1、深圳市 2017 年高三年级第一次调研考试 数学(理科)第卷 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合22,4,6,8,B|9180Ax xx，则 AB （）A 2,4 B4,6 C6,8 D2,8 2.若复数12ai aRi为纯虚数，其中i 为虚数单位，则a （）A 2 B 3 C-2 D-3 3.袋中装有大小相同的四个球，四个球上分别标有数字“2”，“3”，“4”，“6”.现从中随机选取三个球，则所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率是（）A 14 B 12 C 13 D 23 4.等比数列 na的前
2、n 项和为13nnSab，则 ab （）A-3 B-1 C.1 D3 5.直线:40l kxykR是圆22:4460C xyxy的一条对称轴，过点0,Ak 作斜率为 1 的直线m，则直线m 被圆C 所截得的弦长为（）A22 B2 C.6 D2 6 6.祖冲之之子祖暅是我国南北朝时代伟大的科学家，他在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是，如果两个等高的几何体在同高处截得的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等.此即祖暅原理.利用这个原理求球的体积时，需要构造一个满足条件的几何体，已知该几何体三视图如图所示，用一个与该几何体的下底面平行相距为 02hh的平面截该几何
3、体，则截面面积为（）A4 B2h C.22h D 24h 7.函数 21 cos21xxf xx的图象大致是（）A B C.D 8.已知0,0abc，下列不等关系中正确的是（）Aacbc Bccab C.loglogabacbc Dabacbc 9.执行如图所示的程序框图，若输入2017p，则输出i 的值为（）A 335 B336 C.337 D338 10.已知 F 是双曲线2222:10,0 xyEabab的右焦点，过点 F 作 E 的一条渐近线的垂线，垂足为 P，线段 PF 与 E 相交于点Q，记点Q 到 E 的两条渐近线的距离之积为2d，若2FPd，则该双曲线的离心率是（）A2 B2
4、C.3 D4 11.已知棱长为 2 的正方体1111ABCDA B C D，球O 与该正方体的各个面相切，则平面1ACB 截此球所得的截面的面积为（）A 83 B 53 C.43 D 23 12.已知函数 2,0,xxf xxee为自然对数的底数，关于 x 的方程 20f xf x有四个相异实根，则实数 的取值范围是（）A20,e B2 2,C.2,ee D224,2ee 第卷 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上 13.已知向量1,2,3pqx，若 pq，则 pq 14.51xx的二项展开式中，含 x 的一次项的系数为 （用数字作答）15.若实数
5、,x y 满足不等式组4023801xyxyx，目标函数 zkxy的最大值为 12，最小值为 0，则实数k 16.已知数列 na满足2222nnnanann，其中121,2aa，若1nnaa 对*nN 恒成立，则实数 的取值范围为 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.ABC的内角 ABC、的对边分别为abc、，已知23 sincosacAaC（1）求C；（2）若3c，求 ABC的面积 S 的最大值 18.如图，四边形 ABCD 为菱形，四边形 ACEF 为平行四边形，设 BD 与 AC 相交于点G，2,3,ABBDAEEADEAB （1）证明：平面 ACEF 平面 ABC
6、D；（2）若 AE 与平面 ABCD 所成角为 60，求二面角 BEFD的余弦值 19.某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过 200 度的部分按 0.5 元/度收费，超过 200 度但不超过 400 度的部分按 0.8 元/度收费，超过 400 度的部分按 1.0 元/度收费.（1）求某户居民用电费用 y（单位：元）关于月用电量 x（单位：度）的函数解析式；（2）为了了解居民的用电情况，通过抽样，获得了今年 1 月份 100 户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图，若这 100 户居民中，今年 1 月份用电费用不超
