1、数列的概念与简单表示法(15分钟30分)1.下列说法正确的是()A.数列1,-2,3,-4,是一个摆动数列B.数列-2,3,6,8可以表示为-2,3,6,8C.和an是相同的概念D.数列0,1,2,3,可简记为n【解析】选A.根据摆动数列的概念,A正确;数列-2,3,6,8不能表示为-2,3,6,8,数列和项的顺序有关,集合和元素顺序无关,故B错误;表示数列全部的项,而an表示数列的第n项,不是同一概念,故C错误;数列0,1,2,3,可简记为n-1,D错误.2.(2020乐山高二检测)已知数列an的通项公式为an=则a2a3等于()A.70B.28C.20D.8【解析】选C.根据题意,数列an
2、的通项公式为an=则a2=22-2=2,a3=33+1=10,则a2a3=20.3.下列可作为数列1,2,1,2,1,2,的通项公式的是()A.an=B.an=C.an=2-sinD.an=2-cos(n-1)【解析】选B.根据题意,数列1,2,1,2,1,2,其奇数项为1,可以看作,偶数项为2,可以看作;其通项公式可以为:an=.【补偿训练】 数列,的一个通项公式是()A.an=B.an=C.an=-D.an=1-【解析】选C.因为=1-,=-,=-,=-.所以推断an=-.4.已知数列an的通项公式an=19-2n,则使an0成立的最大正整数n的值为_.【解析】由an=19-2n0,得n.
3、因为nN*,所以n9.答案:95.已知数列an的通项公式是an=.(1)写出该数列的第4项和第7项;(2)试判断和是否是该数列中的项?若是,求出它是第几项;若不是,说明理由.【解析】(1)由通项公式an=可得a4=,a7=.(2)令=,得n2=9,所以n=3(n=-3舍去),故是该数列中的项,并且是第3项;令=,得n2=,所以n=,由于都不是正整数,因此不是数列中的项.【补偿训练】 数列an中,已知an=(-1)nn+a(a为常数),且a1+a4=3a2,求a100.【解析】由已知an=(-1)nn+a(a为常数),可得a1=a-1,a2=a+2,a3=a-3,a4=a+4.因为a1+a4=3
4、a2,所以a-1+a+4=3(a+2),解得a=-3.所以an=(-1)nn-3.所以a100=(-1)100100-3=97.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.(2020南通高二检测)在数列an中,已知an=,nN*,则是数列中的第项.()A.3B.4C.5D.6【解析】选B.根据题意,数列an中,已知an=,若=,即n2+n-1=19,解得:n=4或-5(舍).【补偿训练】 已知数列an的通项公式为an=n2-8n+15,则3()A.不是数列an中的项B.只是数列an的第2项C.只是数列an的第6项D.是数列an的第2项或第6项【解析】选D.令n2-8n+15=3,解
5、此方程可得n=2或n=6,所以3可以是该数列的第2项,也可以是该数列的第6项.2.(2020南宁高二检测)观察数列1,ln 2,sin 3,4,ln 5,sin 6,7,ln 8,sin 9,则该数列的第11项等于()A.1 111B.11C.ln 11D.sin 11【解析】选C.由数列得出规律,是按正整数的顺序排列,且以3为循环节,由113=3余2,所以该数列的第11项为ln 11.3.(2020淄博高二检测)“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年,英国来华传教士伟烈亚力将孙子算经中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年,英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余
6、式解法的一般性定理,因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题,现有这样一个整除问题:将1至2 019中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列,构成数列an,则此数列的项数为()A.134B.135C.136D.137【解析】选B.由能被3除余1且被5除余1的数就是能被15整除余1的数,故an=15n-14.由an=15n-142 019,得n135,故此数列的项数为135.4.已知数列an的通项公式an=log(n+1)(n+2),则它的前30项之积是()A.B.5C.6D.【解析】选B.a1a2a3a30=log23log34log45log31
7、32=log232=log225=5.二、填空题(每小题5分,共10分)5.已知数列an的前四项为11,102,1 003,10 004,则它的一个通项公式为_.【解析】由于11=10+1,102=102+2,1 003=103+3,10 004=104+4,所以该数列的一个通项公式是an=10n+n.答案:an=10n+n【补偿训练】 数列,的一个通项公式为_.【解析】此数列各项都是分式,且分母都减去1为1,4,9,16,25故分母可用n2+1表示,若分子各项都加1为:16,25,36,49,64,故分子可用(n+3)2-1表示,故其通项公式可为an=.答案:an=6.如图所示的图案中,白色
8、正六边形的个数依次构成一个数列的前3项,则这个数列的一个通项公式为_.【解析】我们把图案按如下规律分解:这三个图案中白色正六边形的个数依次为6,6+4,6+42,所以这个数列的一个通项公式为an=6+4(n-1)=4n+2.答案:an=4n+2三、解答题7.(10分)已知无穷数列7,4,3,(1)求这个数列的第10项;(2)是这个数列的第几项?(3)这个数列有多少个整数项?(4)是否有等于序号的的项?如果有,求出这些项;如果没有,试说明理由.【解析】(1)将n=10代入,得第10项为=.(2)设=,解得n=100,所以是这个数列的第100项.(3)设=k,变形得n=,k可取的值有2,3,4,7,即有4个整数项.(4)有等于序号的的项.计算过程如下:设=n,解得n=6或n=-3(舍),第6项为=2,所以第6项等于序号的的项.
