1、北京市丰台区2021届高三数学下学期3月综合练习（一模）试题（一）（含解析）本试卷满分共150分 考试时间120分钟注意事项： 1. 答题前，考生务必先将答题卡上的学校、年级、班级、姓名、准考证号用黑色字迹签字笔填写清楚，并认真核对条形码上的准考证号、姓名，在答题卡的“条形码粘贴区”贴好条形码。 2. 本次考试所有答题均在答题卡上完成。选择题必须使用2B铅笔以正确填涂方式将各小题对应选项涂黑，如需改动，用橡皮擦除干净后再选涂其它选项。非选择题必须使用标准黑色字迹签字笔书写，要求字体工整、字迹清楚。3. 请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试卷、草稿纸上答题无
2、效。4. 请保持答题卡卡面清洁，不要装订、不要折叠、不要破损。第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合，则（A）（B）（C）（D）（2）在复平面内，复数，则对应的点位于（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限（3）已知双曲线的离心率是，则（A）（B）（C）（D）（4）在平面直角坐标系中，角以为始边，且.把角的终边绕端点逆时针方向旋转弧度，这时终边对应的角是，则（A）（B）（C）（D）（5）若直线是圆的一条对称轴，则的值为（A）（B）（C）（D）（6）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥
3、中最长的棱长为（A）2（B）（C）（D）4（7）为抛物线上一点，点到抛物线准线和对称轴的距离分别为10和6，则（A）2（B）4（C）或（D）或（8）大气压强，它的单位是“帕斯卡”（Pa，1Pa=1N/m2），大气压强（Pa）随海拔高度（m）的变化规律是（m-1）， 是海平面大气压强已知在某高山两处测得的大气压强分别为，那么两处的海拔高度的差约为（参考数据：）（A）550m（B）1818m（C）5500m（D）8732m（9）已知非零向量共面，那么“存在实数，使得成立”是“”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（10）已知函数若存在实数，使得
4、关于的方程有三个不同的根，则实数的取值范围是（A）（B）（C）（D）第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。（11）函数的定义域为_（12）在的展开式中，常数项为_（用数字作答）（13）在中，则_（14）设等比数列满足，则的最大值为_（15）如图，从长、宽、高分别为的长方体中截去部分几何体后，所得几何体为三棱锥下列四个结论中，所有正确结论的序号是_三棱锥的体积为；三棱锥的每个面都是锐角三角形；三棱锥中，二面角不会是直二面角；三棱锥中，三条侧棱与底面所成的角分别记为，则.三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（16）（本小题13分
5、）已知函数.（）当时，求的值；（）当函数图象的两条相邻对称轴之间的距离是时， . 从中任选一个，补充到上面空格处并作答.求在区间上的最小值；求的单调递增区间；若，求的取值范围.注：如果选择多个问题分别解答，按第一个解答计分.（17）（本小题14分）如图，四棱锥中，底面是菱形，是棱上的点，是中点，且底面，（）求证：；（）若，求二面角的余弦值（18）（本小题14分）某电影制片厂从2011年至2020年生产的科教影片、动画影片、纪录影片的时长（单位：分钟）如下图所示.（）从2011年至2020年中任选一年，求此年动画影片时长大于纪录影片时长的概率；（）从2011年至2020年中任选两年，设为选出的两
6、年中动画影片时长大于纪录影片时长的年数，求的分布列和数学期望；（）将2011年至2020年生产的科教影片、动画影片、纪录影片时长的方差分别记为，试比较的大小.（只需写出结论）（19）（本小题15分）已知椭圆长轴的两个端点分别为，离心率为.（）求椭圆的方程；（）为椭圆上异于的动点，直线分别交直线于两点，连接并延长交椭圆于点. （）求证：直线的斜率之积为定值；（）判断三点是否共线，并说明理由.（20）（本小题15分）已知函数（）当时，求曲线在点处的切线方程；（）若函数存在三个零点，分别记为.（）求的取值范围；（）证明：（21）（本小题14分）已知数列，现将数列的项分成个数相同的两组，第一组为，满足
