1、第五章 数 列 第4节 数列求和考纲了然于胸1熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式2掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法3能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用相关知识解决相应的问题要点梳理1求数列的前 n 项和的方法(1)公式法等差数列的前 n 项和公式Snna1an2na1nn12d.等比数列的前 n 项和公式()当 q1 时，Sn_；()当 q1 时，Sna11qn1qa1anq1q.(2)分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解na1(3)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消_尾若干项(4)倒序相加法把数列分别正着写和
2、倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广剩下首(5)错位相减法主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广(6)并项求和法一个数列的前 n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和形如 an(1)nf(n)类型，可采用两项合并求解例如，Sn10029929829722212(10099)(9897)(21)5 050.2.常见的裂项公式(1)1nn11n 1n1；(2)1nnk1k(1n 1nk)；(3)12n12n112(12n112n1)；(4)1nn1n2121nn11n1n2；(5)1n nk1k(nk n)(6)设等差数列a
3、n的公差为 d，则1anan11d(1an 1an1)小题查验1若数列an的通项公式为 an2n2n1，则数列an的前 n 项和 Sn 为()A2nn21 B2n1n21C2n1n22 D2nn22解析 Sn(222232n)135(2n1)212n12 n12n122n12n2.答案 C2(2014新课标高考全国卷)设首项为 1，公比为23的等比数列an的前 n 项和为 Sn，则()ASn2an1 BSn3an2CSn43anDSn32an解析 可以直接利用等比数列的求和公式求解，也可以先求出通项和前 n 项和，再建立关系法一：在等比数列an中，Sna1anq1q 1an2312332an.
4、法二：在等比数列an中，a11，q23，an1(23)n1(23)n1.Sn1123n12331(23)n3123(23)n132an.答案 D3已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，a55，S515，则数列1anan1的前 100 项和为()A.100101 B.99101C.99100 D.101100解析 设等差数列an的首项为 a1，公差为 d.a55，S515，a14d5，5a15512d15，a11，d1，ana1(n1)dn.1anan11nn11n 1n1，数列1anan1的前 100 项和为 1121213 1100 11011 1101100101.答案 A4若 Sn12
5、34(1)n1n，则 S50_.解析 S5012344950(1)2525.答案 255设数列an的通项公式为 an22n1，令 bnnan，则数列bn的前 n 项和 Sn 为_.解析 由 bnnann22n1 知Sn12223325n22n1，从而 22Sn123225327n22n1，得(122)Sn2232522n1n22n1，即 Sn19(3n1)22n12答案 19(3n1)22n12考点一 分组转化求和(重点保分型考点师生共研)方法链接【例 1】(2016温州市调研)已知an是递增的等差数列，a12，a22a48.(1)求数列an的通项公式；(2)若 bnan2an，求数列bn的前
6、 n 项和 Sn.解(1)设等差数列的公差为 d，d0.由题意得，(2d)223d8，d2d0(d3)(d2)0，得 d2.故 ana1(n1)d2(n1)22n，得 an2n.Snb1b2bn(222)(424)(2n22n)(2462n)(222422n)22nn2414n14n(n1)4n143.【名师说“法”】(1)分组转化求和的通法数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差数列或等比数列或可求数列的前n项和的数列求和(2)anbncn 或 anbn n为奇数，cn n为偶数，数列bn，cn是等比数列或等差数列，采用分组求和法求an的前 n 项和(3)若
7、数列有周期性，先求出一个周期内的和，再转化其它数列(常数列)求和跟踪训练(2016长春市调研)已知等比数列an的各项均为正数，且a24，a3a424.(1)求数列an的通项公式；(2)设 bnlog2an，求数列anbn的前 n 项和 Tn.解(1)设等比数列的公比为 q，有a1q4a1q2a1q324，解得 a12，q2，所以 an2n；(2)由(1)知 bnlog22nn，有 anbn2nn，从而 Tn(2222n)(12n)2n1nn122.考点二 裂项相消法求和(高频型考点全面发掘)考情聚焦把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和裂项相消法求和是历年高考
