1、2015-2016学年山东省德州市高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1已知集合A=x|x24x50，B=x|2x4，则AB=( )A（1，3）B（1，4）C（2，3）D（2，4）2已知向量=（1，2），=（0，1），=（2，k），若（+2），则k=( )A8BCD83若sin=，且为第四象限角，则tan的值等于( )ABC3D34下列说法正确的是( )A命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x1”B若命题p：xR，x22x10，则命题p：xR，x22x10C命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题D“x=1”是“x2
2、5x6=0”的必要不充分条件5曲线y=在点（1，1）处的切线方程为( )Ay=x2By=3x+2Cy=2x3Dy=2x+16已知Sn是等差数列an的前n项和，若a1+a3+a5=3，则S5=( )AB5C7D97函数y=的图象可能是( )ABCD8下列四个命题，其中正确命题的个数( )若a|b|，则a2b2若ab，cd，则acbd 若ab，cd，则acbd 若abo，则A3个B2个C1个D0个9已知定义在R上的函数f（x）=2|xm|1（m为实数）为偶函数，记a=f（23），b=f（3m），c=f（log0.53），则( )AabcBacbCcabDcba10已知定义在R上的函数y=f（x）对
3、任意的x都满足f（x+2）=f（x），当1x1时，f（x）=sinx，若函数g（x）=f（x）loga|x|至少6个零点，则a的取值范围是( )A（0，（5，+）B（0，）5，+）C（，（5，7）D（，）5，7）二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11已知f（x）=，则f（f（）的值为_12已知等比数列an满足a1=，a3a5=4（a41），则a2=_13在ABC中，角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，已知b=c，sinA+sinC=sinB，则角A=_14若x，y满足，则z=2x+y的最大值为_15设函数f（x）是定义在（，0）上的可导函数，其导函数为f（x），且有3f（x）+
4、xf（x）0，则不等式（x+2015）3f（x+2015）+27f（3）0的解集是_三、解答题（共6小题，满分75分）16已知函数（0）的最小正周期为（）求的值及函数f（x）的单调递增区间；（）当时，求函数f（x）的取值范围17已知向量，的夹角为60，且|=1，|=2，又=2+，=3+（）求与的夹角的余弦；（）设=t，=，若，求实数t的值18在ABC中，角A、B、C对边分别是a、b、c，且满足（）求角A的大小；（）若，ABC的面积为，求b，c19若数列an中，a1=，an+1=an（）证明：是等比数列，并求an的通项公式；（）若an的前n项和为Sn，求证Sn20（13分）某厂家举行大型的促销活
5、动，经测算某产品当促销费用为x万元时，销售量P万件满足（其中0xa，a为正常数）现假定生产量与销售量相等，已知生产该产品P万件还需投入成本（10+2P）万元（不含促销费用），产品的销售价格定为万元/万件（1）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；（2）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大21（14分）已知函数f（x）=exax1（a0，e为自然对数的底数）（1）求函数f（x）的最小值；（2）若f（x）0对任意的xR恒成立，求实数a的值；（3）在（2）的条件下，证明：1+ln（n+1）（nN*）2015-2016学年山东省德州市高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（共10小题，每
6、小题5分，满分50分）1已知集合A=x|x24x50，B=x|2x4，则AB=( )A（1，3）B（1，4）C（2，3）D（2，4）【考点】交集及其运算 【专题】计算题；集合思想；综合法；集合；不等式【分析】求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的交集即可【解答】解：由A中不等式变形得：（x5）（x+1）0，解得：1x5，即A=（1，5），B=（2，4），AB=（2，4），故选：D【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2已知向量=（1，2），=（0，1），=（2，k），若（+2），则k=( )A8BCD8【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示 【专题】计算题；函数思
7、想；综合法；平面向量及应用【分析】求出向量+2，利用斜率的坐标运算求解即可【解答】解：向量=（1，2），=（0，1），=（2，k），+2=（1，4），（+2），8=k故选：A【点评】本题考查向量的坐标运算，共线向量的充要条件的应用，考查计算能力3若sin=，且为第四象限角，则tan的值等于( )ABC3D3【考点】同角三角函数基本关系的运用 【专题】计算题；方程思想；综合法；三角函数的求值【分析】由sin的值及为第四象限角，利用同角三角函数间的基本关系求出cos的值，即可确定出tan的值【解答】解：sin=，且为第四象限角，cos=，则tan=，故选：B【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的