7、；第二组为，满足，记（）若数列，写出数列的一种分组结果，并求出此时的值；（）若数列，证明：；（其中表示中较大的数）（）证明：的值与数列的分组方式无关.丰台区2021年高三年级第二学期综合练习（一） 数 学 2021.03本试卷满分共150分 考试时间120分钟第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合，则（A）（B）（C）（D）解析：画数轴，选D.（2）在复平面内，复数，则对应的点位于（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限解析：，对应点，选A.（3）已知双曲线的离心率是，则（A）（B
8、）（C）（D）解析：，选B.（4）在平面直角坐标系中，角以为始边，且.把角的终边绕端点逆时针方向旋转弧度，这时终边对应的角是，则（A）（B）（C）（D）解析：，选A.（5）若直线是圆的一条对称轴，则的值为（A）（B）（C）（D）解析：圆心在直线上，即，解得.选B.（6）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥中最长的棱长为（A）2（B）（C）（D）4解析：右后提点，最长的棱长为体对角线，选C.（7）为抛物线上一点，点到抛物线准线和对称轴的距离分别为10和6，则（A）2（B）4（C）或（D）或解析：其中一个P点坐标为，即，解得或，选D.（8）大气压强，它的单位是“帕斯卡”（Pa，1Pa=1N/m2），
9、大气压强（Pa）随海拔高度（m）的变化规律是（m-1）， 是海平面大气压强已知在某高山两处测得的大气压强分别为，那么两处的海拔高度的差约为（参考数据：）（A）550m（B）1818m（C）5500m（D）8732m解析：，故，选C.（9）已知非零向量共面，那么“存在实数，使得成立”是“”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件解析：前后都是与共线，选C.（10）已知函数若存在实数，使得关于的方程有三个不同的根，则实数的取值范围是（A）（B）（C）（D）解析：特值排除即可.当时，符合题意，排除C、D；当时，符合题意，排除A.选B.第二部分（非选择
10、题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。（11）函数的定义域为_解析：联立，解得，故函数的定义域为.（12）在的展开式中，常数项为_（用数字作答）解析：.（13）在中，则_解析：由正弦定理，即，解得.（14）设等比数列满足，则的最大值为_解析：，解得，列出前几项32，16，8，4，2，1，故的最大值为.（15）如图，从长、宽、高分别为的长方体中截去部分几何体后，所得几何体为三棱锥下列四个结论中，所有正确结论的序号是_三棱锥的体积为；三棱锥的每个面都是锐角三角形；三棱锥中，二面角不会是直二面角；三棱锥中，三条侧棱与底面所成的角分别记为，则.解析：对于，正确；对于，三棱锥的每个面
11、三边长都是、，正确；对于，举出反例即可.以F为坐标原点建系，经计算，平面的法向量可取,平民的法向量可取,当，化简得，随便代一组符合题意的解即可，如，错误.对于，由，平面的法向量可取，同理可推出，当且仅当时取等.正确填.三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（16）（本小题13分）已知函数.（）当时，求的值；（）当函数图象的两条相邻对称轴之间的距离是时， . 从中任选一个，补充到上面空格处并作答.求在区间上的最小值；求的单调递增区间；若，求的取值范围.注：如果选择多个问题分别解答，按第一个解答计分.解：（）当时，. （）.因为函数图象的两条相邻对称轴之间的距离是，
