1、2022甲卷解析几何命题背景分析一试题呈现(2022全国甲卷). 设抛物线的焦点为F,点,过F的直线交C于M,N两点当直线MD垂直于x轴时,(1)求C的方程;(2)设直线与C的另一个交点分别为A,B,记直线的倾斜角分别为当取得最大值时,求直线AB的方程二命题背景分析“二次曲线中的蝴蝶定理”.结论11:设抛物线的弦过定点,过点作非水平线交于两点,若直线与轴交于定点,直线的斜率存在且非零,则.上述结论1就是2022年全国甲卷解析几何试题的命题背景,即所谓的“蝴蝶定理”!这个定理同样适用于椭圆与双曲线,下面我们通过例题予以展示.三. 更多实例例1已知椭圆的离心率为,半焦距为,且,经过椭圆的左焦点,斜
2、率为的直线与椭圆交于,两点,为坐标原点(1)求椭圆的标准方程(2)设,延长,分别与椭圆交于,两点,直线的斜率为,求证:为定值解析:(1)由题意,得解得,故椭圆的方程为(2)设,由已知,直线的方程为,即由消去并整理,得则,同理,为定值注:可以看到,椭圆中的蝴蝶构型在证明过程中会出现非对称韦达结构.习题1.(2018年重庆预赛)设椭圆的左、右顶点为, 过右焦点作非水平直线与椭圆交于两点, 记直线的斜率分别为, 试证: 为定值, 并求此定值(用的函数表示).证明:设,代入椭圆方程得,设 , 则,. 两式相除得, .由题意知, . 从而 . . 因为,所以 .四逆向思考:斜率之商为定值,是否恒过定点?
3、前面我们围绕抛物线与椭圆中的“蝴蝶定理”,着力在证明斜率之商为定值!那么倘若,已知斜率之积为定值,又会出现什么样的情形呢?此时我们主要注意,在二次曲线中,斜率乘积为定值的模型是很重要的一类,而斜率之商在一定条件下可以转化为斜率之积,于是我们可以看到,在一些问题中,斜率之商为定值是可以得到一类定点问题!下面,我通过例题予以分析.例2在平面直角坐标系中,已知圆,点,是圆上任意一点,线段的垂直平分线与半径相交于点,设点的轨迹为曲线。(1)求曲线的方程;(2)若,设过点的直线与曲线分别交于点,其中,求证:直线必过轴上的一定点。(其坐标与无关)解析:(1)曲线的方程为:。(2)点的坐标为直线方程为:,即
4、,直线方程为:,即, 分别与椭圆联立方程组,同时考虑到,解得:.当时,直线方程为:令,解得:. 此时必过点;当时,直线方程为:,与轴交点为.综上所述,直线必过轴上的一定点.注:依题,我们可以得到 五坎迪定理上述结果可推广到圆锥曲线中,具体形式见参考文献2.参考文献:1. 陈学忠.对一道斜率比为定值试题的拓展探究.J.中学数学研究.2020.02.2. 吴宏考.蝴蝶定理的妙用及变式推广.J.高中数学教与学.六练习题练习1如图,已知抛物线的焦点为过点的直线交抛物线于两点,直线分别与抛物线交于点(1)求的值;(2)记直线的斜率为,直线的斜率为,证明:为定值解析:(1)根据条件,设直线的方程为将其代入
5、,消去,整理得,所以(2)设,则设直线的方程为将其代入,消去,整理得所以同理可得,故由(1)得为定值练习2. 设抛物线的焦点为F,点,过F的直线交C于M,N两点当直线MD垂直于x轴时,(1)求C的方程;(2)设直线与C的另一个交点分别为A,B,记直线的倾斜角分别为当取得最大值时,求直线AB的方程解析:(1)抛物线的准线为,当与x轴垂直时,点M的横坐标为p,此时,所以,所以抛物线C的方程为.(2)设,直线,由可得,代入抛物线方程可得,所以,同理可得,所以又因为直线MN、AB的倾斜角分别为,所以,若要使最大,则,设,则,当且仅当即时,等号成立,所以当最大时,设直线,代入抛物线方程可得,所以,所以直线.