8、的重点，命题角度凸显灵活多变，在解题中要善于利用裂项相消的基本思想，变换数列 an 的通项公式，达到求解目的归纳起来常见的命题角度有：(1)形如 an1nnk型；(2)形如 an1nk n 型；(3)形如 ann1n2n22型角度一 形如 an1nnk型1(2016温州模拟)数列an的前 n 项和为 Sn，且 an 是 Sn和 1 的等差中项，等差数列bn满足 b1a1，b4S3.(1)求数列an，bn的通项公式；(2)设 cn1bnbn1，数列cn的前 n 项和为 Tn，证明：13Tn12.(1)解：an 是 Sn 和 1 的等差中项，Sn2an1.当 n1 时，a1S12a11，a11；当
9、 n2 时，anSnSn1(2an1)(2an11)2an2an1，an2an1，即 anan12，数列an是以 a11 为首项，2 为公比的等比数列，an2n1，Sn2n1.设bn的公差为 d，b1a11，b413d7，d2，bn1(n1)22n1.(2)证明：cn1bnbn112n12n11212n112n1，Tn12113131512n112n112112n1 n2n1，nN*，Tn12112n1 12.TnTn1n2n1 n12n112n12n10，数列Tn是一个递增数列，TnT113.综上所述，13Tn12.角度二 形如 an1nk n 型2已知 f(x)41x2，数列an的前 n
10、项和为 Sn，点Pnan，1an1 在曲线 yf(x)上(nN*)，且 a11，an0.(1)证明：数列 1a2n为等差数列并求数列an的通项公式；(2)求证：Sn12(4n11)，nN*.解析(1)1an1f(an)4 1a2n，且 an0，1an14 1a2n.1a2n1 1a2n4(nN*)数列1a2n 是等差数列，首项 1a211，公差 d4.1a2n14(n1)a2n14n3.an0，an14n3(nN*)(2)证明：an14n322 4n324n3 4n14n1 4n32，Sna1a2an12(51)(95)(4n1 4n3)12(4n11)角度三 形如 ann1n2n22型3(2
11、013江西高考)正项数列an的前 n 项和 Sn 满足：S2n(n2n1)Sn(n2n)0.(1)求数列an的通项公式 an；(2)令 bnn1n22a2n，数列bn的前 n 项和为 Tn.证明：对于任意的 nN*，都有 Tn0，Snn2n.于是 a1S12，当 n2 时，anSnSn1n2n(n1)2(n1)2n.综上，数列an的通项公式为 an2n.(2)证明：由于 an2n，故 bnn1n22a2n n14n2n22 1161n21n22.Tn 1161 132 122 142 132 1521n121n121n21n22 1161 1221n121n22 1161 122 564.通关
12、锦囊利用裂项相消法求和的注意事项(1)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项；(2)将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等如：若an是等差数列，则1anan11d1an 1an1，1anan2 12d1an 1an2.题组集训1(2016江南十校联考)已知函数 f(x)xa 的图象过点(4,2)，令 an1fn1fn，nN*.记数列an的前 n 项和为 Sn，则 S 2 014()A.2 0131 B.2 0141C.2 0151 D.2 0151解析 选 C 由 f(4)2 可得 4a2，解得 a12，则 f(x)x12.
13、an1fn1fn1n1 n n1 n，S 2 014a1a2a3a 2 014(2 1)(3 2)(4 3)(2 014 2 013)(2 015 2 014)2 0151.答案 C2(2016哈尔滨三模)已知数列an的各项均为正数，前 n项和为 Sn，且 Snanan12，nN*.(1)求证：数列an是等差数列；(2)设 bn 12Sn，Tnb1b2bn，求 Tn.(1)证明：2Sna2nan.当 n1 时，2a1a21a1，a10，a11.当 n2 时，2Sn1a2n1an1.得，2ana2na2n1anan1，(anan1)(anan1)(anan1)0.an0，anan11，d1.an
14、1(n1)1n.(2)解：bn 12Sn1anan1 1an1an11n 1n1，Tnb1b2b3(1112)(1213)(1n 1n1)1 1n1 nn1.考点三 错位相减法求和(重点型考点师生共研)【例 2】(2016武汉调研)已知正项数列an，其前 n 项和Sn 满足 6Sna2n3an2，且 a1，a2，a6 是等比数列bn的前三项(1)求数列an与bn的通项公式；(2)记 Tna1bna2bn1anb1，nN*，证明：3Tn12bn1an1(nN*)解(1)6Sna2n3an2，6a1a213a12，解得 a11 或 a12.又 6Sn1a2n13an12(n2)，由，得 6an(a
