1、第三讲直线与圆锥曲线的综合问题1（2013安徽）已知直线ya交抛物线yx2于A，B两点若该抛物线上存在点C，使得ACB为直角，则a的取值范围为_解析：本题考查直线与抛物线的位置关系，圆的性质，考查考生的转化与化归能力法一：设直线ya与y轴交于点M，抛物线yx2上要存在C点，只要以|AB|为直径的圆与抛物线yx2有交点即可，也就是使|AM|MO|，即a(a0)，所以a1.法二：易知a0，设C(m，m2)，由已知可令A(，a)，B(，a)，则(m，m2a)，(m，m2a)，因为，所以m2am42am2a20，可得(m2a)(m21a)0.因为由题易知m2a，所以m2a10，故a1，)答案：1，)2
2、（2013浙江）设F为抛物线C：y24x的焦点，过点P(1,0)的直线l交抛物线C于A，B两点，点Q为线段AB的中点若|FQ|2，则直线l的斜率等于_解析：本题考查抛物线方程、性质，直线与抛物线的位置关系，考查数形结合思想及运算求解能力法一：注意到|FQ|2，正好是抛物线通径的一半，所以点Q为通径的一个端点，其坐标为(1，2)，这时A，B，Q三点重合，直线l的斜率为1.法二：令直线l的方程为xty1，由得y24ty40，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y24t，y1y24，x1x24t22，所以xQ2t21，yQ2t，|FQ|2(xQ1)2y4，代入解得，t1或t0(舍去)，即直线
3、l的斜率为1.答案：13（2012辽宁）已知P，Q为抛物线x22y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为()A1B3C4 D8解析：因为P，Q两点的横坐标分别为4，2，且P，Q两点都在抛物线yx2上，所以P(4,8)，Q(2,2)因为yx，所以kPA4，kQA2，则直线PA，QA的方程联立得，即，可得A点坐标为(1，4)答案：C4（2012北京）在直角坐标系xOy中，直线l过抛物线y24x的焦点F，且与该抛物线相交于A，B两点，其中点A在x轴上方若直线l的倾斜角为60，则OAF的面积为_解析：直线l的方程为y(x1)，即xy1，代入抛
4、物线方程得y2y40，解得yA2(yB0，舍去)，故OAF的面积为12.答案：5(2009宁夏、海南)已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1,0)，直线l与抛物线C相交于A、B两点若AB的中点为(2,2)，则直线l的方程为_解析：抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1,0)，1，抛物线方程为y24x.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y24，y4x1y4x2得yy4(x1x2)，(y1y2)(y1y2)4(x1x2)，1，直线l的斜率为1，且过点(2,2)，直线方程为y2x2，xy0. 答案：xy062014北京卷 已知椭圆C：x22y24.(1)求椭圆C的离心率；(2)设O为原
5、点，若点A在直线y2上，点B在椭圆C上，且OAOB，求线段AB长度的最小值解：(1)由题意，椭圆C的标准方程为1.所以a24，b22，从而c2a2b22.因此a2，c.故椭圆C的离心率e.(2)设点A，B的坐标分别为(t，2)，(x0，y0)，其中x00.因为OAOB，所以0，即tx02y00，解得t.又x2y4，所以|AB|2(x0t)2(y02)2(y02)2xy4x44(0x4)因为4(0x4)，当x4时等号成立，所以|AB|28.故线段AB长度的最小值为2.72014广东卷 已知椭圆C：1(ab0)的一个焦点为(，0)，离心率为.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若动点P(x0，y0)为
6、椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程8 (2009辽宁，12分)已知，椭圆C经过点A(1，)，两个焦点为(1,0)，(1,0)(1)求椭圆C的方程；(2)E，F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值解：(1)由题意，c1，可设椭圆方程为1.因为A在椭圆上，所以1，解得b23，b2(舍去)所以椭圆方程为1.(2)设直线AE方程为yk(x1)，代入1，得(34k2)x24k(32k)x4(k)2120.设E(xE，yE)，F(xF，yF)因为点A(1，)在椭圆上，所以xE，yEkxEk.又直线AF的斜率与
7、AE的斜率互为相反数，在上式中以k代k，可得xF，yFkxFk.所以直线EF的斜率kEF.即直线EF的斜率为定值，其值为.备选9（2012福建，13分）如图，椭圆E：1(ab0)的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e.过F1的直线交椭圆于A、B两点，且ABF2的周长为8.(1)求椭圆E的方程；(2)设动直线l：ykxm与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x4相交于点Q.试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由解：法一：(1)因为|AB|AF2|BF2|8，即|AF1|F1B|AF2|BF2|8，又|AF1|AF2|BF1|B
8、F2|2a，所以4a8，a2.又因为e，即，所以c1，所以b.故椭圆E的方程是1.(2)由得(4k23)x28kmx4m2120.因为动直线l与椭圆E有且只有一个公共点P(x0，y0)，所以m0且0，即64k2m24(4k23)(4m212)0，化简得4k2m230.(*)此时x0，y0kx0m，所以P(，)由得Q(4,4km)假设平面内存在定点M满足条件，由图形对称性知，点M必在x轴上设M(x1,0)，则0对满足(*)式的m，k恒成立因为(x1，)，(4x1,4km)，由0，得4x1x30，整理，得(4x14)x4x130.(*)由于(*)式对满足(*)式的m，k恒成立，所以解得x11.故存
9、在定点M(1,0)，使得以PQ为直径的圆恒过点M.法二：(1)同法一(2)由得(4k23)x28kmx4m2120.因为动直线l与椭圆E有且只有一个公共点P(x0，y0)，所以m0且0，即64k2m24(4k23)(4m212)0，化简得4k2m230.(*)此时x0，y0kx0m，所以P(，)由得Q(4,4km)假设平面内存在定点M满足条件，由图形对称性知，点M必在x轴上取k0，m，此时P(0，)，Q(4，)，以PQ为直径的圆为(x2)2(y)24，交x轴于点M1(1,0)，M2(3,0)；取k，m2，此时P(1，)，Q(4,0)，以PQ为直径的圆为(x)2(y)2，交x轴于点M3(1,0)，M4(4,0)所以若符合条件的点M存在，则M的坐标必为(1,0)以下证明M(1,0)就是满足条件的点：因为M的坐标为(1,0)，所以(1，)，(3,4km)，从而330，故恒有，即存在定点M(1,0)，使得以PQ为直径的圆恒过点M.
