1、等 差 数 列 (20分钟35分)1.一个三角形的三个内角A,B,C的度数成等差数列,则B的度数为()A.30B.45C.60D.90【解析】选C.因为A,B,C的度数成等差数列,所以2B=A+C,又因为A+B+C=180,所以3B=180,所以B=60.2.已知等差数列an中各项都不相等,a1=2,且a4+a8=,则公差d=()A.0B.C.2D.0或【解析】选B.根据题意知d0,a4+a8=a1+3d+a1+7d=(a1+2d)2.又a1=2,则4+10d=(2+2d)2,解得d=或d=0(舍去).【补偿训练】在等差数列an中,已知a1=,a4+a5=,ak=33,则k=()A.50B.4
2、9C.48D.47【解析】选A.设等差数列an的公差为d,因为a1=,a4+a5=,所以2a1+7d=,解得d=,则an=+(n-1)=,则ak=33,解得k=50.3.下列说法中正确的个数是()(1)若a,b,c成等差数列,则a2,b2,c2一定成等差数列;(2)若a,b,c成等差数列,则2a,2b,2c可能成等差数列;(3)若a,b,c成等差数列,则ka+2,kb+2,kc+2一定成等差数列;(4)若a,b,c成等差数列,则,可能成等差数列.A.4个B.3个C.2个D.1个【解析】选B.对于(1),取a=1,b=2,c=3a2=1,b2=4,c2=9,(1)错.对于(2),取a=b=c2a
3、=2b=2c,(2)正确;对于(3),因为a,b,c成等差数列,所以a+c=2b.所以(ka+2)+(kc+2)=k(a+c)+4=2(kb+2),(3)正确;对于(4),取a=b=c0=,(4)正确.4.数列an是首项为2,公差为3的等差数列,数列bn是首项为-2,公差为4的等差数列.若an=bn,则n的值为()A.4B.5C.6D.7【解析】选B.an=2+(n-1)3=3n-1,bn=-2+(n-1)4=4n-6,令an=bn,得3n-1=4n-6,所以n=5.5.数列an是等差数列,且an=an2+n,则实数a=_.【解析】因为an是等差数列,所以an+1-an=常数,所以a(n+1)
4、2+(n+1)-(an2+n)=2an+a+1=常数,所以2a=0,所以a=0.答案:06.已知等差数列an中满足a1=1,a3=-4,(1)求通项公式an;(2)求数列an中的最大项与最小项.【解析】(1)设等差数列an的公差为d,因为a1=1,a3=-4,所以1+2d=(1+d)2-4,解得d=2.所以an=12(n-1)=2n-1或3-2n.(2)an=2n-1时,数列an单调递增,n=1时,取得最小值为a1=1,无最大值;an=3-2n时,数列an单调递减,n=1时,取得最大值为a1=1,无最小值.【补偿训练】在等差数列an中,已知a1=112,a2=116,这个数列在450到600之
5、间共有多少项?【解析】由题意,得d=a2-a1=116-112=4,所以an=a1+(n-1)d=112+4(n-1)=4n+108.令450an600,解得85.5n123,又因为n为正整数,故有38项.(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.设x是a与b的等差中项,x2是a2与-b2的等差中项,则a,b的关系是()A.a=-bB.a=3bC.a=-b或a=3bD.a=b=0【解析】选C.由等差中项的定义知:x=,x2=,所以=,即a2-2ab-3b2=0.故a=-b或a=3b.2.已知数列a1,a2-a1,a3-a2,an-an-1是首项为1,公差为2的等差数列,则a3等于
6、()A.9B.5C.4D.2【解析】选A.由题意可得,an-an-1=1+2(n-1)=2n-1,a1=1,故a2=4,a3=9.3.若log32,log3(2x-1),log3(2x+11)成等差数列,则x的值为()A.7或-3B.log37C.log27D.4【解析】选C.因为log3(2x+11)-log3(2x-1)=log3(2x-1)-log32,所以=,即22x-42x-21=0,解得2x=7或2x=-3(舍去),所以x=log27.4.等差数列的首项为,且从第10项开始为比1大的项,则公差d的取值范围是()A.dB.dC.dD.d【解析】选D.由题意所以所以d.【补偿训练】已知
7、在等差数列an中,首项为20,公差是整数,从第8项开始为负项,则公差为()A.-3B.3C.4D.-4【解析】选A.因为等差数列an中,首项为20,公差是整数,从第8项开始为负项,所以a1=20,且a7=a1+6d0,a8=a1+7d0,所以20+6d0,且20+7d0,解得-d-,又d为整数,所以d=-3.5.(2020随州高二检测)有两个等差数列2,6,10,190和2,8,14,200,由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列,则这个新数列的项数为()A.15B.16C.17D.18【解析】选B.有两个等差数列2,6,10,190和2,8,14,200,由这两个等差数列的公
