1、【成才之路】2015届高考数学二轮复习 专题5 第1讲 直线与圆素能训练（文、理）一、选择题1若直线l1：xay60与l2：(a2)x3y2a0平行，则l1与l2间的距离为()A.B.C.D.答案B解析由l1l2知3a(a2)且2a6(a2)，2a218，求得a1，l1：xy60，l2：xy0，两条平行直线l1与l2间的距离为d.故选B.2(2013山东潍坊模拟)若PQ是圆x2y29的弦，PQ的中点是(1,2)，则直线PQ的方程是()Ax2y30Bx2y50C2xy40D2xy0答案B解析结合圆的几何性质易知直线PQ过点A(1,2)，且和直线OA垂直，故其方程为y2(x1)，整理得x2y50.
2、3(文)C1：(x1)2y24与C2：(x1)2(y3)29相交弦所在直线为l，则l被O：x2y24截得弦长为()A.B4C.D.答案D解析由C1与C2的方程相减得l：2x3y20.圆心O(0,0)到l的距离d，O的半径R2，截得弦长为22.(理)(2014哈三中一模)直线xy0截圆x2y24所得劣弧所对圆心角为()A.B.C.D.答案D解析弦心距d1，半径r2，劣弧所对的圆心角为.4(2014湖南文，6)若圆C1：x2y21与圆C2：x2y26x8ym0外切，则m()A21B19C9D11答案C解析本题考查了两圆的位置关系由条件知C1：x2y21，C2：(x3)2(y4)225m，圆心与半径
3、分别为(0,0)，(3,4)，r11，r2，由两圆外切的性质知，51，m9.5(文)(2014哈三中二模)一动圆过点A(0,1)，圆心在抛物线yx2上，且恒与定直线l相切，则直线l的方程为()Ax1BxCyDy1答案D解析A(0,1)是抛物线x24y的焦点，又抛物线的准线为y1，动圆过点A，圆心C在抛物线上，由抛物线的定义知|CA|等于C到准线的距离，等于C的半径，C与定直线l：y1总相切(理)(2014河北衡水中学5月模拟)已知圆的方程x2y24，若抛物线过点A(0，1)、B(0,1)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是()A.1(y0)B.1(y0)C.1(x0)D.1(x0)答案
4、C解析如图，设圆的切线l为抛物线的准线，F为焦点，过A、B、O作l的垂线，垂足为C、D、E，由抛物线的定义知，|FA|FB|AC|BD|2|OE|4，由椭圆定义知F在以A、B为焦点的椭圆上，所以方程为1，x0时不合题意，故选C.6(2014福建理，6)直线l：ykx1与圆O：x2y21相交于A，B两点，则“k1”是“OAB的面积为”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分又不必要条件答案A解析圆心O(0,0)到直线l：kxy100的距离d，弦长为|AB|2，SOAB|AB|d，k1，因此当“k1”时，“SOAB”，故充分性成立“SOAB”时，k也有可能为1，必要性不成
5、立，故选A.二、填空题7(2013天津耀华中学月考)已知直线l过点P(3,4)且与点A(2,2)，B(4，2)等距离，则直线l的方程为_答案2x3y180或2xy20解析本题主要考查直线方程的求法，属中档题当直线斜率不存在时，则直线方程为x3，则A、B两点到x3的距离分别为d15，d21，不符要求故直线斜率存在，设为k，则直线方程可设为y4k(x3)，即kxy3k40，则由题意得，解得k或k2，故直线方程为2x3y180或2xy20.8(文)(2013天津耀华中学月考)在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2y24上有且只有四个点到直线12x5yc0的距离为1，则实数c的取值范围是_答案(13,1
6、3)解析本题考查了直线与圆的位置关系，利用数形结合可解决此题，属中档题要使圆x2y24上有且只有四个点到直线12x5yc0的距离为1，只需满足圆心到直线的距离小于1即可即1，解|c|13，13c0)的焦点在圆C1上(1)求抛物线C2的方程；(2)过点A(1,0)的直线l与抛物线C2交于B、C两点，又分别过B、C两点作抛物线C2的切线，当两条切线互相垂直时，求直线l的方程解析(1)易求得圆心到直线的距离为，所以半径r1.圆C1：x2y21.抛物线的焦点(0，)在圆x2y21上，得p2，所以x24y.(2)设所求直线的方程为yk(x1)，B(x1，y1)，C(x2，y2)将直线方程代入抛物线方程可
7、得x24kx4k0，x1x24k.因为抛物线y，所以y，所以两条切线的斜率分别为、，所以1，所以k1.故所求直线方程为xy10.(理)(2014石家庄市质检)已知动圆C过定点M(0,2)，且在x轴上截得弦长为4.设该动圆圆心的轨迹为曲线C.(1)求曲线C方程；(2)设点A为直线l：xy20上任意一点，过A作曲线C的切线，切点分别为P、Q，求APQ面积的最小值及此时点A的坐标解析(1)设动圆圆心坐标为C(x，y)，根据题意得，化简得x24y.(2)解法一：设直线PQ的方程为ykxb，由消去y得x24kx4b0.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则，且16k216b以点P为切点的切线的斜率为y