8、运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键4下列说法正确的是( )A命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x1”B若命题p：xR，x22x10，则命题p：xR，x22x10C命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题D“x=1”是“x25x6=0”的必要不充分条件【考点】四种命题 【专题】简易逻辑【分析】A，写出它的否命题，即可判定真假；B，写出命题p的否定p；C，判定原命题的真假性，即可得出它的逆否命题的真假性；D，由“x=1”得出“x25x6=0”成立，判定命题是否正确【解答】解：对于A，否命题是“若x21，则x1”，A错误；对于B，命题p的否定p：xR，x22x
9、10，B错误；对于C，命题“若x=y，则sinx=siny”是真命题，它的逆否命题是真命题，C正确；对于D，“x=1”时，“x25x6=0”，是充分条件，D错误；故选：C【点评】本题通过命题真假的判定，考查了四种命题之间的关系，也考查了一定的逻辑思维能力，是基础题5曲线y=在点（1，1）处的切线方程为( )Ay=x2By=3x+2Cy=2x3Dy=2x+1【考点】导数的几何意义 【专题】计算题【分析】根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=1处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，化成斜截式即可【解答】解：y=（）=，k=y|x=1=2l：y+1=2（x1），则y=2x+1故选：
10、D【点评】本题考查了导数的几何意义，以及导数的运算法则，本题属于基础题6已知Sn是等差数列an的前n项和，若a1+a3+a5=3，则S5=( )AB5C7D9【考点】等差数列的前n项和 【专题】转化思想；数学模型法；等差数列与等比数列【分析】由等差数列an的性质，a1+a3+a5=3=3a3，解得a3再利用等差数列的前n项和公式即可得出【解答】解：由等差数列an的性质，a1+a3+a5=3=3a3，解得a3=1则S5=5a3=5故选：B【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其性质、前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题7函数y=的图象可能是( )ABCD【考点】函数的图象 【专题】
11、函数的性质及应用【分析】当x0时，当x0时，作出函数图象为B【解答】解：函数y=的定义域为（，0）（0，+）关于原点对称当x0时，当x0时，此时函数图象与当x0时函数的图象关于原点对称故选B【点评】本题考查了函数奇偶性的概念、判断及性质，考查了分段函数的图象及图象变换的能力8下列四个命题，其中正确命题的个数( )若a|b|，则a2b2若ab，cd，则acbd 若ab，cd，则acbd 若abo，则A3个B2个C1个D0个【考点】命题的真假判断与应用 【专题】综合题；转化思想；分析法；不等式的解法及应用【分析】直接由不等式的可乘积性判断；举例说明错误【解答】解：若a|b|，则a2b2，正确；若a
12、b，cd，则acbd错误，如32，13，而3（1）=45=2（3）； 若ab，cd，则acbd错误，如31，23，而3（2）1（3）； 若abo，则，当c0时，错误正确命题的个数只有1个故选：C【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查了不等式的基本性质，是基础题9已知定义在R上的函数f（x）=2|xm|1（m为实数）为偶函数，记a=f（23），b=f（3m），c=f（log0.53），则( )AabcBacbCcabDcba【考点】对数函数图象与性质的综合应用 【专题】数形结合；函数的性质及应用【分析】由题意可得m=0，可得f（x）=2|x|1在（0，+）单调递增，在（，0）单调递减，比较三
13、个变量的绝对值大小可得【解答】解：定义在R上的函数f（x）=2|xm|1（m为实数）为偶函数，f（1）=f（1），即2|1m|1=2|1m|1，解得m=0，f（x）=2|x|1在（0，+）单调递增，在（，0）单调递减，23=（0，1），3m=1，|log0.53|=log231，f（23）f（3m）f（log0.53），即abc故选：A【点评】本题考查函数的单调性和奇偶性，属基础题10已知定义在R上的函数y=f（x）对任意的x都满足f（x+2）=f（x），当1x1时，f（x）=sinx，若函数g（x）=f（x）loga|x|至少6个零点，则a的取值范围是( )A（0，（5，+）B（0，）5，+
14、）C（，（5，7）D（，）5，7）【考点】函数零点的判定定理 【专题】计算题；作图题；函数的性质及应用【分析】分a1与0a1讨论，结合题意作两个函数的图象，利用数形结合求解即可【解答】解：当a1时，作函数f（x）与函数y=loga|x|的图象如下，结合图象可知，故a5；当0a1时，作函数f（x）与函数y=loga|x|的图象如下，结合图象可知，故0a故选A【点评】本题考查了函数的图象的作法及应用，同时考查了分类讨论的思想应用二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11已知f（x）=，则f（f（）的值为3e【考点】对数的运算性质 【专题】分类讨论；数学模型法；函数的性质及应用【分析】由3，
