1、深圳实验学校高中部2020-2021学年度第二学期第一阶段考试高二数学时间：120分钟 满分：150分 命题人：曾玉泉一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1用数字组成允许有重复数字的两位数，其个数为( )A B C D2从名男生与名女生中选二人去参加同一个会议，要求至少有一名女生，选派的方法数为( )A B C D3右图是与杨辉三角有类似性质的三角形数垒，若是某行的前两个数，当时，( )A. B. C. D. 4有件产品，其中件是次品，从中任取两件，若表示取得次品的个数，则 等于( )A B C D5如右图所示的几何体由三棱锥与三棱柱
2、组合而成，现用种不同颜色对这个几何体的表面涂色(底面不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的涂色方案共有( )A种 B种C种 D种6回文联是我国对联中的一种.用回文形式写成的对联，既可顺读，也可倒读.不仅意思不变，而且颇具趣味.相传清代北京城里有一家饭馆叫“天然居”，曾有一副有名的回文联：“客上天然居，居然天上客；人过大佛寺，寺佛大过人.”在数学中也有这样一类顺读与倒读都是同一个数的自然数，称之为“回文数”.如等；那么用数可以组成位“回文数”的个数为( )A B C D7在的展开式中，含的项的系数是( )A B C D8表示的平面区域内，以横坐标与纵坐标均为整数的点为顶点，可以构成的三角形个数
3、为( )A B C D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9设随机变量的分布列为，则 ( )A BC D10下列等式中，正确的是（ ）A BC D11已知n为满足能被整除的正整数的最小值，则的展开式中，下列结论正确的是( )A. 第项系数最大 B. 第项系数最大 C. 末项系数最小 D. 第项系数最小12关于多项式的展开式，下列结论正确的是( )A. 各项系数之和为1 B. 各项系数的绝对值之和为C. 不存在常数项 D. 的系数为40三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13已知，
4、则 .P14已知随机变量的分布列为：若，则实数的最小值为_.15如右图，机器人亮亮沿着单位网格从地移动到地，每次只移动一个单位长度，则亮亮从点移动到点最近的走法共有 _种.16将个不同的小球全部放入编号为的四个盒子中，若每个盒子中所放的球的个数不大于其编号数，则共有_种不同的放法.四、解答题: 本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（本题满分10分）有名男生与名女生，在下列不同条件下，分别求排法种数(要求用数字作答).1）全体排成一排，女生必须站在一起；2）全体排成一排，男生互不相邻；3）全体排成一行，其中甲，乙，丙三人从左至右的顺序不变.18（本题满分12分）的
5、展开式中，偶数项的二项式系数之和为，且前三项系数成等差数列.1）求的值；2）若，展开式有多少有理项？写出所有有理项.19（本题满分12分）长方体如右图，已知，从该长方体的八个顶点中，任取两个不同的顶点.用随机变量表示这两点之间的距离.1）求随机变量的概率；2）求随机变量的分布列.20.（本题满分12分）现有本书和位同学，将书全部分给这三位同学（要求用数字作答）.1）若本书完全相同，共有多少种分法；2）若本书都不相同，每个同学至少有一本书，共有多少种分法；3）若本书仅有两本相同，按一人本另两人各本分配，共有多少种分法.21（本题满分12分）年元旦某公司进行抽奖活动，每位员工抽奖一次.规则如下：在
6、一个抽奖盒中放有红、橙、黄、绿、蓝、紫的小球各个，分别对应分、分、分、分、分、分.员工从袋中一次性任取个小球，按个小球中最大得分的倍计分，计分超过分即为中奖（中奖者根据得分兑换相应礼品，员工抽完奖球立即放回盒中），每个小球被取出的可能性相等，用表示某员工取出的个小球中最大得分，求：1）取出的个小球恰有两个颜色相同的概率； 2）随机变量的分布列；3）该员工中奖的概率.22（本题满分12分）已知数列（）的通项公式为（）.1）求的二项展开式中的系数最大的项；2）记（），求集合的元素个数（写出具体的表达式）.深圳实验学校高中部2020-2021学年度第二学期第一阶段考试高二数学参考答案一、选择题：本题
7、共8小题，每小题5分，共40分.12345678ABCDCBDA二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.9101112ABCABD ADBD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. ; 14.; 15.; 16. .8.解：由题意可得表示的平面区域内的整点共有13个，其中三点共线的情况有10种，五点共线的情况有2种，所以从13个点中可以构成三角形的个数为:个故选C12.解：在中，令，可得展开式中各项系数之和为，所以A不正确.的展开式中各项系数的绝对值之和与的展开式中各项系数之和相等.在中，令可得展开式中各项系数之和为，故B正确.展开，其含义是6个相乘，在6个相同因式中，每