8、1x1，其切线方程为yy1x1(xx1)，即yx1xx.同理过点Q的切线的方程为yx2xx.两条切线的交点A(xA，yB)在直线xy20上，解得，即A(2k，b)则：2kb20，即b22k，代入16k216b16k23232k16(k1)2160，|PQ|x1x2|4，A(2k，b)到直线PQ的距离为d，SAPQ|PD|d4|k2b|4(k2b)4(k22k2)4(k1)21.当k1时，SAPQ最小，其最小值为4，此时点A的坐标为(2,0)解法二：设A(x0，y0)在直线xy20上，点P(x1，y1)，Q(x2，y2)在抛物线x24y上，则以点P为切点的切线的斜率为y1x1，其切线方程为yy1
9、x1(xx1)，即yx1xy1，同理以点Q为切点的方程为yx2xy2.设两条切线均过点A(x0，y0)，则点P，Q的坐标均满足方程y0xx0y，即直线PQ的方程为：yx0xy0，代入抛物线方程x24y消去y可得：x22x0x4y00|PQ|x1x2|A(x0，y0)到直线PQ的距离为d，SAPQ|PQ|d|x4y0|(x4y0)(x4x08)(x02)24当x02时，SAPQ最小，其最小值为4，此时点A的坐标为(2,0)10已知点A(2,0)，B(2,0)，直线PA与直线PB斜率之积为，记点P的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)设M、N是曲线C上任意两点，且|，是否存在以原点为圆心且与
10、MN总相切的圆？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由解析(1)设P(x，y)，则由直线PA与直线PB斜率之积为得，(x2)，整理得曲线C的方程为1(x2)(2)若|，则.设M(x1，y1)，N(x2，y2)若直线MN斜率不存在，则y2y1，N(x1，y1)由得1，又1.解得直线MN方程为x.原点O到直线MN的距离d.若直线MN斜率存在，设方程为ykxm.由得(4k23)x28kmx4m2120.x1x2，x1x2.(*)由得1，整理得(k21)x1x2km(x1x2)m20.代入(*)式解得7m212(k21)此时(4k23)x28kmx4m2120中0.此时原点O到直线MN的距离d.
11、故原点O到直线MN的距离恒为d.存在以原点为圆心且与MN总相切的圆，方程为x2y2.一、选择题11直线l与圆x2y22x4ya0(a3)相交于A、B两点，若弦AB的中点为(2,3)，则直线l的方程为()Axy50Bxy10Cxy50Dxy30答案A解析设圆x2y22x4ya0(a7或a或aC3a或a7Da7或a3答案C解析本题主要考查直线和圆的位置关系、补集思想及分析、理解、解决问题的能力两条平行线与圆都相交时，由得a，两条直线都和圆相离时，由得a7，所以两条直线和圆“相切”时a的取值范围3a或a7，故选C.二、填空题15(2013杭州质检)在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若s
12、in2Asin2Bsin2C，则直线axbyc0被圆x2y29所截得弦长为_答案2解析由正弦定理得a2b2c2，圆心到直线距离d，弦长l222.16(2013合肥质检)设直线mxy30与圆(x1)2(y2)24相交于A、B两点，且弦长为2，则m_.答案0解析圆的半径为2，弦长为2，弦心距为1，即得d1，解得m0.三、解答题17(文)(2013海口调研)已知圆C：x2y2r2(r0)经过点(1，)(1)求圆C的方程；(2)是否存在经过点(1,1)的直线l，它与圆C相交于A、B两个不同点，且满足关系(O为坐标原点)的点M也在圆C上，如果存在，求出直线l的方程；如果不存在，请说明理由解析(1)由圆C
13、：x2y2r2，再由点(1，)在圆C上，得r212()24，所以圆C的方程为x2y24.(2)假设直线l存在，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y1k(x1)，联立消去y得，(1k2)x22k(k1)xk22k30，由韦达定理得x1x22，x1x21，y1y2k2x1x2k(k1)(x1x2)(k1)23，因为点A(x1，y1)，B(x2，y2)在圆C上，因此，得xy4，xy4，由得，x0，y0，由于点M也在圆C上，则()2()24，整理得3x1x2y1y24，即x1x2y1y20，所以1(3)0，从而得，k22k10，即k1，因此，直线
14、l的方程为y1x1，即xy20.若直线l的斜率不存在，则A(1，)，B(1，)，M(，)()2()244，故点M不在圆上与题设矛盾，综上所知：k1，直线方程为xy20.(理)已知圆O：x2y22交x轴于A、B两点，曲线C是以AB为长轴，离心率为的椭圆，其左焦点为F.若P是圆O上一点，连接PF，过原点O作直线PF的垂线交直线x2于点Q.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若点P的坐标为(1,1)，求证：直线PQ与圆O相切；(3)试探究：当点P在圆O上运动时(不与A，B重合)，直线PQ与圆O是否保持相切的位置关系？若是，请证明；若不是，请说明理由解析(1)因为a，e，所以c1，则b1，即椭圆C的标准方程为y21.(2)因为P(1,1)，F(1,0)，所以kPF，kOQ2，所以直线OQ的方程为y2x.又Q在直线x2上，所以点Q(2,4)kPQ1，kOP1，kOPkPQ1，即OPPQ，故直线PQ与圆O相切(3)当点P在圆O上运动时，直线PQ与圆P保持相切的位置关系，设P(x0，y0)，(x0)，则y2x，kPF，kOQ，直线OQ的方程为yx，点Q(2，)，kPQ，又kOP.kOPkPQ1，即OPPQ(P不与A、B重合)，直线PQ始终与圆O相切版权所有：高考资源网()
