1、2012年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷（理）一、填空题（56分）：1计算： （为虚数单位）。【解析】复数。【答案】2若集合，则 。【解析】集合，所以，即。【答案】3函数的值域是 。【解析】函数，因为，所以，即函数的值域为。【答案】4若是直线的一个法向量，则的倾斜角的大小为 （结果用反三角函数值表示）。【解析】【 设倾斜角为，由题意可知，直线的一个方向向量为（1,2），则，=。【答案】5在的二项展开式中，常数项等于 。【解析】二项展开式的通项为，令，得，所以常数项为。【答案】6有一列正方体，棱长组成以1为首项、为公比的等比数列，体积分别记为，则 。【解析】由题意可知，该列正方体的体积
2、构成以1为首项，为公比的等比数列，+=，。【答案】。7已知函数（为常数）。若在区间上是增函数，则的取值范围是 。【解析】令，则在区间上单调递增，而为增函数，所以要是函数在单调递增，则有，所以的取值范围是。【答案】8若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的体积为 。【解析】因为半圆面的面积为，所以，即，即圆锥的母线为，底面圆的周长，所以圆锥的底面半径，所以圆锥的高，所以圆锥的体积为。【答案】9已知是奇函数，且，若，则 。【解析】因为为奇函数，所以，所以，所以。【答案】10如图，在极坐标系中，过点的直线与极轴的夹角，若将的极坐标方程写成的形式，则 。【解析】设直线上的任一点为P,因为,所
3、以,根据正弦定理得,即，即。【答案】11三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是 （结果用最简分数表示）。【解析】三位同学从三个项目选其中两个项目有中，若有且仅有两人选择的项目完成相同，则有，所以有且仅有两人选择的项目完成相同的概率为。【答案】12在平行四边形中，边、的长分别为2、1，若、分别是边、上的点，且满足，则的取值范围是 。【解析】设=（01），则=,=，则=+,又=21=1，=4，=1，=，01，25，即的取值范围是2,5.【答案】2,5.13已知函数的图象是折线段，其中、，函数（）的图象与轴围成的图形的面积为 。【解
4、析】当，线段的方程为，当时。线段方程为，整理得，即函数，所以，函数与轴围成的图形面积为。【答案】14如图，与是四面体中互相垂直的棱，若，且，其中、为常数，则四面体的体积的最大值是 。【解析】过点A做AEBC，垂足为E，连接DE，由ADBC可知，BC平面ADE，所以=，当AB=BD=AC=DC=a时，四面体ABCD的体积最大。过E做EFDA，垂足为点F，已知EA=ED，所以ADE为等腰三角形，所以点E为AD的中点，又，EF=，=，四面体ABCD体积的最大值=。【答案】。二、选择题（20分）：15若是关于的实系数方程的一个复数根，则（ ）A B C D【解析】因为是实系数方程的一个复数根，所以也是
5、方程的根，则，所以解得，选B.【答案】B16在中，若，则的形状是（ ）A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D不能确定【解析】根据正弦定理可知由,可知，在三角形中，所以为钝角，三角形为钝角三角形，选C.【答案】C17设，随机变量取值的概率均为，随机变量取值的概率也均为，若记分别为的方差，则（ ）A B C D与的大小关系与的取值有关【解析】由题意可知，又由题意可知，的波动性较大，从而有.注意：本题也可利用特殊值法。【答案】A18设，在中，正数的个数是（ ）A25 B50 C75 D100【解析】当124时，0，当2649时，0，但其绝对值要小于124时相应的值，当5174时，0，当7699
6、时，0，但其绝对值要小于5174时相应的值，当1100时，均有0。【答案】D三、解答题（74分）：19（6+6=12分）如图，在四棱锥中，底面是矩形，底面，是的中点，已知，求：（1）三角形的面积；（2）异面直线与所成的角的大小。【解析】（1）PA底面ABCD，PACD，又CDAD，CD平面PAD，CDPD，又，CD=2，PCD的面积为。（2）解法一：取PB的中点F，连接EF,AF,则EFBC，AEF(或其补角)是异面直线BC与AE所成的角。在ADF中，EF=、AF=,AE=2，AEF是等腰直角三角形，AEF=，异面直线BC与AE所成的角大小为。解法二：如图所示，建立空间直角坐标系，则B(2,0
7、,0),C(2，,0),E(1，,1)，=(1，,1)，=(0,0),设与的夹角为，则=,又0，=。20（6+8=14分）已知函数（1）若，求的取值范围；（2）若是以2为周期的偶函数，且当时，有，求函数（）的反函数。21（6+8=14分）海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向12海里处，如图现假设：失事船的移动路径可视为抛物线；定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；救援船出发小时后，失事船所在位置的横坐标为（1）当时，写出失事船所在位置的纵坐标若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？22（4+6+6=16分）在平面直角坐标系中，已知双曲线：（1）过的左顶点引的一条渐进线的平行线，求该直线与另一条渐进线及轴围成的三角形的面积；（2）设斜率为1的直线交于、两点，若与圆相切，求证：；（3）设椭圆：，若、分别是、上的动点，且，求证：到直线的距离是定值。23（4+6+8=18分）对于数集，其中，定义向量集，若对任意，存在，使得，则称具有性质例如具有性质（1）若，且具有性质，求的值；（2）若具有性质，求证：，且当时，；（3）若具有性质，且、（为常数），求有穷数列的通项公式。
