1、第二章 函数、导数及其应用 第三节 函数的奇偶性与周期性最新考纲考情索引核心素养1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义2.会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性.2018全国卷，T111.逻辑推理2.数学运算1函数的奇偶性奇偶性定 义图象特点偶函数如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有_，那么函数 f(x)是偶函数关于_对称奇函数如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有_，那么函数 f(x)是奇函数关于_对称f(x)f(x)f(x)f(x)y轴原点2.函数的周期性(1)周期函数：对于函数 yf(x)，如果存在
2、一个非零常数 T，使得当 x 取定义域 内的任何 值时，都有_，那么就称函数 yf(x)为周期函数，称 T为这个函数的周期(2)最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中_的正数，那么这个最小正数就叫做 f(x)的_正周期f(xT)f(x)存在一个最小最小1(1)如果一个奇函数 f(x)在原点处有定义，即 f(0)有意义，那么一定有 f(0)0.(2)如果函数 f(x)是偶函数，那么 f(x)f(|x|)2奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性3函数周期性常用结论对 f(x)定义域内任一自变量的值 x：(1)若 f(xa)f(x)，则 T2a(
3、a0)(2)若 f(xa)1f（x），则 T2a(a0)(3)若 f(xa)1f（x），则 T2a(a0)4对称性的三个常用结论(1)若函数 yf(xa)是偶函数，则函数 yf(x)的图象关于直线 xa 对称(2)若对于 R 上的任意 x 都有 f(2ax)f(x)或 f(x)f(2ax)，则 yf(x)的图象关于直线 xa 对称(3)若函数 yf(xb)是奇函数，则函数 yf(x)关于点(b，0)中心对称1概念思辨判断下列说法的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数 yx2 在 x(0，)时是偶函数()(2)若函数 f(x)为奇函数，则一定有 f(0)0.()(3)若 T 是函数的一个
4、周期，则 nT(nZ，n0)也是函数的周期()(4)若函数 yf(xb)是奇函数，则函数 yf(x)的图象关于点(b，0)中心对称()解析：(1)由于偶函数的定义域关于原点对称，故 yx2 在(0，)上不是偶函数，(1)错(2)由奇函数定义可知，若 f(x)为奇函数，其在 x0处有意义时才满足 f(0)0，(2)错(3)由周期函数的定义，(3)正确(4)由于 yf(xb)的图象关于(0，0)对称，根据图象平移变换，知 yf(x)的图象关于(b，0)对称正确答案：(1)(2)(3)(4)2教材衍化(1)(人 A 必修 1P35 例 5 改编)下列函数中为偶函数的是()Ayx2sin xByx2c
5、os xCy|ln x|Dy2x(2)(人 A 必修 4P46A 组 T10 改编)f(x)是定义在 R 上的 周 期 为 2 的 函 数，当 x 1，1)时，f(x)4x22，1x0，x，0 x1，则 f32 _解析：(1)A 选项为奇函数，B 选项为偶函数，C 选项定义域为(0，)，不具有奇偶性，D 选项既不是奇函数，也不是偶函数(2)因为 f(x)的周期为 2，所以 f32 f12，又因为当1x0 时，f(x)4x22，所以 f32 f12 412221.答案：(1)B(2)13典题体验(1)(2019玉溪模拟)下列函数中，既是偶函数，又在(0，1)上单调递增的函数是()Ay|log3x
6、|Byx3Cye|x|Dycos|x|(2)(2017全国卷)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x(，0)时，f(x)2x3x2，则 f(2)_(3)(2019揭阳模拟)已知函数 f(x)是周期为 2 的奇函数，当 x0，1)时，f(x)lg(x1)，则 f 2 0165lg 18_解析：(1)对于 A 选项，函数定义域是(0，)，故是非奇非偶函数显然 B 项中，yx3 为奇函数，不正确对于 C 选项，函数的定义域是 R，是偶函数，且当 x(0，)时，函数是增函数，故在(0，1)上单调递增(2)因为 x(，0)时，f(x)2x3x2，且 f(x)在 R上为奇函数所以 f(2)f(
7、2)2(2)3(2)212.(3)由函数 f(x)是周期为 2 的奇函数，得 f 2 0165f65 f 45 f 45 lg 95lg 59.故 f 2 0165lg 18lg 59lg 18lg 101.答案：(1)C(2)12(3)1考点 1 函数的奇偶性(讲练互动)典例体验1(2018全国卷)已知函数 f(x)ln(1x2x)1，f(a)4，则 f(a)_解析：因为 f(x)f(x)ln(1x2x)1ln(1x2x)1ln(1x2x2)22，所以 f(a)f(a)2，所以 f(a)2.答案：22判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)3x2 x23；(2)f(x)lg（1x2）|x2|2；