15、可得=log3（156）=2进而得出【解答】解：3，=log3（156）=2f（f（）=f（2）=3e21=3e故答案为：3e【点评】本题考查了对数与指数的运算性质、分段函数的解析式，考查了计算能力，属于中档题12已知等比数列an满足a1=，a3a5=4（a41），则a2=【考点】等比数列的通项公式 【专题】等差数列与等比数列【分析】设等比数列an的公比是q，根据题意和等比数列的通项公式列出方程，化简后求出q的值，即可求出a2【解答】解：设等比数列an的公比是q，因为a1=，a3a5=4（a41），所以（）（）=4（1），化简得，q616q3+64=0，解得q3=8，则q=2，所以a2=a1q
16、=，故答案为：【点评】本题考查等比数列的通项公式，以及方程思想，属于基础题13在ABC中，角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，已知b=c，sinA+sinC=sinB，则角A=【考点】余弦定理的应用 【专题】转化思想；综合法；解三角形【分析】运用正弦定理，可得a+c=b，又b=c，即有a=c，再由余弦定理，计算cosA，即可得到所求A的值【解答】解：由正弦定理，sinA+sinC=sinB，即为a+c=b，又b=c，即有a=2cc=c，由余弦定理可得cosA=即有A=故答案为：【点评】本题考查正弦定理和余弦定理的运用，考查运算能力，属于中档题14若x，y满足，则z=2x+y的最大值为【考点
17、】简单线性规划 【专题】作图题；转化思想；数形结合法；不等式的解法及应用【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（），化目标函数z=2x+y为y=2x+z，由图可知，当直线y=2x+z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为故答案为：【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题15设函数f（x）是定义在（，0）上的可导函数，其导函数为f（x），且有3f（x）+xf（x）0，则不等式（x+2015）3f（x+2015）+27f（3）
18、0的解集是（2018，2015）【考点】函数的单调性与导数的关系 【专题】函数思想；导数的概念及应用【分析】根据题意，构造函数g（x）=x3f（x），x（，0），利用导数判断g（x）的单调性，再把不等式（x+2015）3f（x+2015）+27f（3）0化为g（x+2015）g（3），利用单调性求出不等式的解集【解答】解：根据题意，令g（x）=x3f（x），其导函数为g（x）=3x2f（x）+x3f（x）=x23f（x）+xf（x），x（，0）时，3f（x）+xf（x）0，g（x）0，g（x）在（，0）上单调递增；又不等式（x+2015）3f（x+2015）+27f（3）0可化为（x+2015
19、）3f（x+2015）（3）3f（3），即g（x+2015）g（3），0x+20153；解得2015x2018，该不等式的解集是为（2018，2015）故答案为：（2018，2015）【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性问题，也考查了利用函数的单调性求不等式的解集的问题，是综合性题目三、解答题（共6小题，满分75分）16已知函数（0）的最小正周期为（）求的值及函数f（x）的单调递增区间；（）当时，求函数f（x）的取值范围【考点】二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；正弦函数的单调性 【专题】三角函数的图像与性质【分析】（）利用两角和的正弦公式，二倍角公式化简函数f（x）的解析
20、式为，由此求得它的最小正周期令，求得x的范围，即可得到函数f（x）的单调递增区间（）因为，根据正弦函数的定义域和值域求得函数f（x）的取值范围【解答】解：（）=因为f（x）最小正周期为，所以=2所以由，kZ，得所以函数f（x）的单调递增区间为，kZ（）因为，所以，所以所以函数f（x）在上的取值范围是（13分）【点评】本题主要考查两角和的正弦公式，二倍角公式，正弦函数的单调性和周期性，正弦函数的定义域和值域，属于中档题17已知向量，的夹角为60，且|=1，|=2，又=2+，=3+（）求与的夹角的余弦；（）设=t，=，若，求实数t的值【考点】平面向量的综合题 【专题】计算题；向量法；平面向量及应用
21、【分析】（）进行数量积的运算便可得出，根据便可求出，同理可求出，这样根据向量夹角的余弦公式即可求出与夹角的余弦；（）先求出，而根据便有，进行数量积的运算即可求出t的值【解答】解：（）=612cos60+4=3；=，；即与夹角的余弦为；（），；=2t+3t44t+4=0；t=1【点评】考查向量数量积的运算及其计算公式，求向量长度的方法：根据，向量夹角的余弦公式，向量的减法和数乘运算，向量垂直的充要条件18在ABC中，角A、B、C对边分别是a、b、c，且满足（）求角A的大小；（）若，ABC的面积为，求b，c【考点】余弦定理的应用；平面向量数量积的运算 【专题】计算题；解三角形【分析】（I）由题意可