8、共项按从小到大的顺序组成一个新数列,则这个新数列cn为:2,14,26,.首项c1=2,公差d=12.所以cn=2+12(n-1)=12n-10.令12n-10190,解得n16.所以这个新数列的项数为16.二、填空题(每小题5分,共15分)6.等差数列an的前三项依次为x,2x+1,4x+2,则它的第5项为_.【解析】设等差数列an的公差为d,由x,2x+1,4x+2成等差数列,得2(2x+1)=x+4x+2,解得x=0,所以a1=0,a2=1,公差d=1,故a5=a1+4d=4.答案:47.已知在数列an中,a1=1,a2=,且+=(n2),则an=_.【解析】因为+=,所以数列是等差数列
9、,设其公差为d,则公差d=-=.所以=+(n-1)d=1+(n-1)=.所以an=.答案:【补偿训练】正项数列an满足:a1=1,a2=2,2=+(nN*,n2),则a7=_.【解析】因为2=+(nN*,n2),所以数列是以=1为首项,以d=-=4-1=3为公差的等差数列,所以 =1+3(n-1)=3n-2,所以an=,n1.所以a7=.答案:8.若在x,y两数之间插入3个数,使这5个数成等差数列,其公差为d1(d10),若在x,y两数之间插入4个数,使这6个数也成等差数列,其公差为d2(d20),那么=_.【解析】在x,y两数之间插入3个数,使这5个数成等差数列,其公差为d1,则有x+4d1
10、=y,在x,y两数之间插入4个数,使这6个数也成等差数列,其公差为d2,则有x+5d2=y,用-可得:4d1=5d2,就有=.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.数列an是等差数列,a1=f(x+1),a2=0,a3=f(x-1),其中f(x)=x2-4x+2,求数列an的通项公式an.【解析】a1=f(x+1)=(x+1)2-4(x+1)+2=x2-2x-1,a3=f(x-1)=(x-1)2-4(x-1)+2=x2-6x+7.因为数列an是等差数列,所以2a2=a1+a3,即0=2x2-8x+6,解得x=1或x=3.当x=1时,a1=-2,a2=0,a3=2.由此可求出an=2n-
11、4.当x=3时,a1=2,a2=0,a3=-2.由此可求出an=4-2n.综上所述:当x=1时,an=2n-4,当x=3时,an=4-2n.10.在数列an中,an+1=2an+2n,a1=1,设bn=.(1)证明:数列bn是等差数列.(2)求数列an的通项公式.【解析】(1)将an+1=2an+2n两边同除以2n,得=+1,所以bn+1=bn+1,bn+1-bn=1,所以数列bn为等差数列,公差为1.(2)因为bn的首项b1=1.所以bn=b1+(n-1)d=1+n-1=n,所以=n,所以an=n2n-1,nN*.【补偿训练】已知数列an满足an+1=,且a1=3(nN*).(1)证明:数列
12、是等差数列;(2)求数列an的通项公式.【解析】(1)由=+,得-=,nN*,故数列是等差数列.(2)由(1)知=+(n-1)=,所以an=,nN*.1.我国古代著名的周髀算经中提到:凡八节二十四气,气损益九寸九分六分分之一;冬至晷(gu)长一丈三尺五寸,夏至晷长一尺六寸.意思是:一年有二十四个节气,每相邻两个节气之间的日影长度差为99分;且“冬至”时日影长度最大,为1 350分;“夏至”时日影长度最小,为160分.则“立春”时日影长度为()A.953分B.1 052分C.1 151分D.1 250分【解析】选B.一年有二十四个节气,每相邻两个节气之间的日影长度差为99分,且“冬至”时日影长度
13、最大,为1 350分;“夏至”时日影长度最小,为160分.从“冬至”到“立春”有:“小寒”和“大寒”,且日影长变短,所以“立春”时日影长度为:1 350+3=1 052(分).2.等差数列an中,a3+a4=4,a5+a7=6.(1)求an的通项公式;(2)设bn=an,求b1+b2+b10,其中x表示不超过x的最大整数,如0.9=0,2.6=2.【解析】(1)设数列an的公差为d,由题意有2a1+5d=4,a1+5d=3.解得a1=1,d=.所以an的通项公式为an=.(2)由(1)知,bn=.当n=1,2,3时,12,bn=1;当n=4,5时,23,bn=2;当n=6,7,8时,34,bn=3;当n=9,10时,45,bn=4.所以b1+b2+b10=13+22+33+42=24.
