1、第八章 平面解析几何 第二节 直线的交点坐标与距离公式最新考纲考情索引核心素养1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两平行直线间的距离.2016全国卷，T42015广东卷，T41.直观想象2.数学运算1两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行对于两条不重合的直线 l1、l2，若其斜率分别为 k1，k2，则有 l1l2_当直线 l1、l2 不重合且斜率都不存在时，l1l2.(2)两条直线垂直如果两条直线 l1、l2 的斜率存在，设为 k1，k2，则有 l1l2_k1k2k1k21当其中一条
2、直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为 0 时，l1l2.2两条直线的交点的求法直线 l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20(A1，B1，C1，A2，B2，C2 为常数)，则 l1 与 l2 的交点坐标就是方程组A1xB1yC10，A2xB2yC20的解3三种距离公式P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点之间的距离|P1P2|_点 P0(x0，y0)到直线 l：AxByC0 的距离d_平行线 AxByC10 与AxByC20 间的距离d_（x2x1）2（y2y1）2|Ax0By0C|A2B2|C1C2|A2B21三种常见的直线系方程(1)与直线 AxByC0 平行的直线系方程是
3、 AxBym0(mR 且 mC)(2)与直线 AxByC0 垂直的直线系方程是 BxAyn0(nR)(3)过直线 l1：A1xB1yC10 与 l2：A2xB2yC20 的交点的直线系方程为 A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(R)，但不包括 l2.2在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在若两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率，要单独考虑3在运用两平行直线间的距离公式 d|C1C2|A2B2时，一定要注意将两方程中 x，y 的系数分别化为相同1概念思辨判断下列说法的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1k2l1l2.
4、()(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于1.()(3)已知直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，若直线l1l2，则A1A2B1B20.()(4)点P(x0，y0)到直线ykxb的距离为|kx0b|1k2.()(5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离()解析：(1)直线l1，l2可能重合(2)如果l1l2，若l1的斜率k10，则l2的斜率不存在答案：(1)(2)(3)(4)(5)2教材衍化(1)(人A必修2P114B组T1)与直线3x4y50关于x轴对称的直线的方程为()A3x4y50 B3x
5、4y50C3x4y50 D3x4y50(2)(人A必修2P101A组T10改编)已知P(2，m)，Q(m，4)，且直线PQ垂直于直线xy10，则m_解析：(1)设所求直线上任一点的坐标为(x，y)，关于x轴的对称点的坐标为(x，y)且对称点在已知的直线上，所以所求直线方程为3x4y50.故选B.(2)由题意知 m42m1，所以m42m，所以m1.答案：(1)B(2)13典题体验(1)(2016北京卷)圆(x1)2y22的圆心到直线yx3的距离为()A1 B2C.2D2 2(2)(2019郑州一模)如果直线ax2y3a0与直线3x(a1)ya7平行，则a_(3)(2019重庆调研二)直线l1：x
6、y60与l2：3x3y20的距离为_解析：(1)圆心坐标为(1，0)，所以圆心到直线yx3即xy30的距离为|103|12（1）2 22 2.(2)因为直线ax2y3a0与直线3x(a1)ya7平行，即直线ax2y3a0与直线3x(a1)y(a7)0平行，所以a3 2a13a（a7），解得a3.(3)直线l1可化为3x3y180，则l1l2，所以这两条直线间的距离d|182|32328 23.答案：(1)C(2)3(3)8 23考点1 两条直线的平行与垂直(讲练互动)典例体验一题多解已知直线l1：ax2y60和直线l2：x(a1)ya210.(1)当l1l2时，求a的值；(2)当l1l2时，求
