1、第15练导数与单调性内容精要利用导数研究函数的单调性是必考内容，多以综合题中某一问的形式考查，其出题内容也多种多样，最根本的还是定义中提到的单调性主要是由函数的导函数在某个区间上的符号来确定题型一利用导数求函数的单调区间例1函数yx2ln x的单调递减区间为()A(1,1 B(0,1C1，) D(0，)破题切入点求出函数的导函数f(x)，根据定义解不等式f(x)0即可，求解时注意函数的定义域答案B解析根据函数的导数小于0的解集就是函数的单调减区间求解由题意知，函数的定义域为(0，)，又由yx0，解得0x1，所以函数的单调递减区间为(0,1题型二已知函数在某区间上的单调性求参数的值或范围例2已知
2、函数f(x)x2ax3在(0,1)上为减函数，函数g(x)x2aln x在(1,2)上为增函数，则a的值等于()A1 B2 C0 D.破题切入点函数f(x)在(0,1)上为减函数，g(x)在(1,2)上为增函数，利用导函数f(x)0在0,1上恒成立，g(x)0在1,2上恒成立解出两个a的取值范围，求出交集即可答案B解析函数f(x)x2ax3在(0,1)上为减函数，1，得a2.又g(x)2x，依题意g(x)0在x(1,2)上恒成立，得2x2a在x(1,2)上恒成立，有a2，a2.题型三与函数导数、单调性有关的图象问题例3已知函数yxf(x)的图象如图所示(其中f(x)是函数f(x)的导函数)，下
3、面四个图象中，yf(x)的图象可能是()破题切入点先由yxf(x)的图象找出f(x)的符号，再根据f(x)的符号找出f(x)的大致图象答案B解析由函数yxf(x)的图象知，x0，f(x)为增函数；1x0时，f(x)0，f(x)为减函数；0x1时，f(x)1时，f(x)0，f(x)为增函数故B选项的图象符合总结提高(1)利用导数判断函数单调性的一般步骤：确定函数的定义域求导函数f(x)若求单调区间或证明单调性，只需在函数f(x)的定义域内解或证明不等式f(x)0或f(x)0；若已知函数f(x)的单调性则转化为f(x)0或f(x)0在单调区间上恒成立问题来求解，一般是利用函数与方程思想，将字母分离
4、出来(2)利用导数解决函数单调性应注意的问题：单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区间，首先要求函数的定义域，因为函数求导之后，自变量的取值范围可能会发生变化求可导函数的单调区间即为解不等式，若已知函数单调性求参数范围，转化为恒成立问题，注意验证所得参数范围的端点值1若函数h(x)2x在(1，)上是增函数，则实数k的取值范围是()A2，) B(2，)C(，2 D(，2)答案A解析由条件得h(x)20在(1，)上恒成立，即k2x2在(1，)上恒成立，所以k2，)2已知f(x)x2sin(x)，f(x)为f(x)的导函数，则f(x)的图象是()答案A解析f(x)x2sin(x)x2co
5、s x，f(x)xsin x.易知该函数为奇函数，所以排除B、D.当x时，f()sin f(x)恒成立，且常数a，b满足ab，则下列不等式一定成立的是()Aaf(b)bf(a) Baf(a)bf(b)Caf(a)bf(b) Daf(b)f(x)，得xf(x)f(x)0，即F(x)0，所以F(x)在R上为递增函数因为ab，所以af(a)bf(b)4(2014课标全国)若函数f(x)kxln x在区间(1，)单调递增，则k的取值范围是()A(，2 B(，1C2，) D1，)答案D解析由于f(x)k，f(x)kxln x在区间(1，)单调递增f(x)k0在(1，)上恒成立由于k，而00时，有0的解集
6、是()A(2,0)(2，) B(2,0)(0,2)C(，2)(2，) D(，2)(0,2)答案D解析x0时0，(x)为减函数，又(2)0，当且仅当0x0，此时x2f(x)0.又f(x)为奇函数，h(x)x2f(x)也为奇函数故x2f(x)0的解集为(0,2)(，2)6函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)是它的导函数，且f(x)f() Bf(1)f() D.f()f()答案D解析f(x)f(x)tan xf(x)cos xf(x)sin x，构造函数g(x)，则g(x)，根据已知f(x)cos x0，所以g(x)在(0，)上单调递增，所以g()g()，即，所以f()0时，f(x)0，所以函数
