1、大同市2022-2023年度高二期中测试题（卷）数 学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的1已知平面和平面的法向量分别为，则（ ）ABC与相交但不垂直D以上都不对2椭圆和具有（ ）A相同的离心率B相同的焦点C相同的顶点D相同的长、短轴3直线与圆相切，则的值是（）A或12B2或C或D2或124已知点，若过点的直线与线段AB相交，则直线的斜率的取值范围是（）ABC或D5在空间四边形OABC中，点在OA上，且，为BC中点，则（）ABCD6设抛物线上的三个点，到该抛物线的焦点的距离分别为，若，的最大值为3，则的值为（）AB2C3D7设和为双曲线的
2、两个焦点，若点，是等腰直角三角形的三个顶点，则双曲线的渐近线方程是（）ABCD8鳖臑是指四个面都是直角三角形的三棱锥如图，在鳖臑中，平面，D，E分别是棱AB，PC的中点，点是线段DE的中点，则点到直线AC的距离是（）ABCD二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9设，圆与圆的位置关系不可能是（）A内切B相交C外切D外离10若方程所表示的曲线为，则下面四个命题错误的是（）A若为椭圆，则B若为双曲线，则或C曲线可能是圆D若为椭圆，且长轴在轴上，则11若实数x，y满足，则（）A的最大值为B的最小值为C的
3、最大值为D的最小值为12已知是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为，且，则（）A的周长为12BC点到轴的距离为D三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13直线，的斜率，是关于的方程的两根，若，则_14已知，则等于_15已知双曲线被直线截得的弦AB，弦的中点为，则直线AB的斜率为_16如图，在梯形ABCD中，将沿对角线BD折起，设折起后点的位置为，并且平面平面BCD则下面四个命题中正确的是_（把正确命题的序号都填上）；三棱锥的体积为；平面平面四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）已知，为平面内的一个动点，且满足（1）求点的轨迹方程；（2）若直
4、线为，求直线被曲线截得的弦的长度18（12分）如图，在正方体中，为的中点（1）求证：平面ACE；（2）求直线AD与平面ACE所成角的正弦值19（12分）已知点，椭圆的离心率为，是椭圆的右焦点，直线AF的斜率为2，O为坐标原点（1）求E的方程；（2）设过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点M、N，且，求的值20（12分）如图，在三棱锥中，侧面PAC是等边三角形，（1）证明：平面平面ABC；（2）若AC=2AB，则在棱PC上是否存在动点，使得平面MAB与平面ABC所成二面角的大小为4521（12分）已知抛物线上的一点到它的焦点的距离为（1）求的值；（2）过点作抛物线的切线，切点分别为P，Q，求证：
5、直线PQ过定点22（12分）已知双曲线的左、右焦点分别为，离心率为，且过点（1）求双曲线的方程；（2）过的两条相互垂直的直线分别交双曲线于点A，B和点C，D，M、N分别为AB、CD的中点，连接MN，过坐标原点作MN的垂线，垂足为，问：是否存在定点，使得为定值？若存在，求定点的坐标；若不存在，请说明理由大同市2022-2023年度高二期中测试题（数学）参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的1B2A3D4D5B6C7C8B二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得
6、2分，有选错的得0分9CD10AD11CD12BCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13-21415116四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）解：（1）由题意可设点的坐标为，由及两点间的距离公式可得，整理得（5分）（2）圆心到直线的距离，所以弦的长度（10分）18（12分）解：（1）证明：连接BD交AC于点，连接EF，则，平面，平面，平面ACE（6分）（2）以D为原点，、所在的直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则，所以，设为平面ACE的法向量，所以即令，则，所以，所以，所以直线AD与平面ACE所
7、成角的正弦值为（12分）19（12分）解：（1）由离心率，得，直线AF的斜率为，解得，椭圆的方程为（4分）（2）答案设直线，则整理得，、是不同的两点，判别式，得，整理得，解得或（舍去），（12分）20（12分）解：（1）证明：取AC的中点，连接PO，BO，因为为等边三角形，所以，在中，有，又因为，所以，所以，即，又因为，所以平面ABC，又因为平面PAC，所以平面平面ABC（6分）（2）不妨设，在中，所以，在底面ABC内作于点，则OD，OC，OP两两垂直，以点为原点，OD所在的直线为轴，OC所在的直线为轴，OP所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：则，所以，设，则，设平面MAB的法向量为
8、，所以，令，可得，所以，易知平面ABC的一个法向量为，所以，整理可得，即，解得或（舍去）所以，所以当时，二面角的大小为45（12分）21（12分）解：（1）抛物线上的点到焦点的距离等于它到准线的距离，（2）证明：由题意得，过点的抛物线的切线的斜率存在，故可设切线方程为，代入得，直线与拋物线相切，得，即，代入并化简得，解得，设直线NP，NQ的斜率分别为，则，当时，直线PQ的方程为，整理得，即直线PQ过定点当时，直线PQ的方程为，过点综上可得，直线PQ过定点（12分）22（12分）解：（1）由题可知，所以双曲线的方程是（4分）（2）答案存在定点，使得为定值由题意可知，若直线AB和CD其中一条没有斜率，则点的坐标为，直线MN的方程为当直线AB和CD的斜率都存在时，因为点，所以设直线AB的方程为，则直线CD的方程为，设，联立得，所以，故，设，同理可得，故，所以，所以直线MN的方程为，化简得，可知直线MN过定点又，所以点的运动轨迹是以点为圆心，为直径的圆，所以存在定点，使得为定值（12分）