15、2na2n1)3(anan1)，即(anan1)(anan13)0.anan10，anan13(n2)当 a12 时，a25，a617，此时 a1，a2，a6 不成等比数列，a12；当 a11 时，a24，a616，此时 a1，a2，a6 成等比数列，a11.an3n2，bn4n1.(2)由(1)得Tn14n144n2(3n5)41(3n2)40，4Tn14n44n174n2(3n2)41.由，得3Tn4n3(4n14n241)(3n2)4n1214n114(3n2)24n(3n1)12bn1an11，3Tn12bn1an1(nN*)【名师说“法”】(1)一般地，如果数列an是等差数列，bn是
16、等比数列，求数列anbn的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列bn的公比，然后作差求解(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“SnqSn”的表达式跟踪训练(2016南昌二模)等差数列an中，公差 d0，已知数列 ak1，ak2，ak3，akn，是等比数列，其中 k11，k27，k325.(1)求数列 ak1，ak2，ak3，akn，的公比；(2)求数列nkn的前 n 项和 Sn.解(1)由题意得 a2k2ak1ak3，即 a27a1a25，(a16d)2a1(a124d)，所以 36d212a1d，即 3d2a1d.因
17、为公差 d0，所以 a13d，所以 an(n2)d，所以等比数列 ak1，ak2，ak3，akn，的公比 qa7a19d3d3.(2)由 akn(kn2)d3d3n1，得 kn3n2.则 Sn(131232333n3n)2(123n)，记 Tn131232333n3n，则 3Tn132233334n3n1，相减得2Tn332333nn3n1，即 Tn2n13n134，所以 Sn2n13n134n(n1)规范答题 7 分项数奇偶性的数列的通项与求和典例(本小题满分 12 分)等比数列an中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且 a1，a2，a3 中的任何两个数不在下表的同一列
18、.第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818(1)求数列an的通项公式；(2)若数列bn满足：bnan(1)nln an，求数列bn的前 n项和 Sn.审题视角 题目条件：等比数列an的前三项是表中的数字，新数列bn是由 an 计算出来的解题目标：()从表中选出可构成等比数列的三个数，则可得 an.()化简 bn，求其和关系转化：()从不同行且不同列中各选一个数组成等比数列，即满足 a22a1a3.()因 n 的奇偶性不同，(1)nln an 的符号不同，故分 n 的奇偶性后，分组转化，an为等比数列，ln an 为等差数列满分展示解(1)当 a13 时，不合题意；当 a12
19、 时，当且仅当 a26，a318 时，符合题意；当 a110 时，不合题意因此 a12，a26，a318.(3 分)所以公比 q3.故 an23n1.(6 分)(2)因为 bnan(1)nln an23n1(1)nln(23n1)23n1(1)nln 2(n1)ln 323n1(1)n(ln 2ln 3)(1)nnln 3，(8 分)所以 Sn2(133n1)111(1)n(ln 2ln 3)123(1)nnln 3.所以当 n 为偶数时，(10 分)Sn213n13 n2ln 33nn2ln 31；当 n 为奇数时，Sn213n13(ln 2ln 3)(n12 n)ln 33nn12 ln
20、3ln 21.综上所述，Sn3nn2ln 31，n为偶数，3nn12 ln 3ln 21，n为奇数.(12 分)提醒：(1)从表中选数字组成等比数列，就是试验法，先确定 a2，再看是否满足 a22a1a3.(2)当an为等比数列，且 an0 时，则 ln an 为等差数列(3)对于通项中含有(1)n 的符号变化的要分 n 的奇偶性求和即时突破(2014山东高考)已知等差数列an的公差为 2，前 n 项和为 Sn，且 S1，S2，S4 成等比数列(1)求数列an的通项公式；(2)令 bn(1)n1 4nanan1，求数列bn的前 n 项和 Tn.解(1)因为 S1a1，S22a1212 22a1
21、2，S44a1432 24a112，由题意得(2a12)2a1(4a112)，解得 a11，所以 an2n1.(2)由题意可知，bn(1)n1 4nanan1(1)n14n2n12n1(1)n1(12n112n1)当 n 为偶数时，Tn(113)(1315)(12n312n1)(12n112n1)112n1 2n2n1.当 n 为奇数时，Tn(113)(1315)(12n312n1)(12n112n1)112n12n22n1.所以 Tn2n22n1，n为奇数，2n2n1，n为偶数.(或 Tn2n11n12n1)课堂小结【方法与技巧】非等差、等比数列的一般数列求和，主要有两种思想：(1)转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相消来完成；(2)不能转化为等差或等比的特殊数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和【失误与防范】1直接应用公式求和时，要注意公式的应用范围，如当等比数列公比为参数(字母)时，应对其公比是否为1进行讨论2在应用错位相减法时，注意观察未合并项的正负号3在应用裂项相消法时，要注意消项的规律具有对称性，即前剩多少项则后剩多少项课时活页作业(三十)点击图标进入 谢谢观看！