8、个因子取三者其一乘到一起，所有情况相加再进行合并.于是6个因式各取两次时便得到常数项，故C不正确同理可得含的系数为：，故D正确.综上本题选BD.（判断选项C，D是否正确也可以如下操作：由的展开式的通项为，的展开式的通项为，所以的展开式的通项为.当时为常数项，所以多项式的展开式中有常数项，故C不正确.当时，或，所以的系数为40，故D正确）.16.解：四个盒子放球的个数如下:1号盒子：0，1 2号盒子：0，1，2 3号盒子：0，1，2，3 4号盒子：0，1，2，3，4结合由5个不同的小球全部放入盒子中，不同组合下其放法如下：5 = 1 + 4：种5 = 2 + 3：种5 = 1 + 1 + 3：种
9、5 = 1 + 2 + 2：种5 = 1 + 1 + 1 + 2：种5个相同的小球放入四个盒子方式共有：+=535种 故答案为：535四、解答题17有名男生与名女生，在下列不同条件下，分别求排法种数(要求用数字作答).1）全体排成一排，女生必须站在一起；2）全体排成一排，男生互不相邻；3）全体排成一行，其中甲，乙，丙三人从左至右的顺序不变.解：1）（捆绑法）将女生看成一个整体，与3名男生在一起进行全排列，有种方法，再将4名女生进行全排列，也有种方法，故共有种排法 3分2）（插空法）男生不相邻，而女生不作要求，所以应先排女生，有种方法，再在女生之间及首尾空出的5个空位中任选3个空位排男生，有种方
10、法，故共有种排法. 6分3）（定序法）从7个位置中选四个安排除甲，乙，丙以外的4个人，有种方法，剩下的三个位置从左至右依次安排甲，乙，丙，仅有一种安排，故共有=840种排法. 10分18的展开式中，偶数项的二项式系数之和，且前三项系数成等差数列.1）求的值；2）若，展开式有多少有理项？写出所有有理项.解：1）因为偶数项的二项式系数之和为128，所以，解得， 1分所以二项展开式为：第一项：，系数为1，第二项：，系数为，第三项：，系数为， 4分由前三项系数成等差数列得：，解得或 . 6分2）若，由1）得，故二项展开式为：，其通项是： ，其中 由于，要成为有理项，则 8分时； 时；时11分从而展开式
11、有3项为有理项，分别是，.12分19长方体如右图所示，已知，从该长方体的八个顶点中，任取两个不同的顶点，用随机变量表示这两点之间的距离.1）求随机变量的概率；2）求随机变量的分布列.解：1）由于从长方体的八个顶点中，任取两个不同的顶点的取法总共有种，又的情况有两类：当时，即取矩形或矩形或矩形或矩形的对角线的两个端点，每个矩形有种取法，共有种取法；当时，取长方体的体对角线的两个端点，共有种取法，故随机变量的概率是； 4分2）依题意，随机变量的所有可能取值为、，当时，即取正方形和正方形的边所对棱的两个端点，共有种取法，则；当时，即取正方形和正方形的对角线的两个端点，每个正方形有种取法，共有种取法，
12、则；当时，即取棱长为的棱的两个端点，共有种取法，则；10分由（1）知，.故随机变量的分布列为：12分20.现有本书和位同学，将书全部分给这三位同学（要求用数字作答）.1）若本书完全相同，共有多少种分法；2）若本书都不相同，每个同学至少分一本书，共有多少种分法；3）若本书仅有两本相同，按一人本另两人各本分配，共有多少种分法.解：1）先借三本相同的书一人给一本，保证每人至少分得一本，再将8本书排成一排，中间有7个空位，在7个空位中任选个插入隔板，有种情况，即有21种不同的分法；4分2）分2步进行：将本书分成组，若分成1、1、3的三组，有种分组方法，若分成1、2、2的三组，有种分组方法，从而分组方法
13、有种；将分好的三组全排列，对应名学生，有种情况，根据分步计数原理，故共有种分法. 8分3）记这5本书分别为A、A、B、C、D, 5本书取其三本分配时不含A时仅有一种分组，再分配给3人,有3种方法仅含一个A时，分组的方法有种，再分配给3人，共有种方法含两个A时，分组的方法有种，再分配给3人，共有种方法从而共有18+18+3=39种分法. 12分21年元旦某公司进行抽奖活动，每位员工抽奖一次.规则如下：在一个抽奖盒中放有红、橙、黄、绿、蓝、紫的小球各个，分别对应分、分、分、分、分、分.员工从袋中一次性任取个小球，按个小球中最大得分的倍计分，计分超过分即为中奖（中奖者根据得分兑换相应礼品，员工抽完奖
14、球立即放回盒中），每个小球被取出的可能性相等，用表示某员工取出的个小球中最大得分，求：1）取出的个小球恰有两个颜色相同的概率； 2）随机变量的概率分布；3）求该员工中奖的概率.解：1）取出的个小球“恰有两个颜色相同”与“颜色互不相同”互为对立事件记“取出的个小球颜色互不相同”的事件为，则故取出的个小球恰有两个颜色相同的概率为： 3分（若用直接法，列式则为：）2）由题意有可能的取值为： 4分； 9分所以随机变量的概率分布为:10分3）记“该员工中奖”的事件为，则： 12分22已知数列（）的通项公式为（）.1）求的二项展开式中的系数最大的项；2）记（），求集合的元素个数（写出具体的表达式）.解：1）设二项展开式中的系数最大的项数为则 因此二项展开式中的系数最大的项为， 6分2） 8分所以当为偶数时，集合的元素个数为：当为奇数时，集合的元素个数为：综上，元素个数为 12分高二数学试卷 第 14 页（共 14 页）