7、a的值解：(1)法一 当a1时，l1：x2y60，l2：x0，l1不平行于l2；当a0时，l1：y3，l2：xy10，l1不平行于l2；当a1且a0时，两直线方程可化为l1：ya2x3，l2：y 11ax(a1)，由l1l2可得a2 11a，3（a1），解得a1.综上可知，a1.法二 由l1l2知A1B2A2B10，A1C2A2C10，即a（a1）120，a（a21）160 a2a20，a（a21）6a1.(2)法一 当a1时，l1：x2y60，l2：x0，l1与l2不垂直，故a1不符合；当a1时，l1：ya2x3，l2：y 11ax(a1)，由l1l2，得a2 11a1a23.法二 因为l1
8、l2，所以A1A2B1B20，即a2(a1)0，解得a23.1由一般式判定两条直线平行、垂直的依据若直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，则(1)l1l2A1B2A2B10，且A1C2A2C10(或B1C2B2C10)(2)l1l2A1A2B1B20.2当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件变式训练1(2019揭阳一模)若直线mx2ym0与直线3mx(m1)y70平行，则m的值为()A7 B0或7 C0 D4解析：因为直线mx2ym0与直线3mx(m1
9、)y70平行，所以m(m1)3m2，所以m0或7，经检验，都符合题意故选B.答案：B2(2019池州月考)已知b0，直线(b21)xay20与直线xb2y10互相垂直，则ab的最小值等于_解析：由题意知a0.因为直线(b21)xay20与直线xb2y10互相垂直，所以b21a 1b21，abb21bb1b(b0)，所以ab2，当且仅当b1时取等号，所以ab的最小值等于2.答案：2考点2 两条直线的交点与距离问题(自主演练)1一题多解已知P是直线2x3y60上一点，O为坐标原点，且点A的坐标为(1，1)，若|PO|PA|，则P点的坐标为_解析：法一 设P(a，b)，则2a3b60，a2b2（a1
10、）2（b1）2，解得a3，b4.所以P点的坐标为(3，4)法二 线段OA的中垂线方程为xy10，则2x3y60，xy10.解得x3，y4，则P点的坐标为(3，4)答案：(3，4)2一题多解(2019湖南东部十校联考)经过两条直线2x3y10和x3y40的交点，并且垂直于直线3x4y70的直线方程为_解析：法一 由方程组2x3y10，x3y40，解得x53，y79，即交点为53，79.因为所求直线与直线3x4y70垂直，所以所求直线的斜率为k43.由点斜式得所求直线方程为y7943x53，即4x3y90.法二 由垂直关系可设所求直线方程为4x3ym0，由方程组2x3y10，x3y40可解得交点为
11、53，79，代入4x3ym0得m9，故所求直线方程为4x3y90.法三 由题意可设所求直线的方程为(2x3y1)(x3y4)0，即(2)x(33)y140，又因为所求直线与直线3x4y70垂直，所以3(2)4(33)0，所以2，代入式得所求直线方程为4x3y90.答案：4x3y903一题多解已知直线ykx2k1与直线y 12x2的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是_解析：法一 由方程组ykx2k1，y12x2，解得x24k2k1，y6k12k1.(若2k10，即k12，则两直线平行)所以交点坐标为24k2k1，6k12k1.又因为交点位于第一象限，所以24k2k10，6k12k10，解得1
12、6k12.法二 如图，已知直线y 12 x2与x轴、y轴分别交于点A(4，0)，B(0，2)而直线方程ykx2k1可变形为y1k(x2)，表示这是一条过定点P(2，1)，斜率为k的动直线因为两直线的交点在第一象限，所以两直线的交点必在线段AB上(不包括端点)，所以动直线的斜率k需满足kPAkkPB.因为kPA16，kPB12.所以16k12.答案：16，121求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程；也可利用过交点的直线系方程，再求参数2利用距离公式应注意：(1)点P(x0，y0)到直线xa的距离d|x0a|，到直线yb的距离d|y0b|.(2)两平
