等式问题命题角度一对数值大小的比较【例2】(2019年天津卷)已知alog52，blog0.50.2，c0.50.2，则a，b，c的大小关系为()AacbBabcCbcaDcab解析由题意，可知alog52log242，c0.50.2log242，ac，ac0，解得1x5.二次函数yx24x5的对称轴为x2.由复合函数单调性
9、可得，函数f(x)log(x24x5)的单调递增区间为(2，5)要使函数f(x)log(x24x5)在区间(3m2，m2)内单调递增，只需解得mf(a)，则实数a的取值范围是()A(1，0)(0，1)B(，1)(1，)C(1，0)(1，)D(，1)(0，1)解析由题意，得或解得a1或1a0.故选C答案C名师点津处理这类问题的方法是：一般模式都是给出一个含有参数而且与对数有关的函数，通过求导和单调性得到参数的取值范围，然后在参数中选定一个参数，得到一个与对数函数有关的不等式，最后对变量x相应地赋值证得结论|跟踪训练|3(2019年全国卷)已知alog20.2，b20.2，c0.20.3，则()A
10、abcBacbCcabDbca解析：选Balog20.2201，00.20.30.201，c0.20.3(0，1)，ac0且a1)满足对任意的x1，x2，当x1x2时，f(x2)f(x1)0，则实数a的取值范围为_解析：当x1x2时，f(x2)f(x1)0，即函数f(x)在区间上为减函数，设g(x)x2ax5，则解得1a2.答案：(1，2)【例】(2019届江西赣州模拟)已知函数f(x)|log3x|，实数m，n满足0mn，且f(m)f(n)，若f(x)在m2，n上的最大值为2，则_解析f(x)|log3x|，正实数m，n满足mn，且f(m)f(n)，0m1n，且log3mlog3n，mn1.
11、f(x)在区间m2，n上的最大值为2，函数f(x)在m2，1)上是减函数，在(1，n上是增函数，log3m22或log3n2.若log3m22，则m，此时n3，则log3n1，满足题意，那么39；若log3n2，则n9，此时m，则log3m24，不满足题意综合可得9.答案9名师点津由f(x)|log3x|，正实数m，n满足mn，且f(m)f(n)，得0m10且a1)的值域为R，则实数a的取值范围是_解析：函数f(x)loga(a0且a1)的值域为R，x4能取遍所有的正数，又当x0时，x424，当x0时，x4240(舍去)，要满足题意，需240，解得a4.故实数a的取值范围是(0，1)(1，4答案：(0，1)(1，4