7、过 260 元的点 80%，求,a b 的值；（3）在满足（2）的条件下，若以这 100 户居民用电量的频率代替该月全市居民用户用电量的概率，且同组中的数据用该组区间的中点值代替，记Y 为该居民用户 1 月份的用电费用，求Y 的分布列和数学期望 20.已成椭圆2222:10 xyCabab的左右顶点分别为12AA、，上下顶点分别为21BB、，左右焦点分别为12FF、，其中长轴长为 4，且圆2212:7O xy为菱形1122A B A B的内切圆（1）求椭圆C 的方程；（2）点,0N n为 x 轴正半轴上一点，过点 N 作椭圆C 的切线l，记右焦点2F 在l 上的射影为 H，若1F HN的面积不
8、小于2316 n，求n 的取值范围 21.已知函数 ln,f xxx e为自然对数的底数（1）求曲线 yf x在2xe处的切线方程；（2）关于 x 的不等式 1f xx在0,上恒成立，求实数 的值；（3）关于 x 的方程 f xa有两个实根12,x x，求证：21221xxae 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中 xOy 中，已知曲线 E 经过点2 31,3P，其参数方程为cos2 sinxay（为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系（1）求曲线 E 的极坐标方程；（2）若直线l
9、交 E 于点 AB、，且OAOB，求证：2211OAOB为定值，并求出这个定值 23.选修 4-5：不等式选讲 已知 ,3f xxa g xxx，记关于 x 的不等式 f xg x的解集为 M （1）若3aM，求实数a 的取值范围；（2）若1,1M，求实数a 的取值范围 试卷答案 一、选择题 1-5:BCBAC 6-10:DCDCB 11、12：BC 二、填空题 13.5 2 14.-5 15.3 16.0,三、解答题 17.解:（1）由已知及正弦定理可得2sin3sinsinsincosACAAC，在 ABC中，sin0A，23sincosCC，31sincos122CC，从而sin16C，
10、0C，5666C，62C，23C；（2）解法：由（1）知23C，3sin2C，1 2sin2SabC，34Sab，222cos2abcCab，223abab，222abab，1ab （当且仅当1ab时等号成立），3344Sab；解法二：由正弦定理可知2sinAsinsinabcBC，1sin2SabC，3sinsinSAB，3sinsin3SAA，33sin 2264SA，03A，52666A，当262A，即6A时，S 取最大值34.18.解：（1）证明：连接 EG，四边形 ABCD 为菱形，,ADAB BDAC DGGB，在 EAD和 EAB中，,ADAB AEAE，EADEAB，EADEA
11、B，EDEB，BDEG，ACEGG，BD 平面 ACFE，BD 平面 ABCD，平面 ACFE 平面 ABCD；（2）解法一：过G 作 EF 垂线，垂足为 M，连接,MB MG MD，易得EAC为 AE 与面 ABCD 所成的角，060EAC，,EFGM EFBD，EF 平面 BDM，DMB为二面角 BEFD的平面角，可求得313,22MGDMBM，在 DMB中由余弦定理可得：5cos13BMD，二面角 BEFD的余弦值为 513；解法二：如图，在平面 ABCD 内，过G 作 AC 的垂线，交 EF 于 M 点，由（1）可知，平面 ACFE 平面 ABCD，MG 平面 ABCD，直线,GM G
12、A GB 两两互相垂直，分别GAGBGM、为,x y z 轴建立空间直角坐标系Gxyz，易得EAC为 AE 与平面 ABCD 所成的角，060EAC，则333 330,1,0,0,1,0,E,0,0,2222DBF，33332 3,0,0,1,1,2222FEBEDE，设平面 BEF 的一个法向量为,nx y z，则 0n FE 且0n BE，0 x，且33022xyz 取2z，可得平面 BEF 的一个法向量为0,3,2n，同理可求得平面 DEF 的一个法向量为0,3,2m，5cos,13n m，二面角 BEFD的余弦值为 513 19.解析：（1）当0200 x时，0.5yx；当 20040