13、行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数化为相等考点3 对称问题(多维探究)角度 点关于点对称【例1】过点P(0，1)作直线l使它被直线l1：2xy80和l2：x3y100截得的线段被点P平分，求直线l的方程解：设l1与l的交点为A(a，82a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(a，2a6)在l2上，将其代入l2的方程，得a3(2a6)100，解得a4，则A(4，0)，又P(0，1)，所以由两点式可得直线l的方程为x4y40.角度 点关于线对称【例2】求点A(1，1)关于直线y2x1的对称点A的坐标解：设点A(1，1)关于直线y2x1的对称点为A(a，b)，则AA的中点为1a2，1b2
14、，所以1b2 21a2 1，b1a121，解得a35，b95，即点A(1，1)关于直线y2x1的对称点为A35，95.角度 线关于线对称【例3】一题多解光线沿直线l1：x2y50射入，遇直线l：3x2y70后反射，求反射光线所在的直线方程解：法一 由x2y50，3x2y70，得x1，y2.所以反射点M的坐标为(1，2)又取直线x2y50上一点P(5，0)，设P点关于直线l的对称点P(x0，y0)，由PPl可知，kPP23 y0 x05.而PP的中点Q的坐标为x052，y02，又点Q在l上，所以3x0522y0270.由 y0 x0523，32（x05）y070.得x01713，y03213.根
15、据直线的两点式方程可得所求反射光线所在直线的方程为29x2y330.法二 设直线x2y50上任意一点P(x0，y0)关于直线l的对称点为P(x，y)，则y0yx0 x23，又PP的中点Qxx02，yy02在l上，所以3xx022yy0270，由y0yx0 x23，3xx02（yy0）70.可得P点的横、纵坐标分别为x05x12y4213，y012x5y2813，代入方程x2y50中，化简得29x2y330，所以所求反射光线所在的直线方程为29x2y330.常见对称问题的求解方法1中心对称(1)点P(x，y)关于Q(a，b)的对称点P(x，y)满足x2ax，y2by.(2)直线关于点的对称可转化
16、为点关于点的对称问题来解决2轴对称(1)点A(a，b)关于直线AxByC0(B0)的对称点A(m，n)，则有nbmaAB 1，Aam2Bbn2 C0.(2)直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决变式训练1(2019河北五校联考)直线axy3a10恒过定点M，则直线2x3y60关于M点对称的直线方程为()A2x3y120 B2x3y120C2x3y120 D2x3y120解析：由axy3a10，可得a(x3)(y1)0，令x30，y10，可得x3，y1，所以M(3，1)，M不在直线2x3y60上，设直线2x3y60关于M点对称的直线方程为2x3yc0(c6)，则|636|49|63
17、c|49，解得c12或c6(舍去)，所以所求的直线方程为2x3y120，故选D.答案：D2(2019揭阳一模)若直线l1：x3y20与直线l2：mxyb0关于x轴对称，则mb()A.13B1C13D1解析：直线l1：x3y20关于x轴对称的直线为x3y20.由题意知m0.因为mxyb0，即x ym bm0，且直线l1与l2关于x轴对称，所以有1m3，bm2，解得m13，b23，则mb1323 1.答案：B核心素养欣赏 数学运算妙用直线系求直线方程一、平行直线系由于两直线平行，它们的斜率相等或它们的斜率都不存在，因此两直线平行时，它们的一次项系数与常数项有必然的联系【例1】求与直线3x4y10平
18、行且过点(1，2)的直线l的方程解：由题意，设所求直线方程为3x4yc0(c1)，又因为直线过点(1，2)，所以3142c0，解得c11.因此，所求直线方程为3x4y110.二、垂直直线系由于直线A1xB1yC10与A2xB2yC20垂直的充要条件为A1A2B1B20.因此，当两直线垂直时，它们的一次项系数有必然的联系可以考虑用直线系方程求解【例2】求经过点A(2，1)，且与直线2xy100垂直的直线l的方程解：因为所求直线与直线2xy100垂直，所以设该直线方程为x2yC10，又直线过点A(2，1)，所以有221C10，解得C10，即所求直线方程为x2y0.三、过直线交点的直线系【例3】已知
19、直线l经过直线l1：2xy50与l2：x2y0的交点(1)若点A(5，0)到l的距离为3，求l的方程；(2)求点A(5，0)到l的距离的最大值解：(1)易知l不可能为l2，可设经过两已知直线交点的直线系方程为(2xy5)(x2y)0，即(2)x(12)y50.因为点A(5，0)到l的距离为3，所以|1055|（2）2（12）23，则22520，所以2或12，所以l的方程为x2或4x3y50.(2)由2xy50，x2y0，解得交点P(2，1)，如图，过P作任一直线l，设d为点A到l的距离，则dPA(当lPA时等号成立)，所以dmaxPA（52）2（01）210，即点A(5，0)到l的距离的最大值为 10.