22、得2bccosA=a2b2c22bc，再由余弦定理求出cosA，从而确定A的大小；（II）利用三角形的面积公式S=bcsinA得bc=16；再由余弦定理得b2+c2+bc=48，联立求出b、c【解答】解：（）由题意可得2bccosA=a2b2c22bc，由余弦定理a2=b2+c22bccosA得4bccosA=2bc，0A，（）sinA=，cosA=，a2=b2+c22bccosAb2+c2+bc=48，b=c=4，故b=4，c=4【点评】本题考查余弦定理的应用，考查三角形的面积公式的应用，结合题设条件，利用余弦定理求出角A的大小是解答本题的关键19若数列an中，a1=，an+1=an（）证明
23、：是等比数列，并求an的通项公式；（）若an的前n项和为Sn，求证Sn【考点】数列的求和；等比关系的确定 【专题】证明题；转化思想；作差法；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用【分析】（）由题意可得=，结合等比数列的定义，即可得证，再由等比数列的通项公式即可求得an的通项公式；（）运用错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理可得Sn，再由不等式的性质即可得证【解答】（）证明：a1=，an+1=an即有=，则是首项为，公比为的等比数列，即有=（）n，即an=n（）n；（）证明：an的前n项和为Sn，即有Sn=1+2（）2+3（）3+n（）n，Sn=1（）2+2（）3+3（）4+n（）n+1
24、，两式相减可得，Sn=+（）2+（）3+（）nn（）n+1，=n（）n+1，化简可得Sn=则Sn【点评】本题考查等比数列的定义的运用，考查数列的通项公式的求法，同时考查数列的求和方法：错位相减法，以及等比数列的求和公式的运用，属于中档题20（13分）某厂家举行大型的促销活动，经测算某产品当促销费用为x万元时，销售量P万件满足（其中0xa，a为正常数）现假定生产量与销售量相等，已知生产该产品P万件还需投入成本（10+2P）万元（不含促销费用），产品的销售价格定为万元/万件（1）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；（2）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大【考点】函数模型的选择与应用
25、；基本不等式在最值问题中的应用 【专题】应用题；导数的综合应用【分析】（1）根据题意售价为万元/万件，销售量为P，成本为（10+2P）+x万元，利用利润=销售额成本，即可列出函数关系式；（2）对a进行分类讨论，当a1时，利用基本不等式即可求得最值，当a1时，利用导数确定函数的单调性，从而求得最值，即可得到答案【解答】解：（1）由题意知，该产品售价为万元，销售量为P，成本为（10+2P）+x万元，（其中0xa，a为正常数），y=2102（3）x=16x，（0xa），该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数为（0xa）；（2）由（1）可知，（0xa），当且仅当时取等号，0xa，当a1时，x=1
26、时，y取得最大值为13，促销费用投入1万元时，厂家的利润最大；当a1时，解得3x1，在（3，1）上单调递增，在0，a上单调递增，在x=a时，函数有最大值，促销费用投入a万元时，厂家的利润最大综合可得，当a1时，促销费用投入1万元时，厂家的利润最大，当a1时，促销费用投入a万元时，厂家的利润最大【点评】本题主要考查函数模型的选择与应用解决实际问题通常有四个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果；（4）转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型在运用数学方法求解最值时，选用了基本不等式和导数的方法求解属于中档题21（14分）已知函数
27、f（x）=exax1（a0，e为自然对数的底数）（1）求函数f（x）的最小值；（2）若f（x）0对任意的xR恒成立，求实数a的值；（3）在（2）的条件下，证明：1+ln（n+1）（nN*）【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性 【专题】导数的综合应用【分析】（1）通过对函数f（x）求导，讨论f（x）的单调性可得函数f（x）的最小值；（2）根据条件可得g（a）=aalna10，讨论g（a）的单调性即得结论；（3）由（2）得exx+1，即ln（x+1）x，通过令 （kN*），可得 （k=1，2，n），然后累加即可【解答】解：（1）由题意a0，f（x）=exa，令f（x）=e
28、xa=0，解得x=lna，先当x（，lna）时，f（x）0；当x（lna，+）时，f（x）0即f（x）在（，lna）上单调递减，在（lna，+）上单调递增，所以f（x）在x=lna处取得极小值，且为最小值，其最小值为f（lna）=elnaalna1=aalna1；（2）f（x）0对任意的xR恒成立，在xR上，fmin（x）0，由（1），设g（a）=aalna1，则g（a）0，令g（a）=1lna1=lna=0，解得a=1，易知g（a）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+）上单调递减，g（a）在a=1处取得最大值，而g（1）=0因此g（a）0的解为a=1，即a=1；（3）由（2）得exx+1，即ln（x+1）x，当且仅当x=0时，等号成立，令 （kN*），则，即，所以 （k=1，2，n），累加，得1+ln（n+1）（nN*）【点评】本题考查函数的最值，单调性，通过对表达式的灵活变形是解决本题的关键，属于中档题