8、(3)f(x)x2x，x0，x2x，x0.解：(1)由3x20，x230，得 x23，解得 x 3，即函数 f(x)的定义域为 3，3，从而 f(x)3x2 x230.因此 f(x)f(x)且 f(x)f(x)，所以函数 f(x)既是奇函数又是偶函数(2)由1x20，|x2|2，得定义域为(1，0)(0，1)，关于原点对称所以 x20，所以|x2|2x，所以 f(x)lg（1x2）x.又因为 f(x)lg1（x）2xlg（1x2）xf(x)，所以函数 f(x)为奇函数(3)显然函数 f(x)的定义域为(，0)(0，)，关于原点对称因为当 x0 时，x0，则 f(x)(x)2xx2xf(x)；当
9、 x0 时，x0，则 f(x)(x)2xx2xf(x)；综上可知，对于定义域内的任意 x，总有 f(x)f(x)成立，所以函数 f(x)为奇函数1判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域(2)判断 f(x)与 f(x)是否具有等量关系2已知函数的奇偶性求参数，一般采用待定系数法求解，根据 f(x)f(x)0 得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值变式训练1若函数 f(x)与函数 g(x)的奇偶性相同，则称 g(x)为 f(x)的同心函数那么，在下列给出的函数中，为函数f(x
10、)x21x的同心函数的是()Ag(x)x1 Bg(x)2xCg(x)x2Dg(x)ln x解析：易知 f(x)x21x是奇函数对于 A，g(x)x1 是非奇非偶函数，对于 C，g(x)x2 是偶函数，对于D，g(x)ln x 是非奇非偶函数，对于 B，g(x)2x 是奇函数答案：B2(2019佛山一模)已知 f(x)2x a2x为奇函数，g(x)bxlog2(4x1)为偶函数，则 f(ab)()A.174B.52C154D32解析：由 f(x)2x a2x为奇函数，得 f(x)f(x)0，即2x a2x 2x a2x 0，可得 a1.由 g(x)bxlog2(4x1)为偶函数，得 g(x)g(
11、x)，即 bxlog2(4x1)b(x)log2(4x1)，可得 b1.则 ab1，f(ab)f(1)21 12132.答案：D考点 2 函数的周期性及其应用(自主演练)1(2019南充二模)设 f(x)是周期为 4 的奇函数，当 0 x1 时，f(x)x(1x)，则 f 92()A34 B14 C.14D.34解析：因为 f(x)是周期为 4 的奇函数，所以 f 92 f 92 f 12.又 0 x1 时，f(x)x(1x)，故 f 92 f 12 12112 34.答案：A2一题多解(2018全国卷)已知 f(x)是定义域为(，)的奇函数，满足 f(1x)f(1x)若 f(1)2，则 f(
12、1)f(2)f(3)f(50)()A50 B0 C2 D50解析：法一 f(x)在 R 上是奇函数，且 f(1x)f(1x)所以 f(x1)f(x1)，即 f(x2)f(x)因此 f(x4)f(x)，则函数 f(x)是周期为 4 的函数由于 f(1x)f(1x)，f(1)2，故令 x1，得 f(0)f(2)0，令 x2，得 f(3)f(1)f(1)2，令 x3，得 f(4)f(2)f(2)0，故 f(1)f(2)f(3)f(4)20200，所以 f(1)f(3)f(3)f(50)120f(1)f(2)2.法二 取一个符合题意的函数 f(x)2sin x2，则结合该函数的图象易知数列f(n)(n
13、N*)是以 4 为周期的周期数列故 f(1)f(2)f(3)f(50)12f(1)f(2)f(3)f(4)f(1)f(2)1220(2)0202.答案：C3(2019上海崇明二模)设 f(x)是定义在 R 上以 2 为周期的偶函数，当 x0，1时，f(x)log2(x1)，则当 x1，2时，f(x)_解析：当 x1，2时，x21，0，2x0，1又 f(x)在 R 上是以 2 为周期的偶函数所以 f(x)f(x2)f(2x)log2(2x1)log2(3x)答案：log2(3x)1根据函数的周期性和奇偶性求给定区间上的函数值或解析式时，应根据周期性或奇偶性，由待求区间转化到已知区间2若 f(xa
14、)f(x)(a 是常数，且 a0)，则 2a 为函数 f(x)的一个周期第(2)题法二是利用周期性构造一个特殊函数，优化了解题过程考点 3 函数性质的综合应用(多维探究)角度 函数的单调性与奇偶性【例 1】(2019石家庄一模)设 f(x)是定义在2b，3b上的偶函数，且在2b，0上为增函数，则 f(x1)f(3)的解集为()A3，3 B2，4C1，5 D0，6解析：因为 f(x)是定义在2b，3b上的偶函数所以有2b3b0，解得 b3，由函数 f(x)在6，0上为增函数，得 f(x)在(0，6上为减函数，故 f(x1)f(3)f(|x1|)f(3)|x1|3，故2x4.答案：B1函数单调性与
15、奇偶性的综合注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性2本题充分利用偶函数的性质 f(x)f(|x|)，避免不必要的讨论，简化了解题过程角度 奇偶性与周期性的活用【例 2】(2019洛阳一模)已知函数 yf(x)满足 yf(x)和 yf(x2)是偶函数，且 f(1)3，设 F(x)f(x)f(x)，则 F(3)()A.3 B.23C D.43解析：由 yf(x)和 yf(x2)是偶函数知 f(x)f(x)，且 f(x2)f(x2)，则 f(x2)f(x2)所以 f(x4)f(x)，则 yf(x)的周期为 4.所以 F(3)f(3)f(3)2f(3)2f(1)2f(1)23.答案：