7、f(x)的单调递增区间是(0，)8已知函数f(x)mx2ln x2x在定义域内是增函数，则实数m的取值范围为_答案1，)解析f(x)mx20对一切x0恒成立，m2，令g(x)2，则当1时，函数g(x)取最大值1，故m1.9设f(x)x3x22ax.若f(x)在(，)上存在单调递增区间，则a的取值范围为_答案(，)解析由已知得f(x)x2x2a(x)22a.当x，)时，f(x)的最大值为f()2a.令2a0，得a.所以当a时，f(x)在(，)上存在单调递增区间10已知aR，函数f(x)(x2ax)ex(xR，e为自然对数的底数)(1)当a2时，求函数f(x)的单调递增区间；(2)函数f(x)是否
8、为R上的单调函数？若是，求出a的取值范围；若不是，请说明理由解(1)当a2时，f(x)(x22x)ex，f(x)(2x2)ex(x22x)ex(x22)ex.令f(x)0，即(x22)ex0.ex0，x220，解得x0，x2(a2)xa0对xR都成立(a2)24a0，即a240，这是不可能的故函数f(x)不可能在R上单调递减若函数f(x)在R上单调递增，则f(x)0对xR都成立，即x2(a2)xaex0对xR都成立，ex0，x2(a2)xa0对xR都成立而(a2)24aa240，故函数f(x)不可能在R上单调递增综上可知，函数f(x)不可能是R上的单调函数11已知函数f(x)(aR)，g(x)
9、.(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)若函数f(x)的图象与函数g(x)的图象在区间(0，e2上有公共点，求实数a的取值范围解(1)函数f(x)的定义域为(0，)，f(x).令f(x)0，得xe1a，当x(0，e1a)时，f(x)0，f(x)是增函数；当x(e1a，)时，f(x)0，得xe2a；令F(x)e2a，故函数F(x)在区间(0，e2a上是增函数，在区间e2a，)上是减函数当e2a0时，函数F(x)在区间(0，e2a上是增函数，在区间e2a，e2上是减函数，F(x)maxF(e2a)ea2.又F(e1a)0，F(e2)0，由图象，易知当0xe1a时，F(x)0；当e1a0，此时函数
10、f(x)的图象与函数g(x)的图象在区间(0，e2上有1个公共点当e2ae2，即a0时，F(x)在区间(0，e2上是增函数，F(x)maxF(e2).若F(x)maxF(e2)0，即1a0时，函数f(x)的图象与函数g(x)的图象在区间(0，e2上只有1个公共点；若F(x)maxF(e2)0，即a1时，函数f(x)的图象与函数g(x)的图象在区间(0，e2上没有公共点综上，满足条件的实数a的取值范围是1，)12(2014大纲全国)函数f(x)ax33x23x(a0)(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)在区间(1,2)是增函数，求a的取值范围解(1)f(x)3ax26x3，f(x)0的判别式36(1a)若a1，则f(x)0，且f(x)0当且仅当a1，x1，故此时f(x)在R上是增函数由于a0，故当a1时，f(x)0有两个根x1，x2.若0a0，故f(x)分别在(，x2)，(x1，)是增函数；当x(x2，x1)时，f(x)0，故f(x)在(x2，x1)是减函数；若a0，则当x(，x1)或x(x2，)时，f(x)0，故f(x)在(x1，x2)是增函数(2)当a0，x0时，f(x)3ax26x30，故当a0时，f(x)在区间(1,2)是增函数当a0时，f(x)在区间(1,2)是增函数当且仅当f(1)0且f(2)0，解得a0.综上，a的取值范围是，0)(0，)