13、0 x时，0.5 2000.82000.860yxx，当400 x 时，0.5 2000.8 200 1.0400140yxx，所以 y 与 x 之间的函数解析式为：0.5,02000.860,200400140,400 xxyxxxx；（2）由（1）可知：当260y 时，400 x，则 4000.80P x，结合频率分布直方图可知：0.12 1000.30.81000.050.2ba，0.0015,0.0020ab；（3）由题意可知 X 可取 50，150，250，350，450，550.当50 x 时，0.5 5025y，250.1P y，当150 x 时，0.5 15075y，750.2
14、P y，当250 x 时，0.5 2000.8 50140y，1400.3P y，当350 x 时，0.5 2000.8 150220y，2200.2P y，当450 x 时，0.5 2000.8 200 1.0 50310y，3100.15P y，当550 x 时，0.5 2000.8 200 1.0 150410y，4100.05P y，故Y 的概率分布列为：Y 25 75 140 220 310 410 P 0.1 0.2 0.3 0.2 0.15 0.05 所以随机变量 X 的数学期望 25 0.1 75 0.2 140 0.3220 0.2310 0.15410 0.05170.5E
15、Y.20.解：（1）由题意知24a，所以2a，所以12122,0,2,0,0,0,AABbBb，则 直线22A B 的方程为12xyb，即220bxyb，所以221274bb，解得23b，故椭圆C 的方程为22143xy；（2）由题意，可设直线l 的方程为,0 xmyn m，联立223412xmynxy消去 x 得222346340mymnyn，（*）由直线l 与椭圆C 相切，得22264 3 3440mnmn ，化简得22340mn，设点,H mtn t，由（1）知121,0,1,0FF，则 0111tmtnm，解得211m ntm，所以1F HN的面积1222111112121F HNm
16、nm nSnmm，代入22340mn消去n 化简得132F HNSm，所以22333 3421616mnm，解得 223m，即2449m，从而244493n，又0n，所以 4 343n，故n 的取值范围为 4 3,43.21.解（1）对函数 f x 求导得 1lnln1fxxxxx，22ln11fee ，又 2222ln2f eeee，曲线 yf x在2xe处的切线方程为222yexe ，即2yxe ；（2）记 1ln1g xf xxxxx，其中0 x，由题意知 0g x 在0,上恒成立，下求函数 g x 的最小值，对 g x 求导得 ln1gxx，令 0gx，得1xe，当 x 变化时，,gx
17、g x变化情况列表如下：x 10,e 1e 1,e gx-0+g x 极小值 1111min11g xg xg eeee极小，10e，记 1Ge，则 11Ge，令 0G，得1 当 变化时，,GG变化情况列表如下：0,1 1 1,G +0-G 极大值 max10GGG极大，故10e当且仅当1 时取等号，又10e，从而得到1；（3）先证 2f xxe ，记 22lnh xf xxexxxe ，则 ln2h xx，令 0h x，得2xe，当 x 变化时，,h xh x变化情况列表如下：x 20,e 2e 2,e h x-0+h x 极小值 22222minln0h xh xh eeeee极小，0h
18、x 恒成立，即 2f xxe ，记直线2,1yxeyx 分别与 ya交于 12,xaxa，不妨设12xx，则 22111axef xxe ，从而11xx，当且仅当22ae 时取等号，由（2）知，1f xx，则22211axf xx ，从而22xx，当且仅当0a 时取等号，故 22122121121xxxxxxaaeae ，因等号成立的条件不能同时满足，故21221xxae 22.解：（1）将点2 31,3P代入曲线 E 的方程：1cos2 32 sin3a，解得23a，所以曲线 E 的普通方程为22132xy，极坐标方程为22211cossin132，（2）不妨设点,A B 的极坐标分别为1212,0,02AB ，则2211222211cossin13211cossin13222，即22212222111cossin32111sincos32，22121156，即221156OAOB，所以2211OAOB为定值 56 23.解：（1）依题意有：233aaa，若32a，则233a，332a，若302a，则323a，302a，若0a，则323aaa ，无解，综上所述，a 的取值范围为0,3；（2）由题意可知，当1,1x 时，f xg x恒成立，3xa恒成立，即 33xax，当1,1x 时恒成立，22a