12、所以，解得. 所以. 选：因为，所以.当，即时，在区间上有最小值为. 选：令，解得，所以函数的单调递增区间为.选：因为，所以.所以.解得.（17）（本小题14分）如图，四棱锥中，底面是菱形，是棱上的点，是中点，且底面，（）求证：；（）若，求二面角的余弦值（）证明：在菱形中，为等边三角形因为为的中点， 所以因为/，所以 因为底面，平面，所以 因为，平面， 所以平面 因为是棱上的点，所以平面所以 （）解： 因为底面，建立如图所示空间直角坐标系， 设，则因为，所以由，得. 设是平面的法向量，由，得令，则，则 又因为平面的法向量为， 所以. 由题知，二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为 （18）（本
13、小题14分）某电影制片厂从2011年至2020年生产的科教影片、动画影片、纪录影片的时长（单位：分钟）如下图所示.（）从2011年至2020年中任选一年，求此年动画影片时长大于纪录影片时长的概率；（）从2011年至2020年中任选两年，设为选出的两年中动画影片时长大于纪录影片时长的年数，求的分布列和数学期望；（）将2011年至2020年生产的科教影片、动画影片、纪录影片时长的方差分别记为，试比较的大小.（只需写出结论）解：（）从2011年至2020年中任选一年，动画影片时长大于纪录影片时长的年份分别是2011年，2015年，2017年，2018年，2019年和2020年，共6年.记从2011年
14、至2020年中任选一年，此年动画影片时长大于纪录影片时长为事件，则. （）的所有可能取值为0,1,2.；.所以的分布列为：012数学期望. （）. （看图，科教影片时长的波动最大，方差最大;再将动画影片、纪录影片时长从小到大排列：动画影片：150，180，200，240，260，290，320，350，380，430纪录影片：100，130，150，190，210，240，270，300，330，380纪录影片的每个数都比动画影片小50，波动一样，故方差相同）小强数学（19）（本小题15分）已知椭圆长轴的两个端点分别为，离心率为.（）求椭圆的方程；（）为椭圆上异于的动点，直线分别交直线于两点，
15、连接并延长交椭圆于点. （）求证：直线的斜率之积为定值；（）判断三点是否共线，并说明理由.常规类型：定值问题+三点共线问题解：（）由题意，所以.所以椭圆C的方程为. （）（）证明：设，因为在椭圆上，所以.因为直线的斜率为 ，直线的斜率为，所以直线的方程为.所以点的坐标为.所以直线的斜率为 .所以直线的斜率之积为. （）三点共线.设直线斜率为，易得.由（）可知直线斜率为，所以直线的方程为.联立可得.解得点的纵坐标为，所以点的坐标为.所以，直线的斜率为，直线的斜率为.因为直线的斜率等于直线的斜率，所以三点共线. （20）（本小题15分）已知函数（）当时，求曲线在点处的切线方程；（）若函数存在三个零
16、点，分别记为.（）求的取值范围；（）证明：极值点偏移，暂时北京卷考的概率很小解：（）当时，得，因为， 所以曲线在点处的切线方程为，即4分（）因为，所以令，得，随的变化如下：+-+单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以的极大值为，极小值为 （）若函数存在三个零点，分别记为则， 所以 当时，此时，故存在三个零点，所以若函数存在三个零点，的取值范围是 （）证明：因为是函数的零点， 所以.因为，所以.因为，所以又因为，且在区间上单调递增，所以，即 （另：一元三次方程的韦达定理，得，则要证，即证，即，又在上单调递增，则，故，即得证.）小强数学（21）（本小题14分）已知数列，现将数列的项分成个数相同的两组，第一组为，满足；第二组为，满足，记（）若数列，写出数列的一种分组结果，并求出此时的值；（）若数列，证明：；（其中表示中较大的数）（）证明：的值与数列的分组方式无关.解：第一问，送分问，读题就会做；第二问注意大于等于个数；第三问，每一组都是大-小，这样可以调节成两个新数列的前项和的差，即后项和-前项和.（）可将数列分成：；. 此时 （）因为 ，所以，所以.因为共项，所以.所以（）不妨将数列重新排序得到 数列，满足.因为 ，所以， 所以.因为共项，所以恰为中某一项 同理恰为中某一项（其中表示中较小的数）.因为,所以.所以的值与数列的分组方式无关.