16、B【例 3】(2019邯郸质检)已知 f(x)是定义在 R 上的以 3为周期的偶函数，若 f(1)1，f(5)2a3a1，则实数 a 的取值范围为()A(1，4)B(2，0)C(1，0)D(1，2)解析：因为 f(x)是定义在 R 上的周期为 3 的偶函数，所以 f(5)f(56)f(1)f(1)，因为 f(1)1，f(5)2a3a1，所以2a3a1 1，即a4a10，解得1a4.答案：A1周期性与奇偶性结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解2周期性、奇偶性与单调性结合解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后
17、利用奇偶性和单调性求解变式训练1(2019平遥模拟)已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x5)f(x)，且当 x0，52 时，f(x)x33x，则 f(2 019)()A2 B18C18 D2解析：因为 f(x)满足 f(x5)f(x)，所以 f(x)是周期为 5 的函数，所以 f(2 019)f(40354)f(4)f(51)f(1)因为 f(x)是奇函数，且当 x0，52 时，f(x)x33x.所以 f(1)f(1)(13)2，即 f(2 019)2.答案：A2若函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且在区间0，)上是单调递增函数如果实数 t 满足 f(ln t)f ln 1t
18、2f(1)，那么 t 的取值范围是_解析：由于函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，所以 f(ln t)f ln 1t，由 f(ln t)f ln 1t 2f(1)，得 f(ln t)f(1)又函数 f(x)在区间0，)上是单调递增函数，所以|ln t|1，即1ln t1，故1ete.答案：1e，e核心素养欣赏 函数性质“二级结论”的活用1奇函数的最值性质已知函数 f(x)是定义在区间 D 上的奇函数，则对任意的 xD，都有 f(x)f(x)0.特别地，若奇函数 f(x)在D 上有最值，则 f(x)maxf(x)min0，且若 0D，则 f(0)0.【例 1】设函数 f(x)（x1）2sin
19、 xx21的最大值为M，最小值为 m，则 Mm_解析：显然函数 f(x)的定义域为 R.f(x)（x1）2sinxx2112xsin xx21.设 g(x)2xsin xx21，则 g(x)g(x)，所以 g(x)为奇函数，由奇函数图象的对称性知 g(x)maxg(x)min0，所以 Mmg(x)max1g(x)min12g(x)maxg(x)min2.答案：22抽象函数的周期性(1)如果 f(xa)f(x)(a0)，那么 f(x)是周期函数，其中一个周期 T2a.(2)如果 f(xa)1f（x）(a0)，那么 f(x)是周期函数，其中的一个周期 T2a.(3)如果f(xa)f(x)c(a0)
20、，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期 T2a.【例 2】已知函数 f(x)为定义在 R 上的奇函数，当x0 时，有 f(x3)f(x)，且当 x(0，3)时，f(x)x1，则 f(2 017)f(2 018)()A3 B2 C1 D0解析：因为函数 f(x)为定义在 R 上的奇函数，所以 f(2 017)f(2 017)，因为当 x0 时，有 f(x3)f(x)所以 f(x6)f(x3)f(x)，即当 x0 时，自变量的值每增加 6，对应函数值重复出现一次又当 x(0，3)时，f(x)x1，所以 f(2 017)f(33661)f(1)2，f(2 018)f(33662)f(2)3.故 f
21、(2 017)f(2 018)f(2 017)31.答案：C3抽象函数的对称性已知函数 f(x)是定义在 R 上的函数，(1)若 f(ax)f(bx)恒成立，则 yf(x)的图象关于直线 xab2 对称，特别地，若 f(ax)f(ax)恒成立，则 yf(x)的图象关于直线 xa 对称(2)若函数 yf(x)满足 f(ax)f(ax)0，即 f(x)f(2ax)，则 f(x)的图象关于点(a，0)对称【例 3】(2019日照调研)函数 yf(x)对任意 xR都有 f(x2)f(x)成立，且函数 yf(x1)的图象关于点(1，0)对称，f(1)4，则 f(2 016)f(2 017)f(2 018)的值为_解析：因为函数 yf(x1)的图象关于点(1，0)对称，所以 f(x)是 R 上的奇函数，f(x2)f(x)，所以 f(x4)f(x2)f(x)，故f(x)的周期为 4.所以 f(2 017)f(50441)f(1)4，所以 f(2 016)f(2 018)f(2 014)f(2 0144)f(2 014)f(2 014)0，所以 f(2 016)f(2 017)f(2 018)4.答案：4